天全县第二中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

精选高中模拟试卷

天全县第二中学 2018-2019 学年上学期高二数学 12 月月考试题含解析 班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1. 已知函数 f(x)=sin2(ωx)﹣ (ω>0)的周期为 π,若将其图象沿 x 轴向右平移 a 个单位(a>0),所

得图象关于原点对称,则实数 a 的最小值为( )

A.π B. C. D.

2. 已知 x∈R,命题“若 x2>0,则 x>0”的逆命题、否命题和逆否命题中,正确命题的个数是(



A.0 B.1 C.2 D.3

?2x ? y ? 2 ? 0,

3.

如果点

P

在平面区域

? ?

x

?

2y

?1?

0,

上,点 Q

在曲线

x2

?

(y

?

2)2

? 1上,那么|

PQ

| 的最小值为(



??x ? y ? 2 ? 0

A. 5 ?1

B. 4 ?1 5

C. 2 2 ?1

4. “ a ? b ? 3”是“圆 x2 ? y2 ? 2x ? 6 y ? 5a ? 0 关于直线 y ? x ? 2b 成轴对称图形”的(

D. 2 ?1


A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件

【命题意图】本题考查圆的一般方程、圆的几何性质、常用逻辑等知识,有一定的综合性,突出化归能力的考

查,属于中等难度.

5. 已知 an=

(n∈N*),则在数列{an}的前 30 项中最大项和最小项分别是(



A.a1,a30

B.a1,a9

C.a10,a9

D.a10,a30

6. 函数 y=

的图象大致为( )

A.

B.

C.

D.

7. 已知等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 =4,则 =(



A.3 B.4 C. D.13

8. 等差数列{an}中,a1+a5=10,a4=7,则数列{an}的公差为(



A.1 B.2 C.3 D.4

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9. 已知 i 为虚数单位,则复数

所对应的点在(



A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 10.有 30 袋长富牛奶,编号为 1 至 30,若从中抽取 6 袋进行检验,则用系统抽样确定所抽的编号为( ) A.3,6,9,12,15,18 B.4,8,12,16,20,24 C.2,7,12,17,22,27 D.6,10,14,18,22,26

11.在等差数列{an}中,a3=5,a4+a8=22,则{

}的前 20 项和为( )

A. B. C. D.

12.正方体的内切球与外接球的半径之比为( )

A.

B.

C.

D.

二、填空题

13.设 p:f(x)=ex+lnx+2x2+mx+1 在(0,+∞)上单调递增,q:m≥﹣5,则 p 是 q 的

条件.

14.已知 f(x)=x(ex+ae-x)为偶函数,则 a=________.

15.已知函数 y=f(x),x∈I,若存在 x0∈I,使得 f(x0)=x0,则称 x0 为函数 y=f(x)的不动点;若存在 x0∈I,

使得 f(f(x0))=x0,则称 x0 为函数 y=f(x)的稳定点.则下列结论中正确的是

.(填上所有

正确结论的序号)

①﹣ ,1 是函数 g(x)=2x2﹣1 有两个不动点;

②若 x0 为函数 y=f(x)的不动点,则 x0 必为函数 y=f(x)的稳定点; ③若 x0 为函数 y=f(x)的稳定点,则 x0 必为函数 y=f(x)的不动点; ④函数 g(x)=2x2﹣1 共有三个稳定点; ⑤若函数 y=f(x)在定义域 I 上单调递增,则它的不动点与稳定点是完全相同.

16.集合 A={x|﹣1<x<3},B={x|x<1},则 A∩B=



17.函数 f(x)=

﹣2ax+2a+1 的图象经过四个象限的充要条件是



18.设复数 z 满足 z(2﹣3i)=6+4i(i 为虚数单位),则 z 的模为



三、解答题

19.已知函数 f(x)=ax2﹣2lnx.

