2014年高考理科数学真题最全版(附答案)

2014 年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷)附答案
本试卷共 22 题,其中第 15、16 题为选考题.满分 150 分.考试用时 120 分钟. 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项 中,只有一项是符合题目要求的.
1.集合

M ? { y ? R y ? 3x }

, N ? {?1, 0,1} ,则下列结论正确的是( )

A. M

N ? {0,1}

B. M

N ? (0, ??)

C. (CR M )

N ? (??,0)

D. (CR M )

N ? {?1, 0}

2.下列命题错误的是( )
2 2 x , y 中至少有一个不为 0 ,则 A .命题“若 x ? y ? 0 ,则 x ? y ? 0 ”的逆否命题为“若

x2 ? y 2 ? 0 ”

?x ? R, x0 ? x0 ? 1 ? 0 ,则 ?p : ?x ? R, x ? x ? 1 ? 0 B.若命题 p : 0
2 2

C. ?ABC 中, sin A ? sin B 是 A ? B 的充要条件 D.若

p ? q 为假命题,则 p 、 q 均为假命题

3.甲、乙两名运动员在某项测试中的 6 次成绩如茎叶图所示, 员这项测试成绩的平均数, ( )

x1, x2 分别表示甲乙两名运动

s1 , s2 分别表示甲乙两名运动员这项测试成绩的标准差,则有

A. C.

x1 ? x2 , s1 ? s2 x1 ? x2 , s1 ? s2

B. D.

x1 ? x2 , s1 ? s2 x1 ? x2 , s1 ? s2

(a1 ? a2 )2 x, a1 , a2 , y 成等差数列,实数 x, b1 , b2 , y 成等比数列,则 b1b2 的取值范围 4.设实数
是( ) B. (??,0] [4, ??) C. [0, 4] D. (??, ?4) A. [4, ??)

(4, ??)

-1-

AB ? BC ? AB 5.函数 f ( x) ? 3sin(? x ? ? ) (? ? 0) 的部分图象如图所示,若 ,则 ? 等于
( )

2

? A. 6

? B. 4

? C. 3

? D. 12

6 .如图,设 D 是图中边长分别为 1 和 2 的矩形区域, E 是 D 内位于函数

y?

1 ( x ? 0) x 图象下方的区域(阴影部分) ,从 D 内随机取一个点 M ,则

点 M 取自 E 内的概率为( )

ln 2 A. 2

1 ? ln 2 2 B.

1 ? ln 2 2 C.

2 ? ln 2 2 D.

4 2 y ? 2 px ( p ? 0) 7.过抛物线 的 焦 点 F , 斜 率 为 3 的 直 线 交 抛 物 线 于 A, B 两 点 , 若

AF ? ? FB (? ? 1),则 ? 的值为(
4 C. 3 5 D. 2



A.4

B.5

8.已知直角三角形 ABC,其三边分为 a,b,c,(a>b>c) 。分别以三角形的 a 边,b 边,c 边所在 直线为轴, 其余各边旋转一周形成的曲面围成三个几何体, 其表面积和体积分别为 S1, S2, S3 和 V1,V2,V3.则它们的关系为 ( ) A.S 1 >S 2 >S 3 , C.S 1 >S 2 >S 3 , V 1 >V 2 >V 3 V 1 =V 2 =V 3 B.S 1 <S 2 <S 3 , V 1 <V 2 <V 3

D. S 1 <S 2 <S 3 , V 1 =V 2 =V 3

2 2 2 9.若双曲线 x ? y ? a (a ? 0) 的左、右顶点分别为 A, B ,点 P 是第一象限内双曲线上的

点.若直线 PA, PB 的倾斜角分别为 ? , ? ,且 ? ? k? (k ? 1) ,那么 ? 的值是( )

?
A. 2 k ? 1

? B. 2 k

?
C. 2 k ? 1

?
D. 2 k ? 2

-2-

10.已知 f ( x) 是定义在 [a, b] 上的函数,其图象是一条连续不断的曲线,且满足下列条件: ① f ( x) 的 值 域 为 G , 且 G ? [ a, b] ; ② 对 任 意 不 同 的 x, y ?[a, b] , 都 有

f ( x) ? f ( y) ?

