暑期班第8讲.三角函数基本概念和同角三角函数关系.学生版_图文

第八讲 三角函数的基本概念和同 角三角函数关系

高考要求

任意角的概念和弧度制 弧度与角度的互化 任意角的正弦、余弦、正切 的定义 三角函数 用单位圆中的三角函数线表 示正弦、余弦和正切 诱导公式

要求层次 B B C C C

重难点 掌握角的概念的推广,终边相同的角的表示 掌握弧度与角度的转化关系, 扇形面积及弧长公 式,能正确地进行弧度和角度的互化 理解任意角的正弦、余弦、正切的定义;了解任 意角的余切、正割、余割的定义 会利用单位圆中的有向线段表示正弦、余弦、正 切 熟练运用诱导公式——“奇变偶不变,符号看象 限” ,并能运用这些公式进行求值、化简与证明 理解同角三角函数的基本关系式:
sin x ? tan x ;借助单位圆的 cos x

同角三角函数的基本关系式

C

sin 2 x ? cos2 x ? 1 ,

直观性探索正弦、余弦和正切的诱导公式,并掌 握其应用

知识精讲 板块一:任意角的概念与弧度制 (一)知识内容
1. 角的概念的推广 ⑴角:一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.其中顶点,始边,终边称为 角的三要素.角可以是任意大小的.
2010 年· 暑假 高一数学· 8 讲· 第 学生版 page 1 of 15

⑵角按其旋转方向可分为:正角,零角,负角. ①正角:习惯上规定,按照逆时针方向旋转而成的角叫做正角; ②负角:按照顺时针方向旋转而成的角叫做负角; ③零角:当射线没有旋转时,我们也把它看成一个角,叫做零角. ⑶在直角坐标系中讨论角: ①角的顶点在原点,始边在 x 轴的非负半轴上,角的终边在第几象限,就说这个角是第几象限 角. ②若角的终边在坐标轴上,就说这个角不属于任何象限,它叫轴线角. 2.终边相同的角的集合: 设 ? 表示任意角,所有与 ? 终边相同的角,包括 ? 本身构成一个集合,这个集合可记为
S ? ?? ? ? ? ? k ? 360?, k ? Z? .集合 S 的每一个元素都与 ? 的终边相同, k ? 0 时, 当 对应元素为 ? .

3.弧度制和弧度制与角度制的换算 ⑴角度制:把圆周 360 等分,其中 1 份所对的圆心角是 1 度,用度作单位来度量角的制度叫做角 度制.

(二)典例分析
【例1】 ⑴在 0? 与 360? 范围内,找出与下列各角终边相同的角,并判断它们是第几象限角:

① ?120? ;② 640? ;③ ?950?12? . ⑵分别写出与下列各角终边相同的角的集合 S , 写出 S 中满足不等式 ?360? ≤ ? ≤ 720? 的元素 ? :
① 80? ;② ?51? ;③ 367?34? .

【例2】 下面四个命题中正确的是()

A.第一象限的角必是锐角 C.终边相同的角必相等
【例3】 写出终边在 y 轴上的角的集合.

B.锐角必是第一象限的角 D.第二象限的角必大于第一象限的角

2010 年· 暑假

高一数学· 8 讲· 第 学生版

page 2 of 15

【例4】 ⑴把 67?30' 化成弧度;
3 ⑵把 π rad 化成度. 5

【例5】 将下列各角化为 2kπ ? ? (0 ≤? ? 2π, k ?Z) 的形式,并判断其所在象限.
19 π; 3 (2)-315° ; (3)-1485° .

(1)

【例6】 将第一象限角,第二象限角,第三象限角,第四象限角分别用弧度制的形式表示.

【例7】 终边在坐标轴上的角的集合__.

2010 年· 暑假

高一数学· 8 讲· 第 学生版

page 3 of 15

【例8】 若 ? 和 ? 的终边关于 y 轴对称,则 ? 和 ? 的关系是__.

