2018届高三数学一轮复习-函数的图像及其应用


函数的图像及其应用
本节主要包括2个知识点: 1.函数的图象; 2.函数图象的应用问题.

突破点(一)
基础联通

函数的图象

抓主干知识的“源”与“流”

1.利用描点法画函数图象的流程

2.利用图象变换法作函数的图象 (1)平移变换: a>0,右移a个单位 y=f(x)――――――――――→y= f(x-a) ; a<0,左移|a|个单位 b>0,上移b个单位 y=f(x)―――――――――――→y= f(x)+b . b<0,下移|b|个单位

(2)伸缩变换:
f(ωx)



A>1,横坐标不变,纵坐标伸长为原来的A倍 y=f(x)―――――――――――――――――――――――→ 0<A<1,横坐标不变,纵坐标缩短为原来的A倍 y= Af(x) .

(3)对称变换: 关于x轴对称 y=f(x)――――――→y=-f(x) ; 关于y轴对称 y=f(x)――――――→y= f(-x) ; 关于原点对称 y=f(x)―――――――→y= -f(-x) . (4)翻折变换: 去掉y轴左边图,保留y轴右边图 y=f(x)――――――――――――――――→y= f(|x|) ; 将y轴右边的图象翻折到左边去 保留x轴上方图 y=f(x)―――――――――――――――→y= |f(x)| . 将x轴下方的图象翻折到上方去

考点贯通

抓高考命题的“形”与“神”
作函数的图象

[例 1] 作出下列函数的图象: ?1?|x| (1)y=?2? ; ? ? ?1?x ?1?x [解] 作出 y=?2? 的图象,保留 y=?2? 图 ? ? ? ?
象中 x≥0 的部分, 加上
?1?x y=?2? 的图象中 ? ?

x>0 部

分关于 y 轴的对称部分,即得 如图中实线部分.

?1?|x| y=?2? 的图象, ? ?

(2)y=|log2(x+1)|;
[解]

2x-1 (3)y= ; x- 1

(2)将函数 y=log2x 的图象向左平移 1 个

单位,再将 x 轴下方的部分沿 x 轴翻折上去,即可 得到函数 y=|log2(x+1)|的图象,如图. 2x-1 1 (3)因为 y= =2+ , 故函数图象可 x-1 x-1 1 由 y=x的图象向右平移 1 个单位, 再向上平移 2 个单位而得,如图.

(4)y=x2-2|x|-1.
[解] 因为y=
2 ? ?x -2x-1,x≥0, ? 2 ? ?x +2x-1,x<0

且函数为偶函数, 先用描点法作出[0,+∞)上的图象,再根据对称性作出 (-∞,0)上的图象,即得函数图象如图.

[方法技巧]

函数图象的画法

函数图象的识别
[例 2] 图象大致是 (1)(2016· 广西第一次质量检测)函数 y=(x3-x)2|x|的 ( )

[解析]

易判断函数为奇函数,由 y=0 得 x=± 1 或 x=0.

且当 0<x<1 时,y<0;当 x>1 时,y>0,故选 B. [答案] B

(2)如图,矩形 ABCD 的周长为 8,设 AB=x(1≤x≤3), 线段 MN 的两端点在矩 形 的 边 上 滑 动 , 且 MN = 1 , 当 N 沿 A→D→C→B→A 在矩形的边上滑动一周时,线段 MN 的中点 P 所形成的轨迹为 G,记 G 围成的区域的面积为 y,则函数 y =f(x)的图象大致为 ( )

[解析]

法一:由题意可知点 P 的轨

迹为图中虚线所示,其中四个角均是半径 1 为2的扇形. 因为矩形 ABCD 的周长为 8,AB=x, 8-2x 则 AD= 2 =4-x π π 2 所以 y=x(4-x)-4=-(x-2) +4-4(1≤x≤3),

显然该函数的图象是二次函数图象的一部分, π 且当 x=2 时,y=4-4∈(3,4),故选 D. 法二:在判断出点 P 的轨迹后,发现当 x=1 时,y=3 π -4∈(2,3),故选 D. [答案] D

[方法技巧] 有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路
(1)由解析式确定函数图象的判断技巧: ①由函数的定义域, 判断图象左右的位置, 由函数的值域, 判断图象的上下位置; ②由函数的单调性,判断图象的变化趋势; ③由函数的奇偶性,判断图象的对称性; ④由函数的周期性,判断图象的循环往复. (2)由实际情景探究函数图象.关键是将问题转化为熟悉 的数学问题求解,要注意实际问题中的定义域问题.