? x



y

那么,关于 x 的方程 f ( x) ? x 在 [a, b] 上根的情况是( ) A.没有实数根 B.有且只有一个实数根 C.恰有两个不同的实数根 D. 有无数个不同的实数根 二、填空题:本大题共 6 小题,考生共需作答 5 小题,每小题 5 分,共 25 分 .请将答案填 在题中横线上.答错位置,书写不清,模棱两可均不得分. (一)必考题(11 ~ 14 题)

z?
11.已知复数

1 1 z2 ? 2 ? i ( i 为虚数单位) z 的共轭复数的虚部为___________. ,则复数

12.已知 b 为如图所示的程序框图输出的结果,则二项式

( bx ?

1 6 ) x 的展

开式中的常数项是___________. (用数字作答) 13 .下图是一个几何体的三视图,根据图中数据,可得该几何体的体积是 ______________.

14.由曲线 x ? y ? 2 | x | ?2 | y | 围成的图形的面积为_______。
2 2

(二)选考题(请考生在第 15、16 两题中任选一题作答.如果全选,则按第 15 题作答结果计 分) 15. (选修 4 ? 1 :几何证明选讲)

?ABC 内接于圆 O ,AB ? AC , BE∥MN 如图, 直线 MN 切圆 O 于点 C ,
交 AC 于点 E .若 AB ? 6 , BC ? 4 ,则 AE 的长为______________. 16. (选修 4 ? 4 :坐标系与参数方程)

-3-

C 在极坐标系中,圆 1 的方程为

? ? ? 4 2 cos(? ? )

4 ,以极点为坐标原点,极轴为 x 轴的

? x ? ?1 ? a cos ? , ? C C y ? ?1 ? a sin ? ( ? 为参数) 正半轴建立平面直角坐标系,圆 2 的参数方程为 ? ,若圆 1
与圆

C2 外切,则实数 a ? ___________.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

1 n ? ( , cos x) 2 17 . (本 小 题 满 分 12 分) 已 知 向 量 m ? ( 3sin 2x ?1,cos x) , ,设函数

f ( x) ? m? n ? 1. (1)求函数 f ( x) 的最小正周期及在区间

[0, ] 2 上的最大值; (2)已知在

?

? 8 f (A ? ) ? ?ABC 中 , 内 角 A, B, C 的 对 边 分 别 为 a, b, c , 其 中 A, B 为 锐 角 , 6 5,
f( B ? 10 ? ) ?1 ? 2 12 10 ,又 a ? b ? 2 ? 1 ,求 a, b, c 的值.

18. (本小题满分 12 分)已知等比数列

{an } 满足: 2a1 ? a3 ? 3a2 ,且 a3 ? 2 是 a2 , a4 的等
bn ? an log 2 1 an , S n ? b1 ? b3 ? ? ? bn ,

差中项. (1)求数列 求使

{an } 的通项公式; (2)若

2n?1 ? S n ? 60n ? 2 成立的正整数 n 的最小值.

19. (本小题满分 12 分)如图甲,在等腰 ?ABC 中, D, E, F 分别是 AB , AC , BC 边的中 点, ?ACB ? 120? ,现将 ?ABC 沿 CD 翻折成直二面角 A ? DC ? B ,如图乙.

图 甲

图 乙

-4-

(1)试判断直线 AB 与平面 DEF 的位置关系,并说明理由; (2)求二面角 E ? DF ? C 的余 弦值; (3)在线段 BC 上是否存在一点 P ,使 AP ? DE ?证明你的结论. 20. (本小题满分 12 分)我省某示范性高中为推进新课程改革,满足不同层次学生的要求, 决定从高一年级开始,在每周的周一、周三、周五的课外活动期间同时开设数学、物理、 化学、生物和信息技术辅导讲座,每位有兴趣的同学可以在期间的任何一天参加任何一门 科目的辅导讲座,也可以放弃任何一门科目的辅导讲座(规定:各科达到预先设定的人数 时称为满座,否则称为不满座) .统计数据表明,各学科讲座各天的满座概率如下表:

(1)求数学辅导讲座在周一、周三、周五都不满座的概率; (2)设周三各辅导讲座满座的科目数为 ? ,求随机变量 ? 的分布列和数学期望. 21. (本小题满分 13 分)如图,已知 M (m, m ) 、 N ( n, n ) 是抛物线 C : y ? x 上的两个不
2
2 2

同的点,且 m ? n ? 1, m ? n ? 0 ,直线 l 是线段 MN 的垂直平分线.设椭圆 E 的方程
2 2

x2 y 2 ? ? 1 ( a ? 0, a ? 2) a 为 2 .
(1)当 M 、 N 在 C 上移动时,求直线 l 的斜率 k 的取值范围; (2)已知直线 l 与抛物线 C 交于 A 、 B 两点,与椭圆 E 交于 P 、 Q 两点, 设线段 AB 的中点为 R ,线段 QP 的中点为 S ,若 OR ? OS ? 0 ,求椭圆 E 的离心率的取 值范围.
1? x 22. (本小题满分 14 分)已知函数 f ( x) ? ax ? ln x ? 1 (a ? R) , g ( x) ? xe ( e 为自然对

数的底数) . (1)求函数 g ( x ) 在区间 (0, e] 上的值域;

x ? (0 ,e ] , 在 区 间 [1,e ] 上 都 存 在 两 个 不 同 的 (2)是否存在实数 a ,对任意给定的 0 xi (i ? 1, 2) ,使得 f ( xi ) ? g ( x0 ) 成立?若存在,求出 a 的取值范围;若不存在,请说明
理由;

-5-

(3)给出如下定义:对于函数 y ? F ( x ) 图象上任意不同的两点

A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,如果对
x0 ? x1 ? x2 2 ) 总 能 使 得

M ( x0 , y0 ) ( 其 中 于 函 数 y ? F ( x) 图 象 上 的 点

F ( x1 ) ? F ( x2 ) ? F ?( x0 )( x1 ? x2 ) 成立,则称函数具备性质“ L ” ,试判断函数 f ( x ) 是否具
备性质“ L ” ,并说明理由.

理科数学答案
1.D
【解析】 :由已知条件可得 M ? (0, ??) ,则 CR M ? (??,0] ,

∴ (CR M ) 2.D

N ? {?1, 0} .故选 D.

【解析】 :由原命题与逆否命题的关系可知 A 正确;由特称命题的否定可知 B 正确;

由正弦定理和三角形边角关系可知 C 正确;若 p ? q 为假命题,则 p 、 q 有可能一 真一假,未必均为假命题,由此可知 D 错误.故选 D. 3.C 1 【 解 析 】 : 由 题 意 可 知 x1 ? ? (9 ? 14 ? 15 ? 15 ? 16 ? 21) ? 15 , 6 1 1 x2 ? ? (8 ? 13 ? 15 ? 15 ? 17 ? 22) ? 15 ; s12 ? ? [(9 ? 15) 2 ? (14 ? 15) 2 ?(15 ? 15)2 6 6 37 1 2 ?(15 ? 15) 2 ? (16 ? 15)2 ? (21 ? 15)2 ] ? ? ? [(8 ? 15)2 ? (13 ? 15) 2 ?(15 ? 15)2 , s2 3 6 53 ?(15 ? 15) 2 ? (17 ? 15) 2 ? (22 ? 15)2 ] ? ,则 x1 ? x2 , s1 ? s2 .故选 C. 3 4.B
【解析】 :由于实数 x, a1 , a2 , y 成等差数列,则 x ? y ? a1 ? a2 ;由于实数 x, b1 , b2 , y















xy ? b1b2







(a1 ? a2 )2 ( x ? y )2 x 2 ? y 2 ? 2 xy x 2 ? y 2 x y ? ? ? ? 2 ? ? ? 2 ,利用基本不等式易得, xy xy xy y x b1b2
当 x, y 同 号 时 ,

(a1 ? a2 )2 b1b2

?

x y ? ?2? 2 ? ? 2 y x

4 当 x, y 异 号 时 , ;

(a1 ? a2 )2 x y ? ? ?2?? 2 ? ? 2 .故选 0 B. y x b1b2

-6-

5.A
【解析】 : ∵ AB ? BC ? AB ,∴ ? AB BC cos ? ABC? AB ,∵ 2 AB ? BC ,∴
2

2

cos?ABC ? ?