【例9】 ⑴若角 ? 和 ? 的终边关于 y 轴对称,则角 ? 和 ? 之间的关系为

. .

⑵若角 ? 与 ? 的终边关于 x 轴对称,则角 ? 和 ? 之间的关系为
【例10】 若角 ? 、 ? 的终边相同,则 ? ? ? 的终边在

.

A. x 轴的非负半轴上 C. x 轴的非正半轴上

B. y 轴的非负半轴上 D. y 轴的非正半轴上 .

【例11】 当角 ? 与 ? 的终边互为反向延长线,则 ? ? ? 的终边在

A. x 轴的非负半轴上 C. x 轴的非正半轴上

B. y 轴的非负半轴上 D. y 轴的非正半轴上 .

kπ π kπ π ? ? ? ? 【例12】 ⑴已知集合 M ? ? x x ? ? , k ? Z? , P ? ? x x ? ? , k ? Z ? ,则 2 4 4 2 ? ? ? ?

A. M ? P B. M ? P C. M ? P D. M ? P ? ? ⑵已知 ? 是第二象限的角,若同时满足条件 ? ? 2 ≤ 4 ,求 ? 的取值区间.

【例13】 若 ? 是第二象限角,则:

? 是第几象限角? 2 ? ⑵ 不在第几象限? 3


2010 年· 暑假

高一数学· 8 讲· 第 学生版

page 4 of 15

【例14】 若 1 段圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长,则其圆心角的弧度数是多少?

板块二:任意角的三角函数 (一)知识内容
1.三角函数定义

在直角坐标系中,设 ? 是一个任意角,? 终边上任意一点 P (除了原点)的坐标为 ( x , y) ,它与 原点的距离为 r (r ? | x |2 ? | y |2 ? x 2 ? y 2 ? 0) ,那么 ⑴比值
y y 叫做 ? 的正弦,记作 sin ? ,即 sin ? ? ; r r

x x ⑵比值 叫做 ? 的余弦,记作 cos? ,即 cos ? ? ; r r y y ⑶比值 叫做 ? 的正切,记作 tan ? ,即 tan ? ? ; x x x x ⑷比值 叫做 ? 的余切,记作 cot ? ,即 cot ? ? ; y y r r ⑷比值 叫做 ? 的正割,记作 sec? ,即 sec ? ? ; x x r r ⑸比值 叫做 ? 的余割,记作 csc? ,即 csc ? ? . y y 2.三角函数的定义域、值域

函数
y ? sin ?

定义域

值域
[?1, 1] [?1, 1]

R R
π ? ? ?? | ? ? ? kπ , k ? Z ? 2 ? ?

y ? cos?
y ? tan ?

R

3.三角函数的符号 由三角函数的定义,以及各象限内点的坐标的符号,我们可以得知:

2010 年· 暑假

高一数学· 8 讲· 第 学生版

page 5 of 15

⑴正弦值 ⑵余弦值 ⑶正切值

y 对于第一、二象限为正( y ? 0, r ? 0 ) ,对于第三、四象限为负( y ? 0, r ? 0 ) ; r
x 对于第一、四象限为正( x ? 0, r ? 0 ) ,对于第二、三象限为负( x ? 0, r ? 0 ) ; r

y 对于第一、三象限为正( x , y 同号) ,对于第二、四象限为负( x , y 异号). x 可以用下图表示:

说明:若终边落在轴线上,则可用定义求出三角函数值. 4.同角三角函数的基本关系式: 平方关系: sin 2 x ? cos2 x ? 1 , sec2 x ? tan 2 x ? 1 , csc2 x ? cot 2 x ? 1 sin x cos x 商数关系: ? tan x , ? cot x cos x sin x 倒数关系: sec x ? 6.诱导公式: ⑴角 ? 与 ? ? k ? 2π(k ?Z) 的三角函数间的关系;
sin(? ? 2kπ) ? sin ? , cos(? ? 2kπ) ? cos ? , tan(? ? 2kπ) = tan? ;

