二次函数最值知识点总结_典型例题及习题

二次函数在闭区间上的最值
一、 知识要点: 设 f ( x) ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) ,求 f ( x) 在 x ? [m,n] 上的最大值与最小值。 当 a ? 0 时,它的图象是开口向上的抛物线,数形结合可得在[m,n]上 f ( x) 的最值: 1.当 ? 2.当 ?
2 b ? b ? 4ac ? b ? ?m,n?时, f ( x) 的最小值是 f ? ? ? ? ,f ( x) 的最大值是 f (m)、f (n) 中的较大者。 2a 4a ? 2a ?

b ? ?m,n?时 2a b ? m ,由 f ( x) 在 ?m,n?上是增函数则 f ( x) 的最小值是 f ( m) ,最大值是 f (n) 若? 2a b 若n ? ? ,由 f ( x) 在 ?m,n?上是减函数则 f ( x) 的最大值是 f ( m) ,最小值是 f ( n) 2a 当 a ? 0 时,可类比得结论。

二、例题分析归类: (一)、正向型 1. 定轴定区间 例 1. 函数 y ? ? x 2 ? 4 x ? 2 在区间[0,3]上的最大值是_________,最小值是_______。

练习. 已知 2 x ? 3 x ,求函数 f ( x) ? x 2 ? x ? 1 的最值。
2

2、定轴动区间
2 例 2. 如果函数 f ( x) ? ( x ? 1) ? 1 定义在区间 ?t,t ? 1? 上,求 f ( x) 的最值。

2 例 3. 已知 f ( x) ? ? x ? 4x ? 3 ,当 x ?[t,t ? 1](t ? R) 时,求 f ( x) 的最值.

1

3、动轴定区间 例 4. 已知 x ? 1 ,且 a ? 2 ? 0 ,求函数 f ( x) ? x 2 ? ax ? 3 的最值。
2

例 5. (1) 求 f ( x ) ? x2 ? 2ax ? 1 在区间[-1,2]上的最大值。 (2) 求函数 y ? ? x( x ? a) 在 x ? [?1 , 1] 上的最大值。

4. 动轴动区间 例 6. 已知 y ? 4a( x ? a)(a ? 0), ,求 u ? ( x ? 3) ? y 的最小值。
2 2 2

(二)、逆向型 例 7. 已知函数 f ( x) ? ax ? 2ax ? 1 在区间 [?3, 2] 上的最大值为 4,求实数 a 的值。
2

例 8.已知函数 f ( x) ? ?

x2 ? x 在区间 [m, n] 上的最小值是 3 m 最大值是 3 n ,求 m , n 的值。 2

例 9. 已知二次函数 f ( x ) ? ax ? ( 2a ? 1)x ? 1 在区间 ? ?
2

? 3 ? ,2 上的最大值为 3,求实数 a 的值。 ? 2 ? ?

2

一.知识要点: 一元二次函数的区间最值问题,核心是函数对称轴与给定区间的相对位置关系的讨论。一般分为:对称轴在 区间的左边,中间,右边三种情况. 设 f ( x) ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) ,求 f ( x) 在 x ? [m,n] 上的最大值与最小值。 分析:将 f ( x) 配方,得顶点为 ? ??

?

b 4ac ? b 2 , 4a ? 2a

? b ? ? 、对称轴为 x ? ? 2a ?

当 a ? 0 时,它的图象是开口向上的抛物线,数形结合可得在[m,n]上 f ( x) 的最值: (1) 当? (2)当 ?
2 b ? b ? 4ac ? b ? ?m,n?时, f ( x) 的最小值是 f ? ? ? ? ,f ( x) 的最大值是 f (m)、f (n) 中的较大者。 2a 4a ? 2a ?

b ? ?m,n?时 2a b ? m ,由 f ( x) 在 ?m,n?上是增函数则 f ( x) 的最小值是 f ( m) ,最大值是 f (n) 若? 2a b 若n ? ? ,由 f ( x) 在 ?m,n?上是减函数则 f ( x) 的最大值是 f ( m) ,最小值是 f ( n) 2a 当 a ? 0 时,可类比得结论。

