2015年春高二数学训练题13

2015 年春高二数学训练题 13(理)
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项 中,只有一项是符合题目要求的) (1)已知 R 为实数集,集合 A ? ?x | 2 x ? 3 ? 3x?, B ? ?x | x ? 2? ,则 A ? B ? (A) ?x | x ? 2? (B) ?x | x ? ?3? (C) ?x | 2 ? x ? 3? (D)R (2)若 f ( x) ? xe x ,则 f ?(1) = (A) 2e (B) 0 (C) e (D) e
2

?x ? 2 y ? 1 ? (3)已知变量 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 1, ? y ?1 ? 0 ?
(A) ?3
x

则 z ? x ? 2 y 的最大值为 (C) 1 (D) 3

(B) 0

?2? (4)若 a ? ? ? , b ? x 2 , c ? log 2 x ,则当 x ? 1 时, a, b, c 的大小关系是 ?3? 3
(A) c ? a ? b (B) c ? b ? a (C) a ? b ? c (5)在 ?ABC 中,已知 BC ? 3DC ,则 AD ? (A) (D) a ? c ? b

2 1 AB ? AC 3 3

(B)

2 1 AB ? AC 3 3
1 2 AB ? AC 3 3

(C)

1 2 AB ? AC 3 3

(D)

(6)已知命题 p:函数 y ? a x ?1 ? 1( a ? 0 且 a ? 1 )的图象 恒过 (?1, 2) 点;命题 q:已知平面 ? ∥平面 ? ,则直 线 m ∥ ? 是直线 m ∥ ? 的充要条件 . 则下列命题为 真命题的是 (A) p ? q (B) ? p ? ? q (C) ?p ? q (D) p ? ?q (7)某程序框图如图所示,该程序运行后输出的 k 的值是 (A)3 (B)4 (C)5 (D)6

?? ? (8)函数 f ? x ? ? cos ? ? x ? ? ( x ?R, ? ? 0 )的最小正周期为 ? ,为了得到 f ? x ? 3? ?

的图象,只

?? ? 需将函数 g ? x ? ? sin ? ? x ? ? 的图象 3? ?

? ? 个单位长度 (B)向右平移 个单位长度 2 2 ? ? (C)向左平移 个单位长度 (D)向右平移 个单位长度 4 4 (9)在△ABC 中,已知 | AB |? 4,| AC |? 1 , S ?ABC ? 3 ,则 AB ? AC 的值为 (A) ?2 (B) 2 (C) ?4 (D) ?2 (10)在递增的等比数列 ?an ? 中,已知 a1 ? an ? 34 , a3 ? an?2 ? 64 ,且前 n 项和 为 Sn ? 42 ,则 n ? (A) 3 (B) 4 (C) 5 (D) 6 (11)设三棱柱的侧棱垂直于底面,所有棱长都为 a ,顶点都在一个球面上, 则该球的表面积大小为
(A)向左平移 (A) ? a 2
7 (B) ? a 2 3

(C)

11 2 ?a 3

(D) 5? a 2

1 (12) 已知函数 f ( x) ? x 3 ? ax 2 ? b 2 x ? 1 , 若 a 是从 1, 2,3 三个数中任取的一个数, 3
b 是从 0,1, 2 三个数中任取的一个数,则该函数有两个极值点的概率为

7 1 5 (B) (C) 9 3 9 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) (13) sin ? ?600? ? 的值为 . (14)一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 .

(A)

(D)

2 3

(15)双曲线 tx 2 ? y 2 ? 1 ? 0 的一条渐近线与直线 2 x ? y ? 1 ? 0 垂直,则双曲线 的离心率为 . ( 16 )已知圆 C : ? x ? a ? ? ? y ? a ? ? 1? a ? 0 ? 与直线 y ? 2 x 相交于 P 、 Q 两点 ,
2 2

则当 ?CPQ 的面积最大时,实数 a 的值为 . 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤) (17) (本小题满分 10 分) 已知函数 f ( x) ? x3 ? bx2 ? cx ? d 的图像过点 P(0,2) ,且在点 M(-1, f (?1) )

2

处 的 切 线 方 程 为 6 x ? y ? 7 ? 0 .① 求 函 数 y ? f ( x) 的 解 析 式 ; ② 求 函 数
y ? f ( x) 的单调区间.

(18) (本小题满分 12 分)
1 已知等差数列 ?a n ?的首项 a1 ? 1 ,公差 d ? 1 ,前 n 项和为 S n , bn ? , Sn (I)求数列 ?bn ?的通项公式; (II)设数列 ?bn ?前 n 项和为 Tn ,求 Tn

(19) (本小题满分 12 分) 某校团委会组织该校高中一年级某班以小组为单位利用周 末时间进行了一次社会实践活动,且每个小组有 5 名同学, 在实践活动结束后,学校团委会对该班的所有同学都进行 了测评,该班的 A, B 两个小组所有同学所得分数(百分制) 的茎叶图如图所示,其中 B 组一同学的分数已被污损,但 知道 B 组学生的平均分比 A 组学生的平均分高 1分. (I)若在 B 组学生中随机挑选 1人,求其得分超过 85 分的概率; (II)现从 A 组这 5 名学生中随机抽取 2 名同学,设其分数分别为 m, n , 求 | m ? n |? 8 的概率.

