河北省武邑中学2015-2016学年高二数学下学期暑假作业试题 理(19)

河北省武邑中学 2015-2016 学年高二数学下学期暑假作业试题 理 (19)
一、选择题 1.若曲线 y=x2+ax+b 在点(0,b)处的切线方程 x﹣y+1=0,则( ) A.a=1,b=1 B.a=﹣1,b=1 C.a=1,b=﹣1 D.a=﹣1,b=﹣1 2. “直线与平面 α 内无数条直线垂直”是“直线与平面 α 垂直”的( ) A.充分不必要条件 C.充要条件 3.定积分 A.9π B.3π 的值为( C. ) D. B.必要不充分条件 D.既不充分又不必要条件

4. 某厂将原油精炼为汽油, 需对原油进行冷却和加热, 如果第 x 小时, 原油温度 (单位: ℃) 为 ( A.8 ) B. C.﹣1 D.﹣8 ) ,那么,原油温度的瞬时变化率的最小值是

5.若 f(x)是定义在 R 上的可导函数,且满足(x﹣1)f′(x)≥0,则必有( A.f(0)+f(2)<2f(1) B.f(0)+f(2)>2f(1) C.f(0)+f(2)≤2f(1) D.f(0)+f(2)≥2f(1) 二、填空题 6. 的共轭复数为
3 2



7.已知函数 f(x)=x +2x ﹣ax+1 在区间(﹣1,1)上恰有一个极值点,则实数 a 的取 值范围是 . 8.曲线 y=lnx 上的点到直线 2x﹣y+3=0 的最短距离是 . 9.观察下列式子: , , . 三、解答题 10.已知数列 an 的前 n 项和为 Sn,且 a1=1,Sn=n2an(n∈N) , (1)试计算 S1,S2,S3,S4,并猜想 Sn 的表达式; (2)证明你的猜想,并求出 an 的表达式. ,?,则可以猜想:

1

11.求由抛物线 y=﹣x +4x﹣3 与它在点 A(0,﹣3)和点 B(3,0)的切线所围成的区域 面积.

2

12.已知函数 f(x)=x3+ax2+bx+c 在

与 x=1 时都取得极值;

(1)求 a,b 的值及 f(x)的极大值与极小值; (2)若方程 x3+ax2+bx+c=1 有三个互异的实根,求 c 的取值范围; 2 (3)若对 x∈[1,2],不等式 f(x)<c 恒成立,求 c 的取值范围.

2

3

答案 1. A 2. B 3. C 4. C 5. D 6.: ﹣ i 7.﹣1≤a<7.8.: 9.:

10. 解: (1)由 a1=1,Sn=n2an(n∈N)得 猜想 (2)证明:∵Sn=n an①∴Sn﹣1=(n﹣1) an﹣1② 2 2 ①﹣②得 Sn﹣Sn﹣1=n an﹣(n﹣1) an﹣1 ∴an=n2an﹣(n﹣1)2an﹣1 化简得 ∴
2 2

把上面各式相乘得

∴ 11.解:∵y=﹣x +4x﹣3, ∴y′=﹣2x+4, x=0 时,y′=4,x=3 时,y′=﹣2, ∴在点 A(0,﹣3)和点 B(3,0)的切线方程分别为 y=4x ﹣3 和 y=﹣2x+6, 两条切线的交点是 (1.5, 3) , 如图所示, 区域被直线 x=1.5 分成了两部分, ∴所求面积为 S= + = + =2.25.
2

12.解: (1)∵f'(x)=3x2+2ax+b 由已知有 ,解得 ﹣﹣﹣﹣﹣﹣

∴f'(x)=3x ﹣x﹣2, 由 f'(x)>0 得 x>1 或 列表如下
4

2

,由 f'(x)<0 得

﹣﹣﹣

x f'(x) f(x) + 递增 0 ﹣ 递减

1 0

(1,+∞) + 递增

所以,当

时, f(x)有极大值

,当 x=1 时,f(x)有极小值

﹣﹣

﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ (2) 由于方程 x3+ax2+bx+c=1 有三个互异的实根, 故曲线 与 y=1 有三个不同交点﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

由(1)可知此时有

,解得

;﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

(3)由(1)知,f(x)在 x∈[1,2]上递增,此时 f(x)max=f(2)=c+2﹣﹣ 2 要满足题意,只须 c+2<c 解得 c>2 或 c<﹣1﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

5


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