能力练通

抓应用体验的“得”与“失” sin x 1.[考点二] (2016· 滨州模拟)函数 y= x ,x∈(-π,0)∪(0,π)

的图象大致是

(

)

sin x 解析:函数y= x ,x∈(-π,0)∪(0,π)为偶函数,所以 sin x 图象关于y轴对称,排除B,C,又当x→π时,y= x →0, 故选A. 答案:A

2.[考点二] 函数

? 1? f(x)=ln?x-x?的图象是 ? ?

(

)

x2-1 1 解析:自变量x满足x- x = x >0,当x>0时,可得 x>1,当x<0时,可得-1<x<0,即函数f(x)的定义域是 1 (-1,0)∪(1,+∞),据此排除选项A、D.函数y=x- x
? 1? 单调递增,故函数f(x)=ln ?x-x? 在(-1,0),(1,+∞)上 ? ?

单调递增,故选B. 答案:B

变式1:【考点二】

变式2:【考点二】

解:

变式3:【考点二】

变式3:【考点二】

变式4: 【考点二】

变式5:【考点二】

变式6: 【考点二】

变式7: 【考点二】
A.2 x ? x 2 ? 1

变式8: 【考点二】

? ?g?g≥h?, 3.[考点二]定义一种运算:g?h=? ? ?h?g<h?,

已知函数 f(x)=2x ( )

?1, 那么函数 f(x-1)的大致图象是

解析:由定义知,当x≥0时,2x≥1,∴f(x)=2x,当x<0时, 2x<1,∴f(x)=1,∴f(x)=
x ? ?2 ,x≥0, ? ? ?1,x<0,

其图象易作,f(x-1)

的图象可由f(x)的图象向右平移1个单位长度得到,故选B. 答案:B

4.[考点二]如图,不规则四边形ABCD中, AB和CD是线段,AD和BC是圆弧,直线l ⊥AB交AB于E,当l从左至右移动(与线段 AB有公共点)时,把四边形ABCD分成两部分,设AE=x, 左侧部分的面积为y,则y关于x的图象大致是 ( )

解析:当l从左至右移动时,一开始面积的增加速度越来越 快,过了D点后面积保持匀速增加,图象呈直线变化,过了 C点后面积的增加速度又逐渐减慢.故选C. 答案:C

(2)y=x2-2x+2,x∈(-1,2];

(3)y=|x-1|,x∈R.

解:(2)用描点法作出函数 f(x)=x2-2x+2,x∈(-1,2]的图象, 如图(2)所示.

(3)可先作出 y=x-1 的图象, 将 x 轴下方的图象沿 x 轴翻折到 x 轴上方,x 轴上方的图象保持不变可得 y=|x-1|的图象.如 图(3)中实线部分所示.

突破点(二)

函数图象的应用问题

利用函数图象可以解决很多与函数有关的问题,如利用 函数的图象解决函数性质问题,函数的零点、方程根的问 题,有关不等式的问题等.解决上述问题的关键是根据题意 画出相应函数的图象,利用数形结合的思想求解.)

考点贯通

抓高考命题的“形”与“神”

利用函数图象研究函数的性质
[例1] 已知函数f(x)=x|x|-2x,则下列结论正确的是( )

A.f(x)是偶函数,递增区间是(0,+∞) B.f(x)是偶函数,递减区间是(-∞,1) C.f(x)是奇函数,递减区间是(-1,1) D.f(x)是奇函数,递增区间是(-∞,0)

[解析]

将函数f(x)=x|x|-2x去掉绝对
2 ? ?x -2x,x≥0, ? 2 ? - x -2x,x<0, ?

值符号得f(x)=

画出函

数f(x)的图象,如图,观察图象可知,函数 f(x)的图象关于原点对称,故函数f(x)为奇函数,且在(-1,1) 上单调递减. [答案] C

[方法技巧]
利用图象研究函数性质问题的思路 对于已知解析式易画出其在给定区间上图象的函数,其 性质常借助图象研究: (1)由图象的最高点、最低点,分析函数的最值、极值; (2)由图象的对称性,分析函数的奇偶性; (3)由图象的走向趋势,分析函数的单调性、周期性.

