高考数学教案必胜秘诀

平面向量
1、向量有关概念: (1)向量的概念:既有大小又有方向的量,注意向量和数量的区别。向量常用有向线段 来表示, 注意不能说向量就是有向线段, 为什么? (向量可以平移) 。 如已知 A (1,2) , B (4,2) , 则把向量 AB 按向量 a =(-1,3)平移后得到的向量是_____(答: (3,0) ) (2)零向量:长度为 0 的向量叫零向量,记作: 0 ,注意零向量的方向是任意的; ( 3 ) 单位向量 :长度为一个单位长度的向量叫做单位向量 ( 与 AB 共线的单位向量是 AB ); ? | AB | (4)相等向量:长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量,相等向量有传递性; (5) 平行向量(也叫共线向量) :方向相同或相反的非零向量 a 、b 叫做平行向量, 记作:

a ∥ b ,规定零向量和任何向量平行。提醒:①相等向量一定是共线向量,但共线向量不一定
相等;②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念:两个向量平行包含两个向量共 线 , 但两条直线平行不包含两条直线重合;③ 平行向量无传递性 ! (因为有 0 ) ;④三点

A、 B、 C 共线 ? AB、 AC 共线;
(6)相反向量:长度相等方向相反的向量叫做相反向量。 a 的相反向量是- a 。 如下列命题: (1)若 a ? b ,则 a ? b 。 (2)两个向量相等的充要条件是它们的起点相同, 终点相同。 ( 3 )若 AB ? DC ,则 ABCD 是平行四边形。 ( 4 )若 ABCD 是平行四边形,则

AB ? DC 。 (5)若 a ? b ,b ?c ,则 a ? c 。 (6)若 a // b, b// c ,则 a // c 。其中正确的是_______ (答: (4) (5) )
2、向量的表示方法: (1)几何表示法:用带箭头的有向线段表示,如 AB ,注意起点在 前,终点在后; (2)符号表示法:用一个小写的英文字母来表示,如 a , b , c 等; (3)坐标 表示法:在平面内建立直角坐标系,以与 x 轴、 y 轴方向相同的两个单位向量 i , j 为基底, 则平面内的任一向量 a 可表示为 a ? xi ? y j ? ? x, y ? ,称 ? x, y ? 为向量 a 的坐标, a = ? x, y ? 叫做向量 a 的坐标表示。如果向量的起点在原点,那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。 3.平面向量的基本定理:如果 e1 和 e2 是同一平面内的两个不共线向量,那么对该平面内 的任一向量 a,有且只有一对实数 ?1 、 ?2 ,使 a= ?1 e1+ ?2 e2。如(1)若 a ? (1,1), b ?

1 3 ; (2)下列向量组中,能作为平面内所有向 (1, ?1), c ? (?1,2) ,则 c ? ______(答: a ? b ) 2 2 量基底的是 A. e1 ? (0,0), e2 ? (1, ?2) B. e1 ? (?1,2), e2 ? (5,7) C. e1 ? (3,5), e2 ? (6,10) D. 1 3 ; (3)已知 AD, BE 分别是 ?ABC 的边 BC, AC 上的中线,且 e1 ? (2, ?3), e2 ? ( , ? ) (答:B) 2 4 2 4 AD ? a, BE ? b ,则 BC 可用向量 a, b 表示为_____(答: a ? b ) ; (4)已知 ?ABC 中,点 D 3 3
在 BC 边上,且 CD ? 2 DB , CD ? r AB ? s AC ,则 r ? s 的值是___(答:0) 4、实数与向量的积:实数 ? 与向量 a 的积是一个向量,记作 ? a ,它的长度和方向规定 如下: ?1? ? a ? ? a , ? 2 ? 当 ? >0 时, ? a 的方向与 a 的方向相同,当 ? <0 时, ? a 的方向 与 a 的方向相反,当 ? =0 时, ? a ? 0 ,注意: ? a ≠0。 5、平面向量的数量积: (1)两个向量的夹角:对于非零向量 a , b ,作 OA ? a, OB ? b , ?AOB ? ?
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