1 1 1 ,csc x ? , tan x ? cos x cos x cot x

⑵角 ? 与 ?? 的三角函数间的关系;
sin(?? ) ? ? sin ? , cos(?? ) ? cos ? , tan(?? ) ? ? tan ? ;

⑶角 ? 与 ? ? (2k ? 1)π(k ?Z) 的三角函数间的关系;
sin ?? ? (2k ? 1)π? ? ? sin ? , cos ?? ? (2k ? 1)π? ? ? cos ? , tan ?? ? (2k ? 1)π ? ? tan ? ;

⑷角 ? 与 ? ?

?
2

的三角函数间的关系.

π? π? π? ? ? ? sin ? ? ? ? ? cos ? , cos ? ? ? ? ? ? sin ? , tan ? ? ? ? ? ? cot ? . 2? 2? 2? ? ? ? 4.三角函数式的化简与三角恒等式的证明是个难点,需要学生熟悉并灵活运用所学的公式与知识,一般情况 下,化简的基本思路是:减少角的种数,减少三角函数的种数,适当配凑和拆分,统一切割化弦等等.

2010 年· 暑假

高一数学· 8 讲· 第 学生版

page 6 of 15

(二)典例分析
【例15】 ⑴已知角 ? 的终边经过点 P(?2, 5) ,求 ? 的六个函数值.
π ⑵求下列各角的六个三角函数值:① 0 ;② . 2

【例16】 若角 ? 满足条件 sin 2? ? 0 , cos ? ? sin ? ? 0 ,则 ? 在第几象限?

【例17】 ⑴已知 sin ? ?

12 ,并且 ? 是第二象限角,求 cos ? , tan ? , cot ? . 13

4 ⑵已知 cos ? ? ? ,求 sin ? , tan ? . 5

⑶化简: 1 ? 2sin 40? cos 40?

2010 年· 暑假

高一数学· 8 讲· 第 学生版

page 7 of 15

【例18】 已知角 ? 的终边经过点 P (m ? n, 2 mn )(m ? n ? 0) ,问 ? 是第几象限的角,并求出 ? 的六个三

角函数值.

【例19】 求证:

1 ? 2sin x cos x 1 ? tan x . ? cos2 x ? sin 2 x 1 ? tan x

【例20】 已知角 ? 的终边上的一点 P 的坐标为 (? 3, y )( y ? 0) ,且 sin ? ?

2 y ,求 cos? 和 tan ? 值. 4

2010 年· 暑假

高一数学· 8 讲· 第 学生版

page 8 of 15

【例21】 已知 ? 为锐角,用三角函数的定义证明 1 ? sin ? ? cos? ≤ 2 .

【例22】 ⑴求下列三角函数值:

① cos 225? ;② sin

25π ? 17π ? ? 32π ? ;③ sin ? ? ? ;④ tan ? ? ?. 6 ? 3 ? ? 3 ?

⑵将下列三角函数化为 0? 到 45? 之间角的三角函数:
3 π ① sin85? ;② cos π ;③ tan ; 3 5

【例23】 化简:

⑴ sin(?1071?) ? sin 99? ? sin(?171?) ? sin(?261?) ⑵ 1 ? sin(? ? 2π) ? sin(π ? ? ) ? 2cos2 (?? ) ⑶
sin(2π ? ? ) cos(π ? ? ) cos(π ? ? )sin(3π ? ? )sin(?? ? π)

2010 年· 暑假

高一数学· 8 讲· 第 学生版

page 9 of 15

【例24】 已知 sin ? ? cos ? ?

1 ,求下列各式的值. 5

⑴ sin ? cos? ; ⑵ sin3 ? ? cos3 ? ; ⑶ sin 4 ? ? cos4 ? .

1 【例25】 已知 tan ? ? ? ,计算: 3



sin ? ? 2cos ? 1 ;⑵ ;⑶ sin ? cos? . 5cos ? ? sin ? 2sin ? cos ? ? cos2 ?