1 ,∴ ?ABC ? 120? .过 B 作 BE ? x 轴,垂足为 E .∵ BE ? 3 ,∴ 2

AE ? 3 ,∴ T ? 12 ,∴ ? ?

?

6

.故选 A.

6.C
【解析】 :将 y ?

1 1 与 y ? 2 图象交点记为 A ,则 A( , 2) ,∴阴影部分 E 的面积 x 2

11 1 ? ln 2 1 .故选 S ? ?1 dx ? ? 2 ? 1 ? ln 2 ,而 D 的面积为 1? 2 ? 2 ,∴所求概率 P ? 2 2 2 x

C. 7.A
【解析】 :据题意设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) .

p p y 由 AF ? ? FB ? ( ? x1 , ? y1 ) ? ? ( x2 ? , y2 ) ,则 ? y1 ? ? y2 ? ? ? ? 1 . 2 2 y2

4 p ? 3 ? y ? ( x ? ), 联立 ? 3 2 消去 x 得 y 2 ? py ? p 2 ? 0 ,则 2 ? y 2 ? 2 px, ?
y1 ? y2 ? 3 p, y1 y2 ? ? p 2 . 2

1 9 ( y1 ? y2 )2 y1 y2 9 1 7 ?4? 0 ? , ∴ 即 ?? ? ? 2 ? ? , 即 4? 2 ? 解得 ? ? 4 ? ? ?2?? , ? 4 y1 y2 y2 y1 4

或? ? 8.B

1 (舍去) .故选 A. 4
2

1 ? bc ? ? bc ? S1 ? ? ? ??b ? c ?, V1 ? ? ? ? a 3 ? a ? ? a ? 【解析】 :

1 S 2 ? ? ? a ? c ? ? ? c 2 ,V2 ? ? ? b ? c 2 3

1 S3 ? ? ? a ? b ? ? ? b 2 ,V3 ? ? ? b 2 ? c 3 则选 B

9.D
x2 y 2 【解析】 : ∵双曲 线的 方程为 x ? y ? a , 2 ? 2 ? 1 ,∴双 曲线 的左顶 点为 a a
2 2 2

A(?a, 0) ,右顶点为 B (a, 0) .设 P(m,n) ,得直线 PA 的斜率 k PA ?

n ,直线 PB 的 m?a

-7-

斜率 k PB ?

n n2 ,∴ kPA ? kPB ? 2 ①.∵ P(m, n) 是双曲线 x2 ? y 2 ? a2 上的点, 2 m?a m ?a

∴ m2 ? n2 ? a 2 ,得 n2 ? m2 ? a 2 ,代人①式得 kPA ? kPB ? 1 .∵直线 PA, PB 的倾斜角 分别为 ? , ? ,所以 tan? ? kPA , tan ? ? k PB ,∴ tan ? ? tan ? ? 1.∵ P 是第一象限内 双曲线上的点,易知 ? , ? 均为锐角,∴ ? ? ? ? (k ? 1)? ? 选 D. 10.B
【解析】 :令 g ( x) ? f ( x) ? x, x ?[a, b] ,

?
2

,解得 ? ?

?
2k ? 2

.故

则 g (a) ? f (a) ? a ? 0, g (b) ? f (b) ? b ? 0 ,所以 g (a) ? g (b) ? 0 .
又因为 x, y ?[a, b] ,都有

f ( x) ? f ( y ) ? 1 ,则 f ?( x) ? 1 ,所以 g ?( x) ? f ?( x) ? 1? 0 ,所 x? y

以函数 g ( x) 在 [a, b] 上单调递减,故函数 g ( x) 在 [a, b] 上只有一个零点,即方程 f ( x) ? x 在

[a, b] 上有且只有一个实数根.故选 B.

二、填空题: 11. ?
21 25
2

【解析】 :z ?

1 53 21 1 3 ? 4i 53 21 ? ?2?i ? ?2?i ? ? i, 故其共轭复数为 ? i , 2 z (2 ? i) 25 25 25 25 25

1 21 则复数 z 2 ? 的共轭复数的虚部为 ? . z 25

12. ?540
【解析】 :第 1 次循环: b ? 3, a ? 2 ;第 2 次循环: b ? 5, a ? 3 ;第 3 次循环:

b ? 7, a ? 4 ;第 4 次循环: b ? 9, a ? 5 ? 4 ,不满足条件“ a ? 4 ” ,故跳出循环,





b?9





( bx ?