(Ⅰ)若 f(x)在 x=e 处取得极值,求 a 的值;

(Ⅱ)若 x∈(0,e],求 f(x)的单调区间;

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(Ⅲ) 设 a> ,g(x)=﹣5+ln ,? x1,x2∈(0,e],使得|f(x1)﹣g(x2)|<9 成立,求 a 的取值范围.

20.本小题满分 12 分如图,在边长为 4 的菱形 ABCD 中,?BAD ? 60 ,点 E 、F 分别在边 CD 、CB 上.点

E 与点 C 、D 不重合,EF ? AC ,EF AC ? O ,沿 EF 将 ?CEF 翻折到 ?PEF 的位置,使平 面 PEF ?

平 面 ABFED .

Ⅰ求 证 : BD ? 平 面 P OA;

Ⅱ记 三 棱 锥

P?

A B D的 体 积 为 V1 ,四 棱 锥
D

P ? BDEF

的 体 积P 为 V2 ,且

V1 V2

?

4 ,求此时线段 PO 的长. 3

E

A

O

C

D E

F B

A

O

C

F B

21.设 f(x)=2x3+ax2+bx+1 的导数为 f′(x),若函数 y=f′(x)的图象关于直线 x=﹣ 对称,且 f′(1)=0
(Ⅰ)求实数 a,b 的值 (Ⅱ)求函数 f(x)的极值.

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22.从某居民区随机抽取 10 个家庭,获得第 i 个家庭的月收入 xi(单位:千元)与月储蓄 yi(单位:千元) 的数据资料,计算得 xi=80, yi=20, xiyi=184, xi2=720. (1)求家庭的月储蓄对月收入的回归方程; (2)判断月收入与月储蓄之间是正相关还是负相关; (3)若该居民区某家庭月收入为 7 千元,预测该家庭的月储蓄.
23.数列{an} 中, a1 ? 8 , a4 ? 2 ,且满足 an?2 ? 2an?1 ? an ? 0(n ? N * ) . (1)求数列{an} 的通项公式; (2)设 Sn ?| a1 | ? | a2 | ? | an | ,求 Sn .
24.已知函数 f(x)=2cosx(sinx+cosx)﹣1 (Ⅰ)求 f(x)在区间[0, ]上的最大值; (Ⅱ)在△ ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 f( B)=1,a+c=2,求 b 的取值范围.
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天全县第二中学 2018-2019 学年上学期高二数学 12 月月考试题含解析(参考答案) 一、选择题
1. 【答案】D 【解析】解:由函数 f(x)=sin2(ωx)﹣ =﹣ cos2ωx (ω>0)的周期为 =π,可得 ω=1, 故 f(x)=﹣ cos2x. 若将其图象沿 x 轴向右平移 a 个单位(a>0),可得 y=﹣ cos2(x﹣a)=﹣ cos(2x﹣2a)的图象; 再根据所得图象关于原点对称,可得 2a=kπ+ ,a= + ,k∈Z. 则实数 a 的最小值为 . 故选:D 【点评】本题主要考查三角恒等变换,余弦函数的周期性,函数 y=Acos(ωx+φ)的图象变换规律,正弦函数、 余弦函数的奇偶性,属于基础题. 2. 【答案】C 【解析】解:命题“若 x2>0,则 x>0”的逆命题是“若 x>0,则 x2>0”,是真命题; 否命题是“若 x2≤0,则 x≤0”,是真命题; 逆否命题是“若 x≤0,则 x2≤0”,是假命题; 综上,以上 3 个命题中真命题的个数是 2. 故选:C 3. 【答案】A 【解析】
试题分析:根据约束条件画出可行域 Z ?| PQ | 表示圆上的点到可行域的距离,当在点 A 处时,求出圆心到可 行域的距离内的点的最小距离 5 ,?当在点 A 处最小, | PQ | 最小值为 5 ?1,因此,本题正确答案是 5 ?1.
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考点:线性规划求最值.
4. 【答案】 A









5. 【答案】C

【解析】解:an=

=1+

,该函数在(0, )和( ,+∞)上都是递减的,

图象如图, ∵9< <10. ∴这个数列的前 30 项中的最大项和最小项分别是 a10,a9. 故选:C. 【点评】本题考查了数列的函数特性,考查了数形结合的解题思想,解答的关键是根据数列通项公式画出图象, 是基础题.