【例26】 (2006 年全国)若 f (sin x) ? 3 ? cos 2 x ,则 f (cos x) ? (



A. 3 ? cos 2x

B. 3 ? sin 2x

C. 3 ? cos 2x

D. 3 ? sin 2x

【例27】 求函数 y ?

log 2 sin x ? 1 的定义域

1

2010 年· 暑假

高一数学· 8 讲· 第 学生版

page 10 of 15

【例28】 求函数 y ? 16 ? x ?
2

1 sin x

的定义域.

【例29】 已知 sin ? 是方程 5x ? 7 x ? 6 ? 0 的根,求
2

1 3? 19? sin 2 [(2k ? )? ? ? ] ? cos 2 (? ? ) ? cot 2 ( ? ? )(k ? Z ) 的值 2 2 2

板块三:单位圆,三角函数线 (一)知识内容
⑴单位圆: 半径等于单位长的圆叫做单位圆.设单位圆的圆心与坐标原点重合,则单位圆与 x 轴交点分别为 A(1,0) , A?(?1,0) ,而与 y 轴的交点分别为 B(0,1) , B?(0, ?1) .由三角函数的定义可知,点 P 的坐标为 (cos ? ,sin ? ) , 即 P(cos ? ,sin ? ) .其中 cos ? ? OM , sin ? ? ON .
y
y
B(0,1) N A'(-1,0) P(cos ? ,sin? ) A(1,0)
T(1,tan? )

?

A(1,0)

O

x

O
B'(0,-1)

M

x
T'

这就是说,角 ? 的余弦和正弦分别等于角 ? 终边与单位圆交点的横坐标和纵坐标.过点 ,则 tan ? ? AT (或 AT ? ). A(1, 0) 作单位圆的切线,它与角 ? 的终边或其反向延长线交与点 T (或 T ? )
2010 年· 暑假 高一数学· 8 讲· 第 学生版 page 11 of 15

⑵有向线段: 坐标轴是规定了方向的直线,那么与之平行的线段亦可规定方向.具有方向的线段叫做有向线段. 规定:与坐标轴方向一致时为正,与坐标方向相反时为负. ⑶三角函数线的定义:

设任意角 ? 的顶点在原点 O ,始边与 x 轴非负半轴重合,终边与单位圆相交于点 P ( x, y ) ,过 P 作 x 轴 的垂线,垂足为 M ;过点 A(1,0) 作单位圆的切线,它与角 ? 的终边或其反向延长线交与点 T .我们就
? ??? ???? ???? ? 分别称有向线段 MP , OM , AT 为正弦线、余弦线、正切线.

(二)典例分析
【例30】 ⑴已知 sin(? ? π) ? 0 , cos(? ? π) ? 0 ,则下列不等关系必定成立的是()

A. tan

?
2

? cot

?
2

B. tan

?
2

? cot

?
2

C. sin

?
2

? cos

?
2

D. sin

?
2

? cos

?
2

⑵已知点 P(sin ? ? cos? , tan ? ) 在第一象限,则在 [0, 2π] 内,求 ? 的取值范围.

π? ? 【例31】 已知: x ? ? 0 , ? ,求证: sin x ? x ? tan x . 2? ?

2010 年· 暑假

高一数学· 8 讲· 第 学生版

page 12 of 15

【例32】 已知 3sin 2 ? ? 2sin 2 ? ? 2sin ? ,求 sin 2 ? ? sin 2 ? 的取值范围.

π 【例33】 已知 f ( x) ? 2cos x ,则 f (0) ? f (1) ? f (2) ? ? ? f (2006) =__________ 6

【例34】 函数 y ?

sin x cos x tan x cot x 的值域是 ? ? ? sin x cos x tan x cot x

.
D. ??4 , ? 2 , 0 , 4?