1 6 ) x

?(

3 x?

1 x

6

) ,









r Tr ?1 ? C6 ? (3 x )6?r ? (?

1 r r 6?r 3?r ) ? (?1)r C6 ,令 3 ? r ? 0 ,得 3 x ( r ? 0,1, 2,3, 4,5,6 ) x

3 3 r ? 3 ,故常数项为 T4 ? ?C6 3 ? ?540 .

-8-

13. 2? ? 2
【解析】 :由三视图可知几何体为组合体,上方是一个卧式直三棱柱,三棱柱的底

面是其中一边长为 2 ,该边上的 高为 2 的三角形,侧棱长为 2 ;下方是一个 圆 柱 , 其 底 面 半 径 为 1 , 母 线 长 为 1 V ?( ? ? 2 ?2 ) ? ? ? 22 ? ? ? 1 ? 2. 2 2 2 14. 8 ? 4? 【解析】 :围成的图形如图,面积为 8 ? 4? 2 , 故 其 体 积

15.

10 3
C B , 又 ?A

A C ?? E B C 【解析】 : 由题知,?BCM ? ?BAC ,?BCM ? ?EBC , 得 ?B

是公共角,所以 ?ABC ∽?BEC ,所以 所以 EC ? 16. ? 2

AC BC ? ,又 AB =AC , AB ? 6 , BC ? 4 , BC EC

8 10 BC 2 8 ? ,所以 AE ? AC ? EC ? 6 ? ? . 3 3 AC 3

【解析】 : 将 圆 C1 的 极 坐 标 方 程 化 为 直 角 坐 标 方 程 , 由 ? ? 4 2 cos(? ?

?
4

)得

? ? 4cos ? ? 4sin ? , 所 以 ? 2 ? 4 ? c o s ? ?

4 ? s, i?n即 x2 ? y 2 ? 4 x ? 4 y , 即

( x ? 2)2 ? ( y ? 2)2 ? 8 ,其圆心为 C1 (2, 2) ,半径 r1 ? 2 2 .将圆 C2 的参数方程化为普
通方程得 ( x ? 1)2 ? ( y ? 1)2 ? a2 ,其圆心为 C2 (?1, ?1) ,半径 r2 ? a .因为两圆外切, 所以 a ? 2 2 ? C1C2 ? 3 2 ,解得 a ? ? 2 .

-9-

三、解答题: 17. (1)函数 f ( x) ? m ? n ? 1 ? ∴T ?
2? ? 2? ?? . 2

? 3 1 sin 2 x ? ? cos 2 x ? 1 ? sin(2 x ? ) ? 1 . 6 2 2

?

(3 分)

∵0 ? x ?

?
2

,∴

?

1 ? 1 ? ∴ ? ? sin(2 x ? ) ? 1 ,即 ? sin(2 x ? ) ? 1 ? 2 . 2 6 2 6 ? ∴函数 f ( x) 在区间 [0, ] 上的最大值为 2. (6 分) 2 ? ? 8 (2)∵ f ( A ? ) ? sin(2 A ? ) ? 1 ? cos 2 A ? 1 ? , 6 2 5 3 1 ? cos 2 A 1 ? , ∴ cos 2 A ? ,∴ sin 2 A ? 5 2 5

6

? 2x ?

?
6

?

7? , 6

∵ A 为锐角,∴ sin A ?

5 2 5 , cos A ? . 5 5

又 f(

B ? 10 10 ,∴ sin B ? . ? ) ?1 ? 2 12 10 10 3 10 . 10

∵ B 为锐角,∴ cos B ? 由正弦定理得

(9 分)

a b ? ,∴ a ? 2b . sin A sin B

又 a ? b ? 2 ? 1 ,∴ a ? 2, b ? 1 .