(20) (本小题满分 12 分) 如图,正方形 ABCD 与等边三角形 ABE 所在的 平面互相垂直, M , N 分别是 DE, AB 的中点. (Ⅰ)证明: MN ∥平面 BCE ; (Ⅱ)求二面角 N ? AM ? E 的正切值.

3

(21) (本小题满分 12 分) 1 已知函数 f ( x) ? a ( x ? ) ? 2 ln x ( a ?R) . x (I)若 a ? 2 ,求曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程; a (II)设函数 g ( x ) ? ? .若至少存在一个 x0 ? ?1, e? ,使得 f ( x0 ) ? g ( x0 ) 成 x 立,求实数 a 的取值范围.

(22) (本小题满分 12 分) 已知椭圆 C :
x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的两焦点与短轴的一个端点的连线构成 a 2 b2

等腰直角三角形,直线 x ? y ? 1 ? 0 与以椭圆 C 的右焦点为圆心,以椭圆的 长半轴长为半径的圆相切. (I)求椭圆 C 的方程; (II)设 P 为椭圆 C 上一点,若过点 M(2,0)的直线 l 与椭圆 C 相交于不同 的两点 S 和 T ,满足 OS ? OT ? tOP ( O 为坐标原点) ,求实数 t 的取值 范围.

4

2015 年春高二数学训练题 13(理)
参考答案 一、选择题(每小题 5 分,共 60 分) BACA CDBC DABD 二、填空题(每小题 5 分,共 20 分) (13)
3 2

(14) 6? ? 4

(15)

5 2

(16)

10 2

三、解答题(共 70 分) (17) 解 : ( Ⅰ ) 由 f ( x) ? x3 ? bx2 ? cx ? d 的 图 象 过 点 P ( 0 , 2 ) ,d=2 知 , 所 以

f ( x) ? x3 ? bx2 ? cx ? 2 , f ? (x)=3x +2bx+c,由在(-1,(-1))处的切线方程是 6x-y+7=0,
2

知 -6-f(-1)+7=0, 即 f(-1)=1,

?3 ? 2b ? c ? 6, ?b ? c ? 0, 即? 解得 f ? (-1)=6, ∴ ? ??1 ? b ? c ? 2 ? 1, ?2b ? c ? ?3,

b=c=-3. 故所求的解析式为 f(x)=x3-3x-3+2, (Ⅱ) f ? (x)=3x2-6x-3,令 3x2-6x-3=0 即 x2-2x-1=0,解得 x1=1- 2 ,x2=1+ 2 , 当 x<1- 2 或 x>1+ 2 时, f ? (x)>0;当 1- 2 <x<1+ 2 时, f ? (x)<0 ∴ f(x)=x3-3x2-3x+2 在 (1+ 2 ,+ ∞ ) 内是增函数 , 在 (- ∞ , 1- 2 ) 内是增函数 , 在 (1- 2 ,1+ 2 )内是减函数. (18)解: (I)? 等差数列 ?an ?中 a1 ? 1 ,公差 d ? 1 ,
? S n ? na1 ? n?n ? 1? n2 ? n d? 2 2

? bn ?

2 n ?n.
2

(II) bn ?

2 2 1 1 ? ? 2( ? ), n ? n n(n ? 1) n n ?1
2

5

? 1 1 1 1 ? ? b1 ? b2 ? b3 ? ? ? bn ? 2? ? 1? 2 ? 2 ? 3 ? 3 ? 4 ? ? ? n?n ? 1? ? ? ? ?
1 1 ? ? 1 1 1 1 1 ? 2?1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? n n ? 1? ? 2 2 3 3 4
? 2(1 ? 1 2n )? . n ?1 n ?1

…………………………………12 分
94 ? 88 ? 86 ? 80 ? 77 ,……………1 分 ? 85 (分) 5
91 ? 93 ? 83 ? x ? 75 ? 86 , 5

(19)解: (Ⅰ)A 组学生的平均分为

∴ B 组学生平均分为 86 分,设被污损的分数为 x,由 ∴ x ? 88 , …………………3 分

故 B 组学生的分数分别为 93,91,88,83,75,………4 分 则在 B 组学生随机选 1 人所得分超过 85 分的概率 P ? . ………………6 分 (Ⅱ)A 组学生的分数分别是 94,88,86,80,77, 在 A 组学生中随机抽取 2 名同学,其分数组成的基本事件 ( m, n) 有 (94,88),(94,86),(94,80), (94,77),(88,86),(88,80),(88,77),(86,80),(86,77),(80,77) 个, ………8 分 随机抽取 2 名同学的分数 m, n 满足 | m ? n |? 8 的事件有 (94,88),(94,86),(88,86),(88,80),(86,80),(80,77)共 6 个. 10 分 故学生得分 m, n 满足 | m ? n |? 8 的概率 P ?
6 3 ? . …………12 分 10 5
3 5



10

(20)(Ⅰ)设 CE 中点为 P,连接 MP,PB,易知 MP NB, MP ? NB 所以 MNBP 是平行四边形, 由 MN 在平面 BCE 外,PB 在平面 BCE 内, ? MN PB . 所以 MN ∥平面 BCE (Ⅱ)建立空间直接坐标系:AB 为 y 轴,AD 为 z 轴,平面 ABE 内过 A 点且与 AB 垂直 的线为 x 轴. 不妨设 AB=2

6

则 A ? 0, 0, 0 ? , N ? 0,1, 0 ? , E

?

