圆之 直线与圆之 相交之 弦长问题

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圆之 直线与圆之 相交之 弦长问题
1.已知圆的方程为 x ? y ? 6 x ? 8 y ? 0, 设该圆中过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为 AC 和 BD,则四边形
2 2

ABCD 的面积是() A. 10 6 B. 20 6 C. 30 6
2

D. 40 6
2

B 两点, 2. 设直线 ax ? y ? 3 ? 0 与圆 ( x ?1) ? ( y ? 2) ? 4 相交于 A 、 且弦 AB 的长为 2 3 , 则 a ? _________.
3.直线 x-y+3=0 被圆(x+2) +(y-2) =2 截得的弦长等于 A.
2 2

( D. 6



6 2
2 2

B. 3

C.2 3

4.已知圆 C:x +y -8y+12=0,直线 l:ax+y+2a=0. (1)当 a 为何值时,直线 l 与圆 C 相切? (2)当直线 l 与圆 C 相交于 A、B 两点,且 AB=2 2 时,求直线 l 的方程. 5.直线 x ? 2 y ? 5 ? 0 与圆 x ? y ? 8 相交于 A、B 两点,则?AB ??
2 2

.

6.

7.直线 y ? kx ? 3 与圆 ? x ? 3? ? ? y ? 2 ? ? 4 相交于 M,N 两点,若 MN ? 2 3 ,则 k 的取值范围是
2 2

? 3 ? 0? ?? , A. ? 4 ?

? 3 3? 3? ? , ? ?? ?? , ? ? 0 , ? ? ? ? ? ? 3 3 ? 4 ? ? B. ? C.

? 2 ? 0? ?? , D. ? 3 ?

8.已知直线:y=x+b 和圆 x2+y2+2x―2y+1=0 (1)若直线和圆相切,求直线的方程;(2)若 b=1,求直线和圆相交的弦长; 9.直线 x ? 2 y ? 3 ? 0 与圆 ( x ? 2) ? ( y ? 3) ? 9 交于 E、F 两点,则 ?EOF (O 为原点)
2 2

的面积为( A.

) B.

3 2

3 4

C.

6 5 5

D.

3 5 5
_ _.

10.过点 M(0,4) 、被圆 ( x ? 1) 2 ? y 2 ? 4 截得的线段长为 2 3 的直线方程为 11.求过点 P(6,-4)且被圆 x ? y ? 20 截得长为 6 2 的弦所在的直线方程.
2 2

12.已知圆 C: ?x ?1?2 ? ? y ? 2?2 ? 25及直线 l : ?2m ? 1?x ? ?m ? 1?y ? 7m ? 4 . ?m ? R? (1)证明:不论 m 取什么实 数,直线 l 与圆 C 恒相交; (2)求直线 l 与圆 C 所截得的弦长的最短长度及此时直线 l 的方程. 14.直线 3x-4y-4=0 被圆(x-3) +y =9 截得的弦长为( (A) 2 2 (B)4
2
2 2

) (D)2

(C) 4 2
2

15.若直线 x ? y ? 2 被圆 ( x ? a) ? y ? 4 所截得的弦长为 2 2 ,则实数 a 的值为

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本类题的特征是: __________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________ 本类题的做法是: __________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________

答案
1.B 2.0 3.D 4. 由题意知圆 C 的圆心为(0,4),半径为 2. 当直线 l 与圆 C 相切时,

4 ? 2a a ?1
2

=2,解得 a= ?

3 . 4

(2)当直线 l 与圆 C 相交,且 AB=2 2 时, 圆心(0,4)到直线 l 的距离 d=

4 ? 2a a ?1
2

? 4 ? ( 2)2 ,

解得 a=-1 或 a=-7. 此时直线 l 的方程为 x-y+2=0 或 7x-y+14=0. 5.解析:方法一、圆心为(0,0),半径为 2 2 圆心到直线 x ? 2 y ? 5 ? 0 的距离为 d=

| 0?0?5| 12 ? (?2)2

? 5

故?

| AB | ? ? ? ? ??? ? ?? 2 ?? ?

得|AB|=2 3 答案:2 3 6.【解析】由题意,设所求的直线方程为 x+y+m=0 ,设圆心坐标为 (a,0) ,则由题意知:

(

| a-1| 2 ) +2=(a-1)2 ,解得 a=3 或-1,又因为圆心在 x 轴的正半轴上,所以 a=3 ,故圆心坐标为(3,0) ,因为圆 2

心(3,0)在所求的直线上,所以有 3+0+m=0 ,即 m=-3 ,故所求的直线方程为 x+y-3=0 。 【命题意图】本题考查了直线的方程、点到直线的距离、直线与圆的关系,考查了同学们解决直线与圆问题的能 力。 7.【答案】A 【解析】考查直线与圆的位置关系、点到直线距离公式,重点考察数形结合的运用. 解法 1:圆心的坐标为(3.,2) ,且圆与 y 轴相切.当 | MN |? 2 3时,由点到直线距离公式,解得 [? , 0] ; 解法 2:数形结合,如图

3 4

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由垂径定理得夹在两直线之间即可, 不取 ?? ,排除 B,考虑区间不对称,排除 C,利用斜率估值,选 A 8.(1)直线为:y=x+2± 2 (2) 2 9.C 10. x=0 或 15x+8y-32=0;

11.【答案】设弦所在的直线方程为 y ? 4 ? k ( x ? 6) ,即 kx ? y ? 6k ? 4 ? 0 ①
y

O

x

P

则圆心(0,0)到此直线的距离为 d ? | 6k ? 4 | . 2
1? k

因为圆的半弦长、半径、弦心距恰好构成 Rt△, 所以 ( | 6k ? 4 | )2 ? (3 2) 2 ? 20 . 1? k2 由此解得 k ? ?

7 或 k ? ?1 . 17
17 17

代入①得切线方程 ? 7 x ? y ? 6 ? (? 7 ) ? 4 ? 0 或 ? x ? y ? 6 ? (?1) ? 4 ? 0 , 即 7 x ? 17 y ? 26 ? 0 或 x ? y ? 2 ? 0 . 12.【答案】(1)直线方程 l : ?2m ? 1?x ? ?m ? 1?y ? 7m ? 4 ,可以改写为 m?2 x ? y ? 7 ? ? x ? y ? 4 ? 0 ,所以直线必经过直线
?2 x ? y ? 7 ? 0, ? x ? 3, 2 x ? y ? 7 ? 0和x ? y ? 4 ? 0 的交点.由方程组 ? 解得 ? 即两直线的交点为 A (3,1) 又因为点 x ? y ? 4 ? 0 ? ?y ? 1

A?3,1? 与圆心 C ?1,2 ? 的距离 d ? 5 ? 5 ,所以该点在 C 内,故不论 m 取什么实数,直线 l 与圆 C 恒相交.

(2)连接 AC ,过 A 作 AC 的垂线,此时的直线与圆 C 相交于 B 、 D . BD 为直线被圆所截得的最短弦长.此时,
AC ? 5, BC ? 5, 所以 BD ? 2 25 ? 5 ? 4 5 .即最短弦长为 4 5 .

又直线 AC 的斜率 k AC ? ? 1 ,所以直线 BD 的斜率为 2.此时直线方程为: y ? 1 ? 2?x ? 3?, 即2 x ? y ? 5 ? 0.
2

14.C

15. 0 或 4

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