(10 分)
2 , 2

而 sin C ? sin( A ? B) ? sin A cos B ? cos A sin B ? 由正弦定理得
a c ? ,∴ c ? 5 . sin A sin C

(12 分)

18. (1)设等比数列 {an } 的首项为 a1 ,公比为 q ,
2 ? ?2a1 ? a3 ? 3a2 , ?a1 (2 ? q ) ? 3a1q, ① ?? 依题意,有 ? 3 2 ?a2 ? a4 ? 2(a3 ? 2) ? ?a1 (q ? q ) ? 2a1q ? 4.②

由①及 a1 ? 0 ,得 q 2 ? 3q ? 2 ? 0 ? q ? 1 或 q ? 2 . 当 q ? 1 时,②式不成立;当 q ? 2 时,符合题意. 把 q ? 2 代入②得 a1 ? 2 ,所以 an ? 2 ? 2n?1 ? 2n . (6 分)

- 10 -

(2) bn ? an log 2

1 1 ? 2n ? log 2 n ? ?n ? 2n , an 2

∴ ? S n ? 1? 2 ? 2 ? 22 ? 3 ? 23 ? ? ? n ? 2n ,③

?2Sn ? 1? 22 ? 2 ? 23 ? 3? 24 ?
③-④得

? (n ?1) ? 2n ? n ? 2n?1 .④

Sn ? 2 ? 22 ? 23 ? ?? 2n ? n ? 2n?1
2(1 ? 2 n ) ? ? n ? 2 n?1 1? 2

(10 分) ? 2 n?1 ? n ? 2 n?1 ? 2 . 由 2n?1 ? S n ? 60n ? 2 成立,得 n ? 2 n?1 ? 60n ,即 2 n?1 ? 60 . 又当 n ? 4 时, 2 n?1 ? 25 ? 32 ? 60; 当 n ? 5 时, 2 n?1 ? 26 ? 64 ? 60 . 故使 2n?1 ? S n ? 60n ? 2 成立的正整数 n 的最小值为 5. (12 分) 19. (1)如题图乙,在 ?ABC 中,由于点 E 、 F 分别是 AC , BC 的中点, ∴ EF∥ AB ,又 AB ? 平面 DEF , EF ? 平面 DEF ,∴ AB∥ 平面 DEF . (4 分) (2)由题意易知 DA 、 DB 、 DC 两两互相垂直,以点 D 为坐标原点,分别以直线
DB 、 DC 、 DA 为 x 轴、 y 轴、 z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系 D ? xyz .

设 CD ? a ,则 AC ? BC ? 2a, AD ? DB ? 3a ,
a 3 a) , 则 D(0,0,0) , A(0,0, 3a) , B( 3a,0,0) , C (0, a,0) , E (0, , 2 2 F( 3 a a, , 0) . (5 分) 2 2

取平面 CDF 的一个法向量为 m ? (0,0,1) . 设平面 EDF 的一个法向量为 n ? ( x, y, z) , 又 DF ? (
3 a a 3 a, , 0), DE ? (0, , a) , 2 2 2 2

- 11 -

? ? DF ? n ? 0, ? ? ? 3x ? y ? 0, ? x ? 3, 则? 即? 令 y ? ?3 ,得 ? ? ? ? DE ? n ? 0, ? ? y ? 3z ? 0, ? z ? 3.

∴ n ? ( 3, ?3, 3) . (6 分) ∴ cos ? m, n ??
m?n m?n ? 5 , (7 分) 5
5 . (8 分) 5

即二面角 E ? DF ? C 的余弦值为

(3)假设在线段 BC 上存在一点 P ,使 AP ? DE . 不妨设 P( x0 , y0 ,0) ,由 0 ? x0 ? 3a , 0 ? y0 ? a .(9 分)
a 3 由(2)得 AP ? ( x0 , y0 , ? 3a) , DE ? (0, , a) . 2 2
a 3 y0 ? a 2 ? 0 ,解得 y0 ? 3a . (11 分) 2 2 ∵ 3a ? a ,∴在线段 BC 上不存在一点 P ,使 AP ? DE . (12 分) 20 . (1)设数学辅导讲座在周一、周三、周五都不满座为事件 A ,则 1 2 2 1 P ( A ) ? (1 ? )? (1 ? ) (1 ? ) . (4 分) 2 3 3 18