利用函数图象解决方程根的问题
[例2]
? ?|lg x|,x>0, 已知f(x)= ? |x| ? ?2 ,x≤0,

则方程2f2(x)-3f(x)+1=0

的解的个数为________.
[解析] 方程2f2(x)-3f(x)+1=0的解为

1 f(x)= 2 或f(x)=1.作出y=f(x) 的图象,由图 1 象知直线y= 2 与函数y=f(x)的图象有2个公 共点;直线y=1与函数y=f(x)的图象有3个公共点.故方程 2f2(x)-3f(x)+1=0有5个解. [答案] 5

[方法技巧]
利用函数的图象解决方程根问题的思路 当方程与基本函数有关时,可以通过函数图象来研 究方程的根,方程f(x)=0的根就是函数f(x)图象与x轴交 点的横坐标,方程f(x)=g(x)的根就是函数f(x)与g(x)图象 交点的横坐标.

利用函数图象解不等式
[例 3] (1)函数 f(x)是定义在[-4,4]上的

偶函数,其在[0,4]上的图象如图所示,那么 f?x? 不等式cos x<0 的解集为________.

[解析]

? π? 在?0,2?上 ? ?

y=cos x>0,

?π ? 在?2,4?上 ? ?

y=cos x<0.



? π? f?x? f(x)的图象知在?1,2?上cos x<0, ? ?

因为 f(x)为偶函数,y=cos x 也是偶函数, f?x? 所以 y=cos x为偶函数,
? π ? ? π? f?x? 所以cos x<0 的解集为?-2,-1?∪?1,2?. ? ? ? ?

[答案]

? π ? ? π? ?- ,-1?∪?1, ? 2? ? 2 ? ?

(2)设函数 f(x)=ax+cos x,x∈[0,π].设 f(x)≤1+sin x, 则 a 的取值范围为________.
[解析] 由 f(x)≤1+sin x,

得 ax+cos x≤1+sin x, 即 ax≤ =
? π? 2sin?x-4?+1,构造函数 ? ?

g1(x)=ax,g2(x)

? π? 2sin?x-4?+1, ? ?

如图所示, 若使 ax≤
? π? 2sin?x-4?+1 ? ?

恒成立,

则函数 g1(x)=ax 的图象总在函数 g2(x)= 的图象的下方. 2 因为 x∈[0,π],A(π,2),kOA=π, 所以 a [答案]
? 2? 的取值范围为?-∞,π?. ? ? ? 2? ?-∞, ? π? ?

? π? 2sin?x-4?+1 ? ?

[方法技巧]
利用函数图象求解不等式的思路 当不等式问题不能用代数法求解,但其对应函数的 图象可作出时,常将不等式问题转化为两函数图象的 上、下关系问题,从而利用数形结合思想求解.

能力练通

抓应用体验的“得”与“失”

1.[考点一]对于函数f(x)=lg(|x-2|+1),给出如下三个命题: ①f(x+2)是偶函数;②f(x)在区间(-∞,2)上是减函数,在 区间(2,+∞)上是增函数;③f(x)没有最小值.其中正确的 个数为 A. 1 C. 3 B. 2 D. 0 ( )

解析:因为函数f(x)=lg(|x-2|+1),所以函数f(x+2)=lg(|x|+1) 是偶函数; 图象向左平移1个单位长度 由y=lg x―――――――――――――→y=lg(x+1)
去掉y轴左侧的图象,以y轴为对称轴,作y轴右侧图象的对称图象 ――――――――――――――――――――――――――――――――→

图象向右平移2个单位长度 y=lg(|x|+1) ―――――――――――――→ y=lg(|x -2|+1),如图,可知f(x)在(-∞,2)上是减函 数,在(2,+∞)上是增函数;由图象可知函数存 在最小值为0.所以①②正确. 答案:B

2.[考点三]设奇函数f(x)在(0,+∞)上为增函数,且f(1)=0,则 f?x?-f?-x? 不等式 <0的解集为 x A.(-1,0)∪(1,+∞) C.(-∞,-1)∪(1,+∞) ( B.(-∞,-1)∪(0,1) D.(-1,0)∪(0,1) )

解析:因为f(x)为奇函数,所以不等式 f?x?-f?-x? f?x? <0可化为 x <0,即xf(x)<0, x f(x)的大致图象如图所示.所以xf(x)<0的解 集为(-1,0)∪(0,1). 答案:D