A. ??2 , 4?

B. ??2 , 0 , 4?

C. ??2 , 0 , 2 , 4?

家庭作业

习题1.

把下列各角写成 k ? 360? ? ? (0 ≤? ? 360?) 的形式,并指出它们所在的象限或终边位置.
⑴ ?135? ;⑵ 1110? ;⑶ ?540? .

习题2.

9 ⑴把 157?30? 化成弧度;⑵把 π rad 化成度. 5

2010 年· 暑假

高一数学· 8 讲· 第 学生版

page 13 of 15

习题3.

化简:

⑴ cos? tan? ;⑵

2cos2 ? ? 1 . 1 ? 2sin 2 ?

习题4.

化简求值:

⑴ cos

sin(180? ? ? ) cos(270? ? ? ) tan(90? ? ? ) 67π ? 35π ? ;⑵ sin ? ? ; ? ;⑶ sin(90? ? ? ) cos(? ? 360?) tan(270? ? ? ) 6 ? 4 ?

习题5.

已知 sin x ? 2cos x ,求角 x 的六个三角函数值.

习题6.

1 tan(π ? ? ) ? ? ,求 sin(? ? 7π)cos(? ? 5π) 的值. 2

习题7.

?π ? 函数 y ? sin ? ? 2 x ? ?2 ?

. C.既不是奇函数,也不是偶函数 D.奇偶性无法判断 .

A.是奇函数

B.是偶函数

习题8.

已知角 ? 的终边经过点 P(?3, 3) ,则与 ? 终边相同的角的集合是
2π ? ? k A. ? x x ? 2kπ ? , ? Z ? 3 ? ? 5π ? ? k C. ? x x ? kπ ? , ? Z ? 6 ? ? 5π ? ? k B. ? x x ? 2kπ ? , ? Z ? 6 ? ? 2π ? ? k D. ? x x ? 2kπ ? , ? Z ? 3 ? ?

2010 年· 暑假

高一数学· 8 讲· 第 学生版

page 14 of 15

月测备选

习题1.

⑴(浙江杭高必修 4 综合测试) 若 cos? ? 0 ,且 sin 2? ? 0 ,则角 ? 的终边所在象限是() A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 ⑵有小于 2π 的正角,这个角的 3 倍角的终边与该角的终边重合,这个角的大小可能是 π π 3π A. B. C. π D. 4 2 2
1 ⑴已知 sin ? ? cos? ? , ? (0, ,则 tan ? ? ? π) 5 π π 3 ⑵已知 ? ? ? π , sin( ? ? ) ? ? ,则 tan(π ? ? ) 的值为() 2 2 5 3 4 3 A. B. C. ? 4 3 4

.

习题2.

D. ?

4 3

习题3.

(2008 四川高考)
(tan x ? cot x)cos2 x ?
A. tan x

.
B. sin x C. cos x D. cot x

习题4.

π ] ,求 sin x ? cos x 成立的 x 的取值范围. 2 cos ? sin ? ⑵若 ? ? ?1 ,则 ? 角的取值范围是_______. 2 1 ? tan ? 1 ? cot 2 ?

⑴若 x ? [? π ,

2010 年· 暑假

高一数学· 8 讲· 第 学生版

page 15 of 15


相关文档

第八讲三角函数的基本概念
8.三角函数第2讲 同角的基本关系和诱导公式
暑期班第4讲.三角函数.理科.学生版
2013年高考一轮复习讲义第一讲(学生)---三角函数的概念、同角三角函数关系式与诱导公式
高中数学总复习四十三讲-第八讲 三角函数的概念、同角三角函数的关系诱导公式
第11讲-同角三角函数关系式与诱导公式-学生版
三角函数(1)三角函数基本概念、同角关系、诱导公式(学生)
第10讲-角的概念及任意角的三角函数值-学生版
第2讲 同角三角函数的基本关系与诱导公式(学生)
2013高考数学_一轮复习_第2讲_同角三角函数的基本关系与诱导公式(学生版)
电脑版