∵ AP ? DE ,∴ AP ? DE ? 0 ,即

(2) ? 的所有可能取值为 0,1, 2,3, 4,5 .
1 2 1 P(? ? 0) ? (1 ? ) 4 ? (1 ? ) ? ; (5 分) 2 3 48 1 2 1 2 1 1 1 P(? ? 1) ? C4 ? ? (1 ? )3 ? (1 ? ) ? (1 ? ) 4 ? ? ; (6 分) 2 2 3 2 3 8 1 1 2 1 1 2 7 2 1 P(? ? 2) ? C4 ? ( ) 2 ? (1 ? ) 2 ? (1 ? ) ? C4 ? ( ) ? (1 ? )3 ? ? ; (7 分) 2 2 3 2 2 3 24 1 1 2 1 1 2 1 3 2 P(? ? 3) ? C4 ? ( )3 ? (1 ? ) ? (1 ? ) ? C4 ? ( ) 2 ? (1 ? ) 2 ? ? ; (8 分) . 2 2 3 2 2 3 3 1 2 1 1 2 3 3 P(? ? 4) ? ( ) 4 ? (1 ? ) ? C4 ? ( )3 ? (1 ? ) ? ? ; (9 分) 2 3 2 2 3 16 1 2 1 P(? ? 5) ? ( ) 4 ? ? . (10 分) 2 3 24

所以,随机变量 ? 的分布列如下:

(11 分)

- 12 -

故 E? ? 0 ?

1 1 7 1 3 1 8 ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? 4 ? ? 5 ? ? . (12 分) 48 8 24 3 16 24 3

21. (1)由题意知,直线 MN 的斜率为 kMN ?

m2 ? n 2 ? m?n, m?n
1 . m?n

又 l ? MN , m ? n ? 0 ,∴直线 l 的斜率为 k ? ?

(2 分)

∵ m2 ? n 2 ? 1,由 m2 ? n2 ? 2mn ,得 2(m2 ? n2 ) ? (m ? n) 2 ,即 2 ? (m ? n)2 (当 m ? n 时,等号成立) ,∴ m ? n ? 2 . ∵ M 、 N 是不同的两点,即 m ? n ,∴ 0 ? m ? n ? 2 ,∴ k ?
2 2 或k ? . 2 2 2 , 2

即k ? ?

∴直线 l 的斜率 k 的取值范围为 ( ??, ?

2 2 ) ( , ??) . 2 2

(4 分)

(2)由题意易得,线段 MN 的中点坐标为 ( ∵直线 l 是线段 MN 的垂直平分线, ∴直线 l 的方程为 y ?

m ? n m2 ? n 2 , ). 2 2

m2 ? n2 m?n ? k(x ? ), 2 2
1 1 ,即 m ? n ? ? , m?n k

(5 分)

又∵ m2 ? n 2 ? 1, k ? ?

∴直线 l 的方程为 y ? kx ? 1 .

(6 分)

将直线 l 的方程分别代入抛物线方程和椭圆方程并整理得,
x 2 ? kx ? 1 ? 0 , ①

(a ? 2k 2 ) x2 ? 4kx ? 2 ? 2a ? 0 .②
易知方程①的判别式 ?1 ? k 2 ? 4 ? 0 , 方程②的判别式 ?2 ? 8a(2k 2 ? a ?1) , 由(1)易知 k 2 ?
1 ,又 a ? 0 ,∴ 2k 2 ? a ? 1 ? a ? 0 ,∴ ?2 ? 0 恒成立. 2

设 A( xA , yA ), B( xB , yB ), P( xP , yP ), Q( xQ , yQ ) ,则

- 13 -

xA ? xB ? k , yA ? yB ? kxA ?1? kxB ? 1 ? k ( xA ? xB ) ? 2 ? k 2 ? 2 ,
k k2 ∴线段 AB 的中点 R 的坐标为 ( , ? 1) , 2 2
4k 2a , yP ? yQ ? kxP ? 1 ? kxQ ? 1 ? k ( xP ? xQ ) ? 2 ? , 2 a ? 2k a ? 2k 2 2k a , ) . (9 分) ∴线段 QP 的中点 S 的坐标为 ( ? 2 a ? 2k a ? 2k 2

又∵ xP ? xQ ? ?