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6. 【答案】D

【解析】解:令 y=f(x)=



∵f(﹣x)=

=﹣

=﹣f(x),

∴函数 y=

为奇函数,

∴其图象关于原点对称,可排除 A; 又当 x→0+,y→+∞,故可排除 B; 当 x→+∞,y→0,故可排除 C; 而 D 均满足以上分析. 故选 D.

7. 【答案】D
【解析】解:∵Sn 为等比数列{an}的前 n 项和, =4,
∴S4,S8﹣S4,S12﹣S8 也成等比数列,且 S8=4S4, ∴(S8﹣S4)2=S4×(S12﹣S8),即 9S42=S4×(S12﹣4S4), 解得 =13.
故选:D. 【点评】熟练掌握等比数列的性质是解题的关键.是基础的计算题.

8. 【答案】B 【解析】解:设数列{an}的公差为 d,则由 a1+a5=10,a4=7,可得 2a1+4d=10,a1+3d=7,解得 d=2, 故选 B.

9. 【答案】A

【解析】解:

=

故选:A.

=1+i,其对应的点为(1,1),

10.【答案】C 【解析】解:从 30 件产品中随机抽取 6 件进行检验, 采用系统抽样的间隔为 30÷6=5,

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只有选项 C 中编号间隔为 5, 故选:C.

11.【答案】B

【解析】解:在等差数列{an}中,由 a4+a8=22,得 2a6=22,a6=11.

又 a3=5,得 d=

,∴a1=a3﹣2d=5﹣4=1.

{

}的前 20 项和为:

=

=



故选:B.

12.【答案】C 【解析】解:正方体的内切球的直径为,正方体的棱长,外接球的直径为,正方体的对角线长, 设正方体的棱长为:2a,所以内切球的半径为:a;外接球的直径为 2 a,半径为: a, 所以,正方体的内切球与外接球的半径之比为: 故选 C

二、填空题
13.【答案】 必要不充分

【解析】解:由题意得 f′(x)=ex+ +4x+m, ∵f(x)=ex+lnx+2x2+mx+1 在(0,+∞)内单调递增, ∴f′(x)≥0,即 ex+ +4x+m≥0 在定义域内恒成立,
由于 +4x≥4,当且仅当 =4x,即 x= 时等号成立, 故对任意的 x∈(0,+∞),必有 ex+ +4x>5 ∴m≥﹣ex﹣ ﹣4x 不能得出 m≥﹣5 但当 m≥﹣5 时,必有 ex+ +4x+m≥0 成立,即 f′(x)≥0 在 x∈(0,+∞)上成立 ∴p 不是 q 的充分条件,p 是 q 的必要条件,即 p 是 q 的必要不充分条件 故答案为:必要不充分

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14.【答案】 【解析】解析:∵f(x)是偶函数,∴f(-x)=f(x)恒成立, 即(-x)(e-x+aex)=x(ex+ae-x), ∴a(ex+e-x)=-(ex+e-x),∴a=-1. 答案:-1 15.【答案】 ①②⑤

【解析】解:对于①,令 g(x)=x,可得 x= 或 x=1,故①正确;

对于②,因为 f(x0)=x0,所以 f(f(x0))=f(x0)=x0,即 f(f(x0))=x0,故 x0 也是函数 y=f(x)的稳 定点,故②正确; 对于③④,g(x)=2x2﹣1,令 2(2x2﹣1)2﹣1=x,因为不动点必为稳定点,所以该方程一定有两解 x=﹣ ,

