2019学年高中数学第1章集合1.3交集并集课件苏教版必修_图文

1.3

交集、并集

学习目标 重点难点 1.能说出交集、并集的概念,并能进 行集合间的运算. 重点:理解交集、并集的 2.知道交集、并集的运算性质,并能 概念,并会求交集、并集. 简单的应用. 难点:了解交集、并集的 3.能解决区间的表示问题 ,进一步体 运算性质并会应用 . 会数形结合与分类讨论思想的应 用.

1.交集与并集的概念及其表示 (1)交集.

(2)并集.

交流1 两个非空集合的交集一定是非空集合吗? 提示两个非空集合的交集可能是空集,也可能是非空集合.如 A={1,2,3,4},B={1,3,4,5},C={5,6},则 A∩B={1,3,4}≠?,A∩C=?,B∩C={5}≠?.

2.交集与并集的性质

? = ? 交集的性质 ? = ,?? = ? ? ? ,? ? 性质 ? = ? 并集的性质 ? = ,?? = ? ?, ? ?
交流2 设集合M={x|-5≤x<1},N={x|x≤2},则M∪N= 提示{x|x≤2}=N .

3.区间的概念 设a,b∈R,且a<b.
名称 闭区间 定义 {x|a≤x≤b} {x|a≤x<b} 半开半 闭区间 {x|a<x≤b} {x|x≥a} {x|x≤b} 符号 [a,b] [a,b) (a,b] [a,+∞) (-∞,b] 数轴表示

名称

定义 {x|a<x<b} {x|x>a} {x|x<b} R

符号 (a,b) (a,+∞) (-∞,b) (-∞,+∞)

数轴表示

开区间

交流3 数集都能用区间表示吗? 提示区间是数集的另一种表示方法,但并不是所有数集都能用区 间表示,如数集{1,2,3,4}就不能用区间表示.

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一、交集、并集的运算 已知集合A={x|-3<x<5},集合B={x|-2≤x<10},求A∩B,A∪B. 思路分析对于涉及不等式的两个数集,进行交、并运算时,通常 利用数轴求解更直观、准确. 解A={x|-3<x<5},B={x|-2≤x<10},将两个集合在数轴上表示出 来,如图所示.由交集、并集定义可得 A∩B={x|-3<x<5}∩{x|-2≤x<10}={x|-2≤x<5}. A∪B={x|-3<x<5}∪{x|-2≤x<10}={x|-3<x<10}.

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(2015广东高考)若集合M={-1,1},N={-2,1,0},则M∩N=( A.{0,-1} B.{1} C.{0} D.{-1,1} 答案:B 解析:因为M,N的公共元素只有1,所以M∩N={1}.选B.

).

用列举法表示的数集,依据交集、并集、补集的含义,直接 观察或用Venn图写出集合运算的结果;用描述法表示的数集,如果 直接观察不出运算结果,那么就要借助于数轴写出结果,此时要注 意:①交集是公共部分,并集是所有部分,补集是剩余的部分;②当端 点不在集合中时,用“空心圆”表示.

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二、交集、并集性质的应用 已知A={x|2a≤x≤a+3},B={x|x<-1,或x>5},若A∩B=?,求a的取值 范围. (导学号51790019) 思路分析出现交集为空集的情形,应首先考虑集合中有无空集, 即分类讨论;其次与不等式有关的集合的交、并运算中,数轴分析 法直观、清晰,应重点考虑.

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解(1)若A=?,有A∩B=?,此时2a>a+3, ∴a>3. (2)若A≠?,由A∩B=?,得到下图:

2 ≥ -1, 1 ∴ + 3 ≤ 5, 解得-2≤a≤2. 2 ≤ + 3,

综上所述 ,a 的取值范围是 - ≤ ≤ 2 或 > 3 .
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设集合A={-2},B={x|ax+1=0,a∈R},若A∩B=B,求a的值. 解∵A∩B=B,∴B?A.∵A={-2}≠?, ∴集合B应分B=?或B≠?讨论. 当B=?时,方程ax+1=0无解,此时a=0. 当B≠?时,此时a≠0,方程ax+1=0有一解,

则 B=

1 由 B?A,得 - ∈A. 1 1 即有 - =-2.∴a= . 2

1

.

综上得 a=0 或 a= .