二、例题分析归类: (一)、正向型 是指已知二次函数和定义域区间,求其最值。对称轴与定义域区间的相互位置关系的讨论往往成为解决这类 问题的关键。此类问题包括以下四种情形:(1)轴定,区间定;(2)轴定,区间变;(3)轴变,区间定;(4) 轴变,区间变。 1. 定轴定区间 二次函数是给定的,给出的定义域区间也是固定的,我们称这种情况是“定二次函数在定区间上的最值”。 例 1. 函数 y ? ? x 2 ? 4 x ? 2 在区间[0,3]上的最大值是_________,最小值是_______。

练习. 已知 2 x ? 3 x ,求函数 f ( x) ? x 2 ? x ? 1 的最值。
2

2、定轴动区间 二次函数是确定的,但它的定义域区间是随参数而变化的,我们称这种情况是“定函数在动区间上的最值”。
2 例 2. 如果函数 f ( x) ? ( x ? 1) ? 1 定义在区间 ?t,t ? 1? 上,求 f ( x) 的最值。

2 例 3. 已知 f ( x) ? ? x ? 4x ? 3 ,当 x ?[t,t ? 1](t ? R) 时,求 f ( x) 的最值.

3

对二次函数的区间最值结合函数图象总结如下:



时 f ( x) max

b 1 ? f (m), ? ? (m ? n)(如图1) ? ? 2a 2 ?? f ( x) min b 1 ? f (n), ? ? (m ? n)(如图2) ? 2a 2 ?

b ? ? ? n(如图3) ? f (n), 2a ? b b ? ? ? f (? ),m ? ? ? n(如图4) 2a 2a ? b ? ? ? m(如图5) ? f (m), 2a ?



时 f ( x) max

b ? ? ? n(如图6) ? f (n), b 1 ? 2a f ( m ) , ? ? (m ? n)( 如图 9) ? ? ? 2a 2 b b ? ? ? f (? ),m ? ? ? n(如图7) f ( x ) min ? ? 2a 2a ? f (n) , ? b ? 1 (m ? n)( 如图10) ? ? b ? 2a 2 ? f ( m ) , ? ? m ( 如图 8 ) ? 2a ?

3、动轴定区间 二次函数随着参数的变化而变化,即其图象是运动的,但定义域区间是固定的,我们称这种情况是“动二次 函数在定区间上的最值”。 例 4. 已知 x ? 1 ,且 a ? 2 ? 0 ,求函数 f ( x) ? x 2 ? ax ? 3 的最值。
2

例 5. (1) 求 f ( x ) ? x2 ? 2ax ? 1 在区间[-1,2]上的最大值。 (2) 求函数 y ? ? x( x ? a) 在 x ? [?1 , 1] 上的最大值。

4. 动轴动区间 二次函数是含参数的函数,而定义域区间也是变化的,我们称这种情况是“动二次函数在动区间上的最值”。 例 6. 已知 y ? 4a( x ? a)(a ? 0), ,求 u ? ( x ? 3) ? y 的最小值。
2 2 2

4

(二)、逆向型 是指已知二次函数在某区间上的最值,求函数或区间中参数的取值。 例 7. 已知函数 f ( x) ? ax2 ? 2ax ? 1 在区间 [?3, 2] 上的最大值为 4,求实数 a 的值。

例 8.已知函数 f ( x) ? ?

x2 ? x 在区间 [m, n] 上的最小值是 3 m 最大值是 3 n ,求 m , n 的值。 2

例 9. 已知二次函数 f ( x ) ? ax2 ? ( 2a ? 1)x ? 1 在区间 ? ?

? 3 ? ,2 上的最大值为 3,求实数 a 的值。 ? 2 ? ?

5

二次函数在闭区间上的最值专题演练
1.函数 y ? x ? x ? 1 在 [ ?1,1] 上的最小值和最大值分别是
2





( A) 1 ,3

(B)

3 ,3 4

(C) ?

1 ,3 2

(D) ?

1 ,3 4
( )

2.函数 y ? ? x 2 ? 4 x ? 2 在区间 [1,4] 上的最小值是

( A) ? 7
3.函数 y ?
2

(B) ? 4

(C ) ? 2

( D) 2
( )

8 的最值为 x ? 4x ? 5
( B ) 不存在最小值,最大值为 8 ( D) 不存在最小值,也不存在最大值

( A) 最大值为 8,最小值为 0
(C)最小值为 0, 不存在最大值

2 4.若函数 y ? 2 ? ? x ? 4 x , x ? [0,4] 的取值范围是______________________

5.已知函数

上的最大值是 1,则实数 a 的值为_________. )

6.已知函数 y ? x 2 ? 2 x ? 3 在闭区间 [0, m] 上有最大值 3,最小值 2,则 m 的取值范围是 ( (A) [1,??) (B) [0,2] (C) [1,2] (D) (??,2]

7.设 f ( x) ? x 2 ? 4x ? 4, x ? [t , t ? 1](t ? R), 求函数 f ( x) 的最小值.

