等差数列典型例题及分析(必看)

学习必备 欢迎下载 第四章 数列 §4.1 等差数列的通项与求和 一、知识导学 1.数列:按一定次序排成的一列数叫做数列. 2.项:数列中的每一个数都叫做这个数列的项,各项依次叫做这个数列的第 1 项(或首 项),第 2 项,…,第 n 项,…. 3.通项公式:一般地,如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个公式来 表示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式. 4. 有穷数列:项数有限的数列叫做有穷数列. 5. 无穷数列:项数无限的数列叫做无穷数列 6.数列的递推公式:如果已知数列的第一项(或前几项)及相邻两项(或几项)间关系 可以用一个公式来表示,则这个公式就叫做这个数列的递推公式.递推公式是给出数列的一 种重要方法,其关健是先求出 a1,a2,然后用递推关系逐一写出数列中的项. 7.等差数列:一般地,如果一个数列从第二项起,每一项减去它的前一项所得的差都等 于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用 d表示. a?b a?b 8.等差中项:如果a,A,b这三个数成等差数列,那么A= .我们把A= 2 2 叫做a和b的等差中项. 二、疑难知识导析 1.数列的概念应注意几点:(1)数列中的数是按一定的次序排列的,如果组成的数相 同而排列次序不同,则就是不同的数列;(2)同一数列中可以出现多个相同的数;(3)数 列看做一个定义域为正整数集或其有限子集({1,2,3,…,n})的函数. 2.一个数列的通项公式通常不是唯一的. 3.数列{an}的前 n 项的和 Sn 与 an 之间的关系: an ? ???SS1n ? Sn?1 (n ? 1), 若 a1 适合 (n ? 2). an(n>2),则 an 不用分段形式表示,切不可不求 a1 而直接求 an. 4.从函数的角度考查等差数列的通项公式:an= a1+(n-1)d=d·n+ a1-d, an 是关于 n 的 一次式;从图像上看,表示等差数列的各点(n, an )均匀排列在一条直线上,由两点确定 一条直线的性质,不难得出,任两项可以确定一个等差数列. 5、对等差数列的前 n 项之和公式的理解:等差数列的前 n 项之和公式可变形为 Sn ? d 2 n2 ? (a1 ? d )n ,若令 A= d 2 2 ,B=a1- d 2 ,则 S n =An2+Bn. 6、在解决等差数列问题时,如已知,a1,an,d, S n ,n 中任意三个,可求其余两个。 三、经典例题导讲 [例 1]已知数列 1,4,7,10,…,3n+7,其中后一项比前一项大 3.(1)指出这个数列的通 项公式;(2)指出 1+4+…+(3n-5)是该数列的前几项之和. 学习必备 欢迎下载 错解:(1)an=3n+7; (2) 1+4+…+(3n-5)是该数列的前 n 项之和. 错因:误把最后一项(含 n 的代数式)看成了数列的通项.(1)若令 n=1,a1=10 ? 1,显然 3n+7 不是它的通项. 正解:(1)an=3n-2; (2) 1+4+…+(3n-5)是该数列的前 n-1 项的和. [例 2] 已知数列?an?的前 n 项之和为① Sn ? 2n2 ? n ② Sn ? n 2 ? n ? 1 求数列 ?an ?的通项公式。 错解: ① an ? 2n2 ? n ? 2(n ?1)2 ? (n ?1) ? 4n ? 3 ② an ? n2 ? n ? 1 ? (n ?1)2 ? (n ?1) ?1 ? 2n 错因:在对数列概念的理解上,仅注意了 an=Sn-Sn-1 与的关系,没注意 a1=S1. 正解: ①当 n ? 1时, a1 ? S1 ? 1 当 n ? 2时, an ? 2n2 ? n ? 2(n ?1)2 ? (n ?1) ? 4n ? 3 经检验 n ? 1时 a1 ? 1 也适合,? an ? 4n ? 3 ②当 n ? 1时, a1 ? S1 ? 3 当 n ? 2时, an ? n2 ? n ? 1 ? (n ?1)2 ? (n ?1) ?1 ? 2n ∴ an ?3 ? ??2n (n ? 1) (n ? 2) ? ? [例 3] 已知等差数列 an 的前 n 项之和记为 Sn,S10=10 ,S30=70,则 S40 等于 。 错解:S30= S10·2d. ? d=30, ? S40= S30+d =100. 错因:将等差数列中 Sm, S2m -Sm, S3m -S2m 成等差数列误解为 Sm, S2m, S3m 成等差数列. 正解:由题意: ???10 ? a1 ???30 a1 ? 10 ? 9 d 2 ? 30 ? 29 2 ? 10 d ? 70 得 a1 ? 2 5 ,d ? 2 15 代入得 S40 = 40a1 ? 40? 39 ? 40d 2 ? 120 。 [例 4]等差数列 ?an ?、 ?bn ?的前 n 项和为 Sn、Tn.若 Sn Tn ? 7n ?1 4n ? 27 (n ? N ? ), 求 a7 b7 ; 错解:因为等差数列的通项公式是关于 n 的一次函数,故由题意令 an=7n+1;bn=4n+27. 学习必备 欢迎下载 ? a7 ? 7 ? 7 ? 1 ? 10 b7 4 ? 7 ? 27 11 错因:误认为 S n ? a n Tn bn 正解:? a7 ? a7 ? a7 ? S13 ? 7 ?13 ? 1 ? 92 b7 b7 ? b7 T13 4 ?13 ? 27 79 [例 5]已知一个等差数列?an?的通项公式 an=25-5n,求数列?| an |?的前 n 项和; 错解:由 an ? 0 得 n ? 5 ? ?an?前 5 项为非负,从第 6 项起为负, ? S

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