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在利用集合的交集、并集性质解题时,常常会遇到 A∩B=A,A∪B=B等这类问题,解答时常借助于交集、并集的定义, 及子集的概念去分析,如A∩B=A?A?B,A∪B=B?A?B等,解答时 应灵活处理.

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三、交集、并集的综合应用 某地对农户抽样调查,结果如下:电冰箱拥有率为49%,电视机拥有 率为85%,洗衣机拥有率为44%,至少拥有上述三种电器中两种的占 63%,三种电器齐全的占25%,求一种电器也没有的农户所占的比例. (导学号51790020) 思路分析把各种人群看做集合,本题就是已知全集的元素个数,求 其某个子集的元素个数,可借助Venn图求解.

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解不妨设调查了100户农户,从而 U={被调查的100户农户}, A={100户中拥有电冰箱的农户}, B={100户中拥有电视机的农户}, C={100户中拥有洗衣机的农户}, 由图知,A∪B∪C的元素个数为49+85+44-63-25=90(个). 则?U(A∪B∪C)的元素个数为100-90=10(个). 显然,一种电器也没有的农户所占的比例为10%.

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在全国高中数学联赛第二卷中只有三道题,已知:(1)某校25个学 生参赛,每个学生至少答出一道题;(2)在所有没有解答出第一题的 学生中,解答出第二题的人数是解出第三题的人数的2倍;(3)只解出 第一题的学生比余下的学生中解出第一题的人数多1人;(4)只解出 一道题的学生中有一半没有解出第一题.问:共有多少学生只解出 第二题?(导学号51790021)

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解设三道题为A,B,C.借助Venn图,由已知条件,可得 ① + + + + + + = 25, ② + = 2( + ), = + + + 1, ③ = + . ④

②代入①,得a+2b-c+d+e+g=25.⑤ ③代入⑤,得2b-c+2d+2e+2g=24.⑥ ④代入⑤,得3b+d+e+g=25.⑦ ⑦×2-⑥,得4b+c=26.⑧
由于c≥0,所以b≤6.5. 利用②⑧消去c,得f=b-2(26-4b)=9b-52. 因为f≥0,所以b≥579,则有b=6,即只解出第二题的学生有6人.

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有关交集、并集的应用题,通常利用Venn图,使集合中元素 的个数以及集合间的关系直观地表示出来,进而根据图示逐一将文 字陈述的语句“翻译”成数学符号语言,利用方程思想解决问题.

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1.(2015北京高考)若集合A={x|-5<x<2},B={x|-3<x<3},则 A∩B=( ). A.{x|-3<x<2} B.{x|-5<x<2} C.{x|-3<x<3} D.{x|-5<x<3} 答案:A 解析:在数轴上将集合A,B表示出来,如图所示.

由交集的定义可得,A∩B为图中阴影部分,即{x|-3<x<2}.

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2.设全集U={1,2,3,4,5,6},集合A={1,3,5},B={2,4},则( A.U=A∪B B.U=(?UA)∪B C.U=A∪(?UB) D.U=(?UA)∪(?UB) 答案:D

).

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3.用区间表示下列数集: (1){x|x≥1}用区间表示为 ; (2){x|2<x≤3}用区间表示为 ; (3){x|x>1,且x≠2}用区间表示为 . 答案:(1)[1,+∞) (2)(2,3] (3)(1,2)∪(2,+∞)

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4.设A={x|x>1},B={x|-1<x≤3},则 A∪B= ;A∩B= 答案:{x|x>-1} {x|1<x≤3} 解析:利用数轴,数形结合可求得.

.

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5.集合P={1,3,m},Q={m2,1},且P∪Q={1,3,m},求实数m的值. (导 学号51790022) 解∵P∪Q={1,3,m}=P,∴Q?P. ∴m2=3或m2=m. ∴m=± 3 或m=0或m=1. 经检验,m=1不合题意舍去. 故m=± 3 或m=0.

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6.某运动协会共有成员68人,其中会游泳的有57人,会射击的有62 人.若两项都不会的有3人,则这个运动协会中两项都会的有多少人? (导学号51790023) 解设A={x|x为会游泳的人},B={x|x为会射击的人},则A∩B={x|x 为游泳与射击都会的人}.

依集合的运算性质,可设A∩B中元素个数为n,画出Venn图,可知 68=(57-n)+n+(62-n)+3. ∴n=54.故这个运动协会中游泳、射击两项都会的有54人.

加油学习


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