?2k a k k2 , ) ,由 OR ? OS ? 0 得, ∴ OR ? ( , ? 1) , OS ? ( 2 a ? 2 k a ? 2k 2 2 2

k2 ?k ? a( ? 1) k2 2k 2 2 2 ? k ? a ( ? 1 ) ? 0 a ? ,即 , ∴ . (10 分) ? 0 2 k2 ? 2 a ? 2k 2
2

∵k2 ?

1 2k 2 2 2 2k 2 4 ? ? ,a ? 2 ? 2? 2 ? 2, ,∴ a ? 2 2 k ? 2 1? 2 5 k ?2 k ?2 k2



2 ? a ? 2 .由题易知,椭圆 E 的离心率 e ? 5

2?a ,? a ? 2 ? 2e2 , 2



2 4 2 5 ? 2 ? 2e 2 ? 2 ,∴ 0 ? e 2 ? ,∴ 0 ? e ? . 5 5 5

故椭圆 E 的离心率的取值范围为 (0,

2 5 ). 5

(13 分)

22. (1)∵ g?( x) ? e1? x ? xe1? x ? e1? x (1 ? x) , ∴ g ( x ) 在区间 (0,1) 上单调递增,在区间 (1, e) 上单调递减,且 g (0) ? 0, g (1) ? 1 ,

g(e) ? e2?e (0 ? e2?e ? 1) ,
∴函数 g ( x ) 在区间 (0, e] 上的值域为 (0,1] . (3 分)

(2)令 m ? g ( x0 ) ,则由(1)可知 m ? (0,1] ,原问题等价于:对任意的 m ? (0,1] ,
f ( x) ? m 在 [1, e] 上总有两个不同的实根,故 f ( x ) 在 [1, e] 上不可能是单调函数.

∵ f ?( x ) ? a ?

1 1 1 (1 ? x ? e) , ? [ ,1] , x e x

当 a ? 1 时, f ?( x) ? 0 , f ( x ) 在区间 [1, e] 上单调递增,不合题意;

- 14 -

1 当 a ? 时, f ?( x) ? 0 , f ( x ) 在区间 [1, e] 上单调递减,不合题意; e 1 1 1 当 ? a ? 1 时, f ( x ) 在区间 [1, ) 上单调递减,在区间 ( , e] 上单调递增. e a a

注意到此时 f (1) ? a ? 1 ? 1 ,f (e) ? ae ? 1 , 故只需 f ( x ) 的最小值小于等于 0 即可. 而
1 1 1 由 f ( x )min ? f ( ) ? 2 ? ln a ? 0 解得 a ? 2 ,这与 ? a ? 1 矛盾. e e a 综上,满足条件的 a 不存在. (8 分)

( 3 )设函数 f ( x ) 具备性质“ L ” ,即在点 M 处的切线斜率等于 k AB ,不妨设

0 ? x1 ? x2 ,则
k AB ? y1 ? y2 a( x1 ? x2 ) ? (ln x1 ? ln x2 ) ln x1 ? ln x2 , ? ? a? x1 ? x2 x1 ? x2 x1 ? x2 x1 ? x2 2 , )?a? 2 x1 ? x2

而 f ( x ) 在点 M 处的切线斜率为 f ?( x0 ) ? f ?(

故有

ln x1 ? ln x2 2 , ? x1 ? x2 x1 ? x2
x1 2( x1 ? x2 ) ? ? x2 x1 ? x2 2( x1 ? 1) x2 . x1 ?1 x2

即 ln

(10 分)

令t ?

4 x1 ?2 ? 0. ? (0,1) ,则上式化为 ln t ? t ?1 x2

令 F (t ) ? ln t ?

4 1 4 (t ? 1)2 ? 2 (0 ? t ? 1) ,则由 F ?(t ) ? ? ? ? 0 可知 F (t ) 在 t ?1 t (t ? 1)2 t (t ? 1)2
4 ? 2 ? 0 无解. t ?1

(0,1) 上单调递增,故 F (t ) ? F (1) ? 0 ,即方程 ln t ?

∴函数 f ( x ) 不具备性质“ L ” .

(14 分)

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