2017-2018学年高中数学(北师大版)必修2 精品教学课件:第一章 §7 第2课时 柱、锥、台的体积_图文

第2课时 柱、锥、台的体积 [核心必知] 柱、锥、台的体积公式 [问题思考] 仿照侧面积公式,你能用底面半径和高来表示圆柱、圆 锥和圆台的体积公式吗? 讲一讲 1.已知直三棱柱 ABCA1B1C1 中,点 C 到 AB 的距离 为 3 cm, 侧面 ABB1A1 的面积为 8 cm2, 求直三棱柱的体积. [尝试解答] 法一:如图,设点 C 到 AB 的距离 为 d,侧面 ABB1A1 的面积为 S1,则△ABC 的面积 S 1 = |AB|d. 2 (1)直棱柱的侧面与对角面都是矩形,所以方法一 利用侧面积与点到直线的距离的乘积求得体积. (2)四棱柱的底面与侧面是相对而言的,即任何一 组对面都可以作为底面.所以方法二采用了“补形” 求得四棱柱的体积(间接求解). 练一练 1.一个正方体的底面积和一个圆柱的底面积相等,且侧面 积也相等,求正方体和圆柱的体积之比. 讲一讲 2.如图,已知四棱锥 PABCD 的底面为等腰梯形, AB∥CD,AC⊥BD,垂足为 H,PH 是四棱锥的高.若 AB= 6, ∠APB=∠ADB=60° , 求四棱锥 PABCD 的 体积. [尝试解答] 因为 ABCD 为等腰梯形,AB∥CD,AC ⊥BD,AB= 6, 所以 HA=HB= 3. 因为∠APB=∠ADB=60° , 所以 PA=PB= 6,HD=HC= 3tan 30° =1. 可得 PH= PA2-AH2= 3, 1 等腰梯形 ABCD 的面积为 S= AC×BD=2+ 3. 2 3+2 3 1 所以四棱锥的体积为 V= ×(2+ 3)× 3= . 3 3 求锥体的体积,要选择适当的底面和高,然后 1 应用公式 V= Sh 进行计算即可,常用方法为割补 3 法和等积变换法: (1)割补法: 求一个几何体的体积可以将这个几 何体分割成几个柱体、锥体,分别求出柱体和锥体 的体积,从而得出几何体的体积. (2)等积变换法:利用三棱锥的任一个面可作 为三棱锥的底面. ①求体积时, 可选择容易计算的方式来计算; ②利用“等积性”可求“点到面的距离”. 练一练 2.已知三角形ABC的边长分别是AC=3,BC=4,AB=5, 以AB所在直线为轴,将此三角形旋转一周,求所得几何体的 体积. 讲一讲 3.圆台上底的面积为 16π cm2,下底半径为 6 cm,母 线长为 10 cm,那么,圆台的侧面积和体积各是多少? [尝试解答] 首先,圆台的上底的半径为 4 cm, 于是 S 圆台侧=π(r+r′)l=100π(cm2). 其次,如图, 圆台的高 h=BC= BD2-?OD-AB?2 = 102-?6-4?2=4 6(cm), 1 1 所以 V 圆台= h(S+ SS′+S′)= ×4 6×(16π+ 16π×36π 3 3 304 6π +36π)= (cm3). 3 求台体的体积关键是求出上、下底面的面积和台体的高, 要注意充分运用棱台内的直角梯形和圆台的轴截面(等腰梯形) 等求相关量之间的关系.因为台体是由锥体用平行 于底面的平面截得的几何体,所以它的体积也可以转化为两 个锥体的体积之差. 练一练 3.正四棱台的上下底面边长分别为6 cm和12 cm,侧面积为 180 cm2,求棱台的体积. 解:如图,分别过正四棱台的底面中心 O1,O 作 O1E1⊥B1C1,OE⊥BC,垂足分别为 E1,E,则 E1E 为正四棱台的斜高. 由于正四棱台的侧面积为 180 cm2, 1 所以 ×4×(6+12)|E1E|=180,解得|E1E|=5. 2 在直角梯形 O1OEE1 中,O1E1=3,OE=6,E1E =5,解得 O1O=4. 1 所以正四棱台的体积为 V= h(S+ SS′ + S′) 3 1 = ×4×(62+6×12+122)=336(cm3). 3 如图所示,在长方体ABCD-A′B′C′D′中,用截面 截下一个棱锥C-A′DD′,求棱锥C-A′DD′的体积 与剩余部分的体积之比. 解析:设正方体的棱长为a,则6a2=96,解得a=4, 则正方体的体积是a3=64. 答案:B 3.(重庆高考 )某几何体的三视图如图所示,则 该几何体的体积为( ) 1 A. +π 3 1 C. +2π 3 2 B. +π 3 2 D. +2π 3 解析: 由三视图可知该几何体是由一个半圆柱和 一个三棱锥组成的.由图中数据可得三棱锥的体积 1 1 1 1 V1 = × ×2×1×1 = , 半 圆 柱 的 体 积 V2 = 3 2 3 2 1 ×π×1 ×2=π,∴V= +π. 3 2 答案:A 4.一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积为 ________. 5.圆台的上、下底面半径和高的比为1∶4∶4,母线长为10, 则圆台的体积为________. 6.已知一个三棱台的两底面是边长分别为20 cm和30 cm的正 三角形,侧面是全等的等腰梯形,且其侧面积等于两底面面积 之和,求棱台的高和体积. 解:如图,在三棱台 ABCA′B′C′中,O′、 O 分别为上、下底面的中心,D、D′分别是 BC、 B′C′的中点,则 DD′是梯形 BCC′B′的高, 1 所以 S 侧= (20+30)· DD′· 3=75DD′. 2 又 A′B′=20 cm,AB=30 cm,则上、下底面 3 2 面积之和为 S 上+S 下= (20 +302)=325 3(cm2). 4 由 S 侧=S 上+S 下得,75DD′=325 3(cm2),所 13 以 DD′= 3(cm). 3 10 3 在直角梯形 O′ODD′中,OD=5 3 cm,O′D′= cm, 3 O′O= D′D -?OD-O′D′? = =4 3(cm),即棱台的高 h=4 3 cm. h 由棱台的体积公式,可得棱台的体积为 V= (S+S′+

相关文档

2018学年高中数学(北师大版)必修2 精品教学课件:第一章 §7 第2课时 柱、锥、台的体积
2017-2018学年高中数学北师大版 必修二学业分层测评:第1章 §7 7-2 柱、锥、台的体积 含解析 精品
2017-2018学年高中数学(北师大版)必修2 精品教学课件:第一章 §7 第1课时 柱、锥、台的侧面展开与面积
2017-2018学年高中数学(北师大版)必修2 精品教学课件:第二章 §2 第1课时 圆的标准方程
2017-2018学年高中数学(北师大版)必修2 精品教学课件:第一章 §7 第3课时 球
2017-2018学年高中数学(北师大版)必修2 精品教学课件:第一章 §6 第2课时 垂直关系的性质
2017-2018学年高中数学(北师大版)必修2+精品教学课件:第一章+§6+第1课时+垂直关系的判定
2017-2018学年高中数学(北师大版)必修2 精品教学课件:第一章 §1 第2课时 简单多面体
2017-2018学年高中数学(北师大版)必修2 精品教学课件:第二章 §2 第4课时 圆与圆的位置关系
2017-2018学年高中数学(北师大版)必修2 精品教学课件:第一章 §1 第1课时 简单旋转体
电脑版