8. 已知函数 f ( x) ? 4 x ? kx ? 8在[5,20]上具有单调性,求实数 k 的取值范围。
2

9. 若函数 f ( x) ? (a ? 2) x2 ? 2(a ? 2) x ? 4 ? 0对一切x ? R 恒成立,则 a 的取值范围( A. (??, 2] B. [?2, 2] C. (?2, 2] D. (??, ?2) )



10. 已知函数 f ( x) ? 4x2 ? 4ax ? 2在(-?,0]内单调递减,则 a 取( A. a ? 3 B. a ? 3
2

C. a <-3

D. a ? ?3

11. 已知函数 f ( x) ? ? x ? kx在[2,4]上是单调函数,求 k 的取值范围。

12. 已知函数 f ( x) ? x ? 2 x ? 3在[0,m]上有最大值是 3,最小值是 2,求 m 的取值范围。
2

6

2 13. 已知函数 f ( x ) ? 3 ? x ? 4 的最大值为 M,最小值为 m,则 M+m=________.

14. 已知函数 f ( x) ? 4x2 ? 4ax ? a2 -2a+2在[0,2]上的最小值为 3,求 a 的值。

15.求函数 f ( x) ? ?x2 ? 2 x +3 的单调区间。

16. 已知函数 f ( x) ? ?2 x2 ? 6 x在 下列定义域上的值域: (1)定义域为 {x ? Z ︱ 0 ? x ? 3} (2)定义域为[-2,1].

17. 已知函数 f ( x) ? x2 ? ax ? 3 ? a, 若 x ? [?2, 2] ,有 f ( x) ? 2 恒成立,求 a 的取值范围。

18. 已知函数 f ( x) ? x2 , ?2 ? x ? a, 其中 a ? 2 ,求该函数的最大值与最小值。

19 已知二次函数 f ( x) ? ? x2 ? 6 x ? a 的函数值总为负数,求 a 的取值范围。

20. 已知二次函数 f ( x) ? (m ? 6) x2 ? 2(m ?1) x ? m ? 1的图像与 x 轴总有交点,求 m 的取值范围。

21. 已知二次函数 f ( x) ? x ? (m ?1) x ? m ? 3 顶点在 y 轴上,求 m 的值。
2

22. 已知函数 f ( x) ? mx2 ? (m2 ? m) x ? 2 的图像关于 y 轴对称,求 m 的值。

23. 已知函数 f ( x) ? (a ? 2) x ? 2(a ? 2) x ? 4 ? 0 对一切 x 恒成立,求 m 的取值范围。
2

24. 已知函数 f ( x) ? x ? 4ax,(1 ? x ? 3) 是单调增函数,求实数 a 的取值范围。
2

25. 已知函数 f ( x) ? x ? ax ? 1 有负值,求 a 的取值范围。
2

26. 已知函数 f ( x) ? (m ? 2) x ? 3 ? 2m 的图像在 x 轴下方,求 m 的值。
2

7

27. 已知函数 f ( x) ? x2 ? ax ? 1 ? 0 对于一切 x ? (0, ] 成立,求 a 的取值范围。

1 2

28. 已知函数 f ( x) ? 2 x2 ? mx ? 3 ,当 x ? (??, ?1] 时是减函数,求 m 的取值范围。

29 已知函数 f ( x ) ?

x 2 ? 2ax ? a 的定义域是 R,求 a 的取值范围。

30.已知函数 f ( x) ? x2 ? 4ax ? 2a ? 6( x ? R) 的值域为[0, ??] ,求 a 的值。

31. . 已知函数 f ( x) ? x2 ? 4 x ? m 对于 x ? (0,1] 恒成立, ,求 m 的取值范围。

32. . 已知函数 f ( x) ? x2 ? bx ? c 在 [0, ??) 上是单调函数,则 b 的取值范围。

33. 已知函数 f ( x) ? 2 x2 ? (2 ? a) x ? 2a(a ? 2) ,求在 [0, 2] 上的最小值。

34. .已知函数 f ( x) ? 2 x2 ? (2 ? a) x ? 2a ,在 [0, 2] 上是单调函数,求 a 的取值范围。

35. 已知函数 f ( x) ? 2 x2 ? (2 ? a) x ? 2a ,在 [t , t ? 2] 上是偶函数,求 a 的取值范围。

36. 当 a=-2 时,求.函数 f ( x) ? 2 x ? (2 ? a) x ? 2a 在 [t , t ? 2] 上的最小值。
2

37. 已知函数 f ( x) ?