? 3 1 ? 3,1, 0 , D ? 0, 0, 2 ? , M ? ? 2 , 2 ,1? ? ? ?

?

设 n ? ? x, y, z ? 是平面 AMN 的法向量

? ? x, y, z ? ? ? 0,1, 0 ? ? 0 y?0 ? ? ? n ? AN ? 0 ? ? n ? AN ? ? ?? ?? ?? 3 ? 3 1 ? ? x , y , z ? , ,1 ? 0 ? ? x? z ?0 ? ? n ? AM n ? AM ? 0 ? ? ? ? ? ? ? 2 2 ? ? 2 ? ? ?
取 n ? 2, 0, ? 3

?

?

设 AE 中点为 Q,AQ 中点为 R,易知 NR BQ , NR ? AE , NR ? 平面 AEM
? 3 3 ? ? 3 3 ? n ? NR 1 , ? , 0 ? NR ? ,? ,0? ∵ R? ∵ cos n, NR ? ,∴正切值为 6 . ? ? ? ? 4 ? ? ? 4 ? 4 ? 7 n NR ? ? 4
1 1 2 (21)解: (I) a ? 2 时, f ( x) ? 2( x ? ) ? 2 ln x ,? f ?( x) ? 2(1 ? 2 ) ? ,…1 分 x x x

? f ?(1) ? 2, 又 f (1) ? 0, ? 在点 (1, 0) 处的切线斜率 k ? f ?(1) ? 2,

……………2 分

? 切线方程为 y ? 2( x ? 1) ,即 2 x ? y ? 2 ? 0 .…………………………4 分

(II)

a 1 a g ( x) ? ? , f ( x) ? g ( x) ,? a ( x ? ) ? 2 ln x ? ? , x x x 2 ln x , ……………………………6 分 ?ax ? 2ln x, x ??1, e? ,? a ? x 2 ln x ) min , x ? ?1, e ? , 依题意 a ? ( …………………………7 分 x 2 ln x 2(1 ? ln x) , h?( x) ? . 令 h( x ) ? ………………………………8 分 x x2

由 h?( x) ? 0, 得 x ? e. ? x ??1, e? 时, h?( x) ? 0, ? h( x) 在 ?1, e? 上为增函数.

? h( x)min ? h(1) ? 0.

? a ? 0.

……………………………12 分

(22)解: (Ⅰ)由题意,以椭圆 C 的右焦点为圆心,以椭圆的长半轴长为半径的圆的方程为

( x ? c) 2 ? y 2 ? a 2 , ∴圆心到直线 x ? y ? 1 ? 0 的距离 d ?

c ?1 2

? a (*)

∵椭圆 C 的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形,
7

∴ b ? c , a ? 2b ? 2c ,

代入(*)式得 b ? c ? 1 , ∴ a ? 2b ? 2 , …4 分

x2 ? y 2 ? 1. 故所求椭圆方程为 2

(Ⅱ)由题意知直线 l 的斜率存在,设直线 l 方程为 y ? k ( x ? 2) ,设 P ? x0 , y0 ? , 将直线方程代入椭圆方程得: 1 ? 2k 2 x 2 ? 8k 2 x ? 8k 2 ? 2 ? 0 , ∴ ? ? 64k 4 ? 4 1 ? 2k 2 8k 2 ? 2 ? ?16k 2 ? 8 ? 0 ,∴ k 2 ?
2

?

?

?

??

?

1 . 2

8k 8k 2 ? 2 设 S ?x1 , y1 ? , T ?x 2 , y 2 ? ,则 x1 ? x2 ? . , x x ? 1 2 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2
由 OS ? OT ? t OP , 当 t ? 0 ,直线 l 为 x 轴, P 点在椭圆上适合题意;………7 分
? 8k 2 tx ? x ? x ? 1 2 ? ? 0 1 ? 2k 2 当 t ? 0 ,得 ? ?ty ? y ? y ? k ( x ? x ? 4) ? ?4k 0 1 2 1 2 ? 1 ? 2k 2 ?
1 ?4 k 1 8k 2 , y0 ? ? ∴ x0 ? ? .………………8 分 2 t 1 ? 2k 2 t 1 ? 2k

将上式代入椭圆方程得:

32k 4 16k 2 ? ? 1, t 2 (1 ? 2k 2 ) 2 t 2 (1 ? 2k 2 ) 2

整理得: t 2 ?

16k 2 1 ,由 k 2 ? 知, 0 ? t 2 ? 4 ,……10 分 2 1 ? 2k 2

所以 t ? ? ?2,0? (0, 2) ,………………………11 分 综上可得 t ? (?2,, 2) . ……………………………………12 分

8


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