3.[考点二]已知函数f(x)=2ln x,g(x)=x2-4x+5,则方程f(x) =g(x)的根的个数为 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 ( )

解析:由已知g(x)=(x-2)2+1,得其顶点 为(2,1),又f(2)=2ln 2∈(1,2),可知点 (2,1)位于函数f(x)=2ln x图象的下方,故 函数f(x)=2ln x的图象与函数g(x)=x2-4x +5的图象有2个交点. 答案:C

4.[考点二]直线y=1与曲线y=x2-|x|+a有四个交点,则a的取 值范围是________.
2 ? x ? -x+a,x≥0, 解析:y= ? 2 ? ?x +x+a,x<0,

作出图象,

如图所示.此曲线与y轴交于点(0,a),最 1 小值为a- 4 ,要使y=1与其有四个交点, 1 5 只需a-4<1<a,∴1<a<4.
? 5? 答案:?1,4? ? ?

5.[考点三]设函数f(x)=|x+a|,g(x)=x-1,对于任意的x∈ R,不等式f(x)≥g(x)恒成立,则实数a的取值范围是 ________.
解析:如图,要使f(x)≥g(x)恒成立,则-a≤1,∴a≥-1.

答案:[-1,+∞)

[全国卷5年真题集中演练——明规律]
1.(2016· 全国乙卷)函数y=2x2-e|x|在[-2,2]的图象大致为( )

解析:∵f(x)=2x2-e|x|,x∈[-2,2]是偶函数, 又f(2)=8-e2∈(0,1),故排除A,B. 设g(x)=2x2-ex, 则g′(x)=4x-ex. 又g′(0)<0,g′(2)>0, ∴g(x)在(0,2)内至少存在一个极值点, ∴f(x)=2x2-e|x|在(0,2)内至少存在一个极值点,排除C.故选D. 答案:D

2.(2015· 新课标全国卷Ⅱ)如图,长方形 ABCD的边AB=2,BC=1,O是AB的中 点,点P沿着边BC,CD与DA运动,记∠ BOP=x.将动点P到A,B两点距离之和表示为x的函数f(x), 则y=f(x)的图象大致为 ( )

? π? 解析:当x∈?0,4?时,f(x)=tan ? ?

x+ 4+tan2x,图象不会

?π 3π? 是直线段,从而排除A、C.当x∈?4, 4 ?时, ? ? ?π? ?3π? f?4?=f? 4 ?=1+ ? ? ? ? ?π? 5,f?2?=2 ? ?

2.

∵2 2<1+ 5,
?π? ?π? ?3π? ∴f?2?<f?4?=f? 4 ?, ? ? ? ? ? ?

从而排除D.故选B. 答案:B

3.(2015· 新课标全国卷Ⅰ)设函数y=f(x)的图象与y=2x a的图象


关于直线y=-x对称,且f(-2)+f(-4)=1,则a=( A.-1 B.1 C.2 D.4 解析:设(x,y)为y=f(x)图象上任意一点,

)

则(-y,-x)在y=2x a的图象上,


所以有-x=2

- y+ a



从而有-y+a=log2(-x)(指数式与对数式的互化), 所以y=a-log2(-x), 即f(x)=a-log2(-x), 所以f(-2)+f(-4)=(a-log22)+(a-log24)=(a-1)+(a-2) =1, 解得a=2.故选C. 答案:C

4.(2014· 新课标全国卷Ⅰ)如图,圆O的半径为 1,A是圆上的定点,P是圆上的动点,角x的 始边为射线OA,终边为射线OP,过点P作直 线OA的垂线,垂足为M.将点M到直线OP的距离表示成x的函 数f(x),则y=f(x)在[0,π]的图象大致为 ( )

解析:由题意知,f(x)=|cos x|· sin x,
? π? 当x∈?0,2?时,f(x)=cos ? ?

1 x· sin x=2sin 2x; 1 x· sin x=-2sin 2x,

?π ? 当x∈?2,π?时,f(x)=-cos ? ?

故选B. 答案:B

5.(2012· 新课标全国卷)已知函数f(x)= 图象大致为

1 ,则y=f(x)的 ln?x+1?-x ( )

解析:函数的定义域是(-1,0)∪(0,+∞),值域是(-∞, 0),所以其图象为B. 答案:B


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