1, 由此因式分解,可得(x﹣1)(2x+1)(4x2+2x﹣1)=0

还有另外两解

,故函数 g(x)的稳定点有﹣ ,1,

,其中

是稳定点,但不是

不动点,故③④错误; 对于⑤,若函数 y=f(x)有不动点 x0,显然它也有稳定点 x0; 若函数 y=f(x)有稳定点 x0,即 f(f(x0))=x0,设 f(x0)=y0,则 f(y0)=x0 即(x0,y0)和(y0,x0)都在函数 y=f(x)的图象上, 假设 x0>y0,因为 y=f(x)是增函数,则 f(x0)>f(y0),即 y0>x0,与假设矛盾; 假设 x0<y0,因为 y=f(x)是增函数,则 f(x0)<f(y0),即 y0<x0,与假设矛盾; 故 x0=y0,即 f(x0)=x0,y=f(x)有不动点 x0,故⑤正确. 故答案为:①②⑤. 【点评】本题考查命题的真假的判断,新定义的应用,考查分析问题解决问题的能力.

16.【答案】 {x|﹣1<x<1} .

【解析】解:∵A={x|﹣1<x<3},B={x|x<1}, ∴A∩B={x|﹣1<x<1}, 故答案为:{x|﹣1<x<1} 【点评】本题主要考查集合的基本运算,比较基础.

17.【答案】 ﹣



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【解析】解:∵f(x)=

﹣2ax+2a+1,

∴求导数,得 f′(x)=a(x﹣1)(x+2). ①a=0 时,f(x)=1,不符合题意; ②若 a>0,则当 x<﹣2 或 x>1 时,f′(x)>0;当﹣2<x<1 时,f′(x)<0, ∴f(x)在(﹣2,1)是为减函数,在(﹣∞,﹣2)、(1,+∞)上为增函数; ③若 a<0,则当 x<﹣2 或 x>1 时,f′(x)<0;当﹣2<x<1 时,f′(x)>0, ∴f(x)在(﹣2,1)是为增函数,在(﹣∞,﹣2)、(1,+∞)上为减函数 因此,若函数的图象经过四个象限,必须有 f(﹣2)f(1)<0,

即(

)(

)<0,解之得﹣



故答案为:﹣ 【点评】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性与极值、函数的图象、充要条件的判断等知识,属于基础 题.

18.【答案】 2 .

【解析】解:∵复数 z 满足 z(2﹣3i)=6+4i(i 为虚数单位),

∴z=

,∴|z|=

=

=2,

故答案为:2. 【点评】本题主要考查复数的模的定义,复数求模的方法,利用了两个复数商的模等于被除数的模除以除数的 模,属于基础题.

三、解答题
19.【答案】

【解析】解:(Ⅰ) f′(x)=2ax﹣ =

由已知 f′(e)=2ae﹣ =0,解得 a= .

经检验,a= 符合题意.

(Ⅱ) 1)当 a≤0 时,f′(x)<0,∴f(x)在(0,e]上是减函数.

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2)当 a>0 时,

①若 <e,即

,则 f(x)在(0, )上是减函数,在( ,e]上是增函数;

②若 ≥e,即 0<a≤ ,则 f(x)在[0,e]上是减函数.

综上所述,当 a≤ 时,f(x)的减区间是(0,e],

当 a> 时,f(x)的减区间是

,增区间是



(Ⅲ)当

时,由(Ⅱ)知 f(x)的最小值是 f( )=1+lna;

易知 g(x)在(0,e]上的最大值是 g(e)=﹣4﹣lna; 注意到(1+lna)﹣(﹣4﹣lna)=5+2lna>0,

故由题设知



解得 <a<e2. 故 a 的取值范围是( ,e2)

20.【答案】

【解析】Ⅰ证明:在菱形 ABCD 中,

∵ BD ? AC ,∴ BD ? AO .

∵ EF ? AC ,∴ PO ? EF ,

∵平面 PEF ⊥平面 ABFED ,平面 PEF 平面 ABFED ? EF ,且 PO ? 平面 PEF ,

∴ PO ? 平面 ABFED ,

∵ BD ?平面 ABFED ,∴ PO ? BD .

∵ AO PO ? O ,∴ BD ? 平面 POA.

