2015届高考数学总复习第四章平面向量与复数第1课时平面向量的概念与线性运算教学案(含最新模拟试题改编)

第四章 平面向量与复数第 1 课时 平面向量的概念与线性 运算 第五章 (对应学生用书(文)、(理)60~62 页) 考情分析 ① 了解向量的实际背景;理解平面向量的基 本概念和几何表示;理解向量相等的含义. ② 掌握向量加、减法和数乘运算,理解其几 何意义;理解向量共线定理. ③ 了解向量的线性运算性质及其几何意义. 考点新知 掌握向量加、减法、数乘的运算,以及 两个向量共线的充要条件. → 1. (必修 4P63 练习第 1 题改编)如图在平行四边形 ABCD 中, E 为 DC 边的中点, 且AB= → → a,AD=b,则BE=________. 1 答案:b- a 2 1 1 → → → 1→ 解析:BE=BA+AD+ DC=-a+b+ a=b- a. 2 2 2 → → → → → 2. (必修 4P65 例 4 改编)在△ABC 中,AB=c,AC=b.若点 D 满足BD=2DC,则AD= ________.(用 b、c 表示) 2 1 答案: b+ c 3 3 → → → → → → → → → → 解析: 因为BD=2DC, 所以AD-AB=2(AC-AD), 即 3AD=AB+2AC=c+2b, 故AD 2 1 = b+ c. 3 3 1→ → → → ,则这个 3. (必修 4P63 练习第 6 题改编)设四边形 ABCD 中,有 DC=AB且|AD|= BC 2 | | 四边形是________. 答案:等腰梯形 第 1 页 共 9 页 → 1→ → → → 1→ → → 解析: AB= DC AB∥DC, 且|AB|= |DC|, ∴ ABCD 为梯形. 又|AD|=|BC|, ∴ 四 2 2 边形 ABCD 的形状为等腰梯形. → → → 4. (必修 4P66 练习第 2 题改编)设 a、 b 是两个不共线向量, AB=2a+pb, BC=a+b, CD =a-2b.若 A、B、D 三点共线,则实数 p=________. 答案:-1 → → → → → 解析: ∵ BD=BC+CD=2a-b, 又 A、 B、 D 三点共线, ∴ 存在实数 λ, 使AB=λBD. ? ?2=2λ, 即? ∴ p=-1. ?p=-λ, ? 1. 向量的有关概念 → (1) 向量:既有大小又有方向的量叫做向量,向量AB的大小叫做向量的长度(或模),记 → 作|AB|. (2) 零向量:长度为 0 的向量叫做零向量,其方向是任意的. (3) 单位向量:长度等于 1 个单位长度的向量叫做单位向量. (4) 平行向量:方向相同或相反的非零向量叫做平行向量.平行向量又称为共线向量, 任一组平行向量都可以移到同一直线上. 规定:0 与任一向量平行. (5) 相等向量:长度相等且方向相同的向量叫做相等向量. (6) 相反向量:与向量 a 长度相等且方向相反的向量叫做 a 的相反向量.规定零向量的 相反向量仍是零向量. 2. 向量加法与减法运算 (1) 向量的加法 ① 定义:求两个向量和的运算,叫做向量的加法. ② 法则:三角形法则;平行四边形法则. ③ 运算律:a+b=b+a;(a+b)+c=a+(b+c). (2) 向量的减法 ① 定义:求两个向量差的运算,叫做向量的减法. ② 法则:三角形法则. 3. 向量的数乘运算及其几何意义 (1) 实数 λ 与向量 a 的积是一个向量,记作 λa,它的长度与方向规定如下: ① |λ a|=|λ||a|; ② 当 λ>0 时,λ a 与 a 的方向相同;当 λ<0 时,λ a 与 a 的方向相反;当 λ=0 时,λ a=0. (2) 运算律:设 λ、μ∈R,则:① λ(μa)=(λμ)a;② (λ +μ)a=λa+μa;③ λ(a+b)=λa +λb. 4. 向量共线定理 向量 b 与 a(a≠0)共线的充要条件是有且只有一个实数 λ,使得 b=λa. 第 2 页 共 9 页 [备课札记] 题型 1 平面向量的基本概念 例 1 给出下列六个命题: ① 两个向量相等,则它们的起点相同,终点相同; ② 若|a|=|b|,则 a=b; → → ③ 若AB=DC,则 A、B、C、D 四点构成平行四边形; ④ 在 → → ABCD 中,一定有AB=DC; ⑤ 若 m=n,n=p,则 m=p; ⑥ 若 a∥b,b∥c,则 a∥c. 其中错误的命题有________.(填序号) 答案:①②③⑥ 解析:两向量起点相同,终点相同,则两向量相等;但两相等向量,不一定有相同的起 点和终点,故①不正确;|a|=|b|,由于 a 与 b 方向不确定,所以 a、b 不一定相等,故②不 → → 正确;AB=DC,可能有 A、B、C、D 在一条直线上的情况,所以③不正确;零向量与任 一向量平行,故 a∥b,b∥c 时,若 b=0,则 a 与 c 不一定平行,故⑥不正确. 备选变式(教师专享) 设 a0 为单位向量,①若 a 为平面内的某个向量,则 a=|a|· a0;②若 a 与 a0 平行,则 a =|a|· a0;③若 a 与 a0 平行且|a|=1,则 a=a0.上述命题中,假命题个数是________. 答案:3 解析:向量是既有大小又有方向的量,a 与|a|a0 模相同,但方向不一定相同,故①是假 命题;若 a 与 a0 平行,则 a 与 a0 方向有两种情况:一是同向,二是反向,反向时 a=-|a|a0, 故②、③也是假命题,填 3. 题型 2 向量的线性表示 → 1→ → 1→ → → 例 2 平行四边形 OADB 的对角线交点为 C,BM= BC,CN= CD,OA=a,OB=b, 3 3 → → → 用 a、b 表示OM、ON、MN. → → 1→ 1 1 → → → 1 5 → → → 解:BA=a-b,BM= BA= a- b,OM=OB+BM= a+ b.OD=a+b,ON=OC+ 6 6 6 6 6 第 3 页 共 9 页 1 → 1

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