与名师对话2019届高三数学(文)一轮复习:第九章 平面解析几何 课时跟踪训练51含解析

课时跟踪训练(五十一) [基础巩固] 一、选择题 1、(2017· 江西九江一模)若双曲线 mx2+2y2=2 的虚轴长为 4,则 该双曲线的焦距为( ) D. 3 A、2 5 B. 5 C、2 3 [解析] 2 x2 2 1 双曲线方程为 y - 2 =1,∴-m=4,∴m=-2,双曲线 -m 的焦距为 2 5,故选 A. [答案] A x2 2 2、 (2017· 全国卷Ⅱ)若 a>1,则双曲线a2-y =1 的离心率的取值范 围是( ) B、( 2,2) D、(1,2) 1 1+a2,因为 a>1,所以 e A、( 2,+∞) C、(1, 2) [解析] 依题意得,双曲线的离心率 e= ∈(1, 2),选 C. [答案] C y2 3、(2017· 全国卷Ⅰ)已知 F 是双曲线 C:x - 3 =1 的右焦点,P 是 2 C 上一点,且 PF 与 x 轴垂直,点 A 的坐标是(1,3),则△APF 的面积为 ( ) 1 1 2 3 A.3 B.2 C.3 D.2 [解析] 解法一:由题可知,双曲线的右焦点为 F(2,0),当 x=2 时, y2 代入双曲线 C 的方程,得 4- 3 =1,解得 y=± 3,不妨取点 P(2,3),因为点 1 A(1,3),所以 AP∥x 轴; 又 PF⊥x 轴,所以 AP⊥PF,所以 S△APF=2|PF|· |AP| 1 3 =2×3×1=2.故选 D. 解法二: 由题可知,双曲线的右焦点为 F(2,0),当 x=2 时,代入双曲 y2 线 C 的方程,得 4- 3 =1,解得 y=± 3,不妨取点 P(2,3),因为点 A(1,3),所 → → → → 1 以AP=(1,0),PF=(0,-3),所以AP· PF=0,所以 AP⊥PF,所以 S△APF=2 1 3 |PF||AP|=2×3×1=2.故选 D. [答案] D x2 y2 4、(2017· 天津卷)已知双曲线a2-b2=1(a>0,b>0)的右焦点为 F, 点 A 在双曲线的渐近线上,△OAF 是边长为 2 的等边三角形(O 为原点), 则双曲线的方程为( x2 y2 A. 4 -12=1 x2 2 C. 3 -y =1 ) x2 y2 B.12- 4 =1 y2 D、x - 3 =1 2 b [解析] 由△OAF 是边长为 2 的等边三角形可知,c=2,a=tan60° y2 = 3,又 c =a +b ,联立可得 a=1,b= 3,∴双曲线的方程为 x - 3 = 2 2 2 2 1. [答案] D y2 5、(2018· 广东六校联盟联考)设 F1,F2 是双曲线 x -24=1 的两个 2 焦点,P 是双曲线上的一点,且 3|PF1|=4|PF2|,则△PF1F2 的面积等于 ( ) A、4 2 B、8 3 C、24 D、48 [解析] 依题意,得 F1(-5,0),F2(5,0),|F1F2|=10. 4 ∵3|PF1|=4|PF2|,设|PF2|=x,则|PF1|=3x. 4 由双曲线的性质知3x-x=2,解得 x=6. ∴|PF1|=8,|PF2|=6,∴∠F1PF2=90° , 1 ∴△PF1F2 的面积=2×8×6=24.故选 C. [答案] C x2 y2 6、(2016· 天津卷)已知双曲线 4 -b2=1(b>0),以原点为圆心,双曲 线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于 A,B,C,D 四 点,四边形 ABCD 的面积为 2b,则双曲线的方程为( x2 3 y2 A. 4 - 4 =1 x2 y2 C. 4 - 4 =1 x2 4 y2 B. 4 - 3 =1 x2 y2 D. 4 -12=1 ) [解析] 根据对称性,不妨设点 A 在第一象限,其坐标为(x,y),于是 2 2 ?x +y =4, 有? b ?y=2x ? ?x= ?? ? ?y= 4 , b +4 2 4 b · , b2+4 2 则 xy= 16 b b · = ?b2=12. b +4 2 2 2 x2 y2 故所求双曲线的方程为 4 -12=1,故选 D. [答案] D 二、填空题 7、 若双曲线的渐近线方程为 x± 2y=0,焦距为 10,则该双曲线的方 程为__________、 [解析] 设双曲线的方程为 x2-4y2=λ(λ≠0),焦距 2c=10,c2=25, x2 y2 λ 当 λ>0 时, λ - λ =1,λ+4=25,∴λ=20; 4 ? λ? y2 x2 当 λ<0 时, λ- =1,-λ+?-4?=25, ? ? -λ -4 ∴λ=-20. x2 y2 y2 x2 故该双曲线的方程为20- 5 =1 或 5 -20=1. x2 y2 y2 x2 [答案] 20- 5 =1 或 5 -20=1 x2 y2 8、(2018· 银川第二中学月考)若以双曲线 2 -b2=1(b>0)的左、右 焦 点 和 点 P(1, 2 ) 为 顶 点 的 三 角 形 为 直 角 三 角 形 , 则 b 等 于 __________、 x2 y2 [解析] 设双曲线 2 -b2=1(b>0)的左、 右焦点为 F1(-c,0),F2(c,0), 依题意,kPF1· kPF2= [答案] 1 x2 y2 9、(2017· 全国卷Ⅰ)已知双曲线 C:a2-b2=1(a>0,b>0)的右顶点 为 A,以 A 为圆心,b 为半径作圆 A,圆 A 与双曲线 C 的一条渐近线交于 M,N 两点、若∠MAN=60° ,则 C 的离心率为________、 b [解析] 双曲线的右顶点为 A(a,0),一条渐近线的方程为 y=ax,即 bx-ay=0,圆心 A 到此渐近线的距离 d= |ba-a×0| ab = c ,因为∠MAN b2+a2 2 2 · =-1,∴c2=3,b2=1,∴b=1. 1+c 1-c ab 3b ab 2 2 3 =60°

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