Ⅱ设 AO BD ? H .由Ⅰ知, PO ? 平面 ABFED ,

∴ PO 为三 棱 锥 P ? A B D及 四 棱 锥 P ? BDEF的 高 ,

∴ V1

?

1 3

S?ABD

?

PO

, V2

?

1 3

S梯形BFED

?

PO

,∵

V1 V2

?

4, 3

∴ S梯形BFED

?

3 4 S?ABD

?

3 4

S?CBD

,∴

S?CEF

?

1 4

S?CBD



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∵ BD ? AC, EF ? AC ,

∴ EF / /BD ,∴ ?CEF ∽ ?CBD . ∴ ( CO )2 ? S?CEF ? 1 ,

CH

S?CBD 4

∴ CO ? 1 CH ? 1 AH ? 1 ? 2 3 ? 3 , ∴ PO ? OC ? 3 .

2

2

2

21.【答案】

【解析】解:(Ⅰ)因 f(x)=2x3+ax2+bx+1,故 f′(x)=6x2+2ax+b

从而 f′(x)=6

y=f′(x)关于直线 x=﹣ 对称,

从而由条件可知﹣ =﹣ ,解得 a=3
又由于 f′(x)=0,即 6+2a+b=0,解得 b=﹣12 (Ⅱ)由(Ⅰ)知 f(x)=2x3+3x2﹣12x+1 f′(x)=6x2+6x﹣12=6(x﹣1)(x+2) 令 f′(x)=0,得 x=1 或 x=﹣2 当 x∈(﹣∞,﹣2)时,f′(x)>0,f(x)在(﹣∞,﹣2)上是增函数; 当 x∈(﹣2,1)时,f′(x)<0,f(x)在(﹣2,1)上是减函数; 当 x∈(1,+∞)时,f′(x)>0,f(x)在(1,+∞)上是增函数. 从而 f(x)在 x=﹣2 处取到极大值 f(﹣2)=21,在 x=1 处取到极小值 f(1)=﹣6.

22.【答案】 【解析】解:(1)由题意,n=10, =

xi=8, =

yi=2,

∴b=

=0.3,a=2﹣0.3×8=﹣0.4,

∴y=0.3x﹣0.4; (2)∵b=0.3>0, ∴y 与 x 之间是正相关; (3)x=7 时,y=0.3×7﹣0.4=1.7(千元).

23.【答案】(1)

an

? 10

?

2n ;(2)

Sn

?

??9n ? n2 (n ? 5)

? ??n

2

?

9n

?

40(n

?


5)

【解析】

试题分析:(1)由 an?2 ? 2an?1 ? an ? 0 ,所以{an} 是等差数列且 a1 ? 8 , a4 ? 2 ,即可求解数列{an} 的通 项公式;(2)由(1)令 an ? 0 ,得 n ? 5 ,当 n ? 5 时, an ? 0 ;当 n ? 5 时, an ? 0 ;当 n ? 5 时, an ? 0 , 即可分类讨论求解数列 Sn .

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当 n ? 5 时, Sn ?| a1 | ? | a2 | ?



Sn

?

??9n ? n2 (n ? 5) ???n2 ? 9n ? 40(n

?

.1
5)

| an | ? a1 ? a2 ?

? an ? 9n ? n2

考点:等差数列的通项公式;数列的求和.

24.【答案】

【解析】(本题满分为 12 分)

解:(Ⅰ)f(x)=2cosx(sinx+cosx)﹣1=2sinxcosx+2cos2x﹣1

=sin2x+2×

﹣1

=sin2x+cos2x

= sin(2x+ ),

∵x∈[0, ],

∴2x+ ∈[ , ],

∴当 2x+ = ,即 x= 时,f(x)min= …6 分

(Ⅱ)由(Ⅰ)可知 f( B)= sin( + )=1,

∴sin( + )= ,

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∴+= , ∴B= ,

由正弦定理可得:b=

=

∈[1,2)…12 分

【点评】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用,正弦函数的图象和性质,正弦定理在解三角形中的综合应 用,考查了计算能力和转化思想,属于中档题.

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