2 x 2 ? (2 ? a ) x ? 2a 的定义域为 R,求 a 的取值范围。

38. 已知函数 f ( x) ? x ? 2ax ? 1 ,求 x ?[?2,1] 上的最值。
2

39. 已知函数 f ( x) ? x ? 2 x ? 1,求 x ?[m, m ? 1] 上的最值。
2

40. 已知函数 f ( x) ? ? x ? 2ax ? 1 ? a , x ? [0,1] 上的最值为 2,求 a 的值。
2

8

41. 已知函数 f ( x) ? x2 ? 2x ? 2 : (1)若 x ? R ,求 f(x)的最小值。 (2)若 x ? [1,3] ,求 f(x)的最小值。 (3)若

x ?[a, a ? 2], a ? R ,求 f(x)的最小值。

42. 已知函数 f ( x) ? ? x2 ? 2kx ? 3 ,求 x ?[?1, 2] 上的最大值。

43. 已知函数 f ( x) ? kx2 ? 2kx ? 1,求 x ? [?3, 2] 上的最值。

44. 已知函数 f ( x) ? ?3 x ? 3 x ?
2

1 2 ? b ,求 x ? [?b, b], (b ? 0) 上的最值。 4

45. 已知函数 f ( x) ? ? x( x ? t ) ? 1,求 x ?[?1,1] 上的最值。

2 46. 已知函数 f ( x) ? ax ? (2a ?1) x ? 3 ,求 x ? [? , 2] 上的最大值。

3 2

47. 已知函数 f ( x) ? x2 ? ax ? 3 ,求 x ? [0,1] 上的最值。

48. 已知函数 f ( x) ? ? x( x ? a) ,求 x ? [?1, a] 上的最大值。

49. 已知函数 f ( x) ? x2 ? 2ax ? 1 ,在 x ?[?1, 2] 上的最大值为 4,求 a 的值。

50. 若不等式 9 x ? 6ax ? a ? 2a ? 6 ? 0 在 ?
2 2

1 1 ? x ? 内恒成立,求 a 的取值范围。 3 3

51. 已知函数 f ( x) ? x2 ? 2x ? 3 ,求 x ?[t , t ? 1] 上的最值。

52. 已知函数 f ( x) ? ax ? 2ax ? 5 ,求 x ? [0,3] 上的最值。
2

53. 已知函数 f ( x) ? ?2 x ? ax ? 3 ,求 x ?[?3,1] 上的最值。
2

9

54. 已知函数 f ( x) ? ax2 ? 3x ? 8 ,求 x ? [?2, ??] 上的最值。

55. 已知函数 f ( x) ? (4 ? 3a) x2 ? 2 x ? a ,求 x ? [0,1] 上的最值。

56. 已知函数 f ( x) ? x2 ? (2t ? 1) x ? t 2 ?1 ,当 t 取何值时,函数的最小值为 0.

57. 已知函数 f ( x) ? x2 ? 2tx ? 1 ,求 x ?[?1,1] 上的最大值。

58. 已知函数 f ( x) ? x2 ? 4x ? a ,在 x ? [0, 6] 上的最大值为 13,求 a 的值。

59. 已知函数 f ( x) ? x2 ? 2ax ? 4 ,在 x ? [0,3] 上的最小值为 1,求 a 的值。

60. 已知函数 f ( x) ? x2 ? 2ax ? 4 ,在 x ? [1,3] 上的最大值为 13,求 a 的值。

61. 已知函数 f ( x) ? x2 ? 2ax ? 4 ,在 x ? [1,3] 上的值域。

62. 已知函数 f ( x) ? x2 ?10x ? 30 ,在 x ? [a, a ? 3] 上的最小值为 6,求 a 的值。

63. 已知函数 f ( x) ? x ?10x ? 30 ,求在 x ? [a, a ? 3] 上的最小值。
2

64.已知 f ( x) ? x ? ax ?
2

a ,在区间 [0,1] 上的最大值为 g (a ) ,求 g (a ) 的最小值。 2

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