18学年高中数学第一章导数及其应用1.2导数的运算1.2.3简单复合函数的导数教学案苏教版选修2_2

1.2.3 简单复合函数的导数 [对应学生用书 P11] π? ? 2 已知函数 f(x)=sin?2x+ ?,g(x)=(3x+2) . 6? ? 问题 1:这两个函数是复合函数吗? 提示:是复合函数. 问题 2:试说明 g(x)=(3x+2) 是如何复合的? 提示:函数 g(x)=(3x+2) 是由 g(u)=u ,u=3x+2 复合而成的. 问题 3:试求 g(x)=(3x+2) ,g(u)=u ,u=3x+2 的导数. 提示:g′(x)=[(3x+2) ]′=[9x +12x+4]′=18x+12.g′(u)=2u,u′=3. 问题 4:观察问题 3 中导数有何关系? 提示:g′(x)=g′(u)·u′. 2 2 2 2 2 2 2 若 y=f(u),u=ax+b,则 y′x=y′u·u′x,即 y′x=y′u·a. 1.求复合函数的导数,关键在于分清函数的复合关系,选好中间变量. 2.利用复合关系求导前,若函数关系可以化简,则先化简再求导会更简单. 3.判断复合函数的复合关系的一般方法是:从外向里分析,最外层的主体函数结构是 以基本函数为主要形式,各层的中间变量结构也都是基本函数关系,这样一层一层分析,最 里层应是关于自变量 x 的基本函数或关于自变量 x 的基本函数经过有限次四则运算而得到的 函数. [对应学生用书P11] 复合函数的求导 [例 1] 求下列函数的导数. (1)y= 1 x+ 3 ; 1 (2)y=e -0.05x+1 ; (3)y=cos(ω x+φ )(其中 ω 、φ 为常数); (4)y=log2(5-3x). [思路点拨] 先分清函数自身结构, 再合理地选取中间变量, 利用复合函数的求导法则 求解. [精解详析] (1)y= 1 x+ 3 3 3 =(2x+3)- 是函数 y=u- , u=2x+3 的复合函数, 2 2 3 所以 y′x=y′u·u′x=(u- )′·(2x+3)′ 2 3 5 5 5 =- u- ·2=-3u- =-3(2x+3)- . 2 2 2 2 (2)y=e u - 0.05x+ 1 是函数 y=e ,u=-0.05x+1 的复合函数,所以 y′x=y′u·u′x= u (e )′·(-0.05x+1)′ =-0.05e =-0.05e u -0.05x+1 . (3)y=cos(ω x+φ )是 y=cos u,u=ω x+φ 的复合函数, 所以 y′x=y′u·u′x=(cos u)′·(ω x+φ )′ =-sin u·ω =-ω sin(ω x+φ ). (4)y=log2(5-3x)是 y=log2u,u=5-3x 的复合函数, 所以 y′x=y′u·u′x=(log2u)′·(5-3x)′=-3· = -3 -3x = 3 . 2 1 uln 2 x- [一点通] 对于简单复合函数的求导,其一般步骤为“分解——求导——回代”,即: (1)弄清复合关系,将复合函数分解成基本初等函数形式;(2)利用求导法则分层求导;(3) 最终结果要将中间变量换成自变量. 1 1.若函数 f(x)=ln ,则 f′(x)=________. x 1 1 解析:f(x)=ln 是 f(u)=ln u 与 u= 的复合函数, x x ?1? 所以 y′x=y′u·u′x=(ln u)′·? ?′ ?x? 2 1 ? 1? 1 = ·?- 2?=- . u ? x? x x 1 答案:- 2.函数 y=sin x+sin x 的导数为________. 解析:y′=(sin x+sin x )′=(sin x)′+(sin x )′ =3sin xcos x+cos x ·3x 2 2 2 3 2 3 3 3 3 3 3 =3sin xcos x+3x ·cos x . 答案:3sin xcos x+3x ·cos x 3.求下列函数的导数: (1)y=e2x +3x;(2)y= u 2 2 2 2 3 3 1 -3x 4 . 解:(1)y=e ,u=2x +3x, 所以 y′x=y′u·u′x=e ·(2x +3x)′ =e ·(4x+3)=(4x+3)e2x +3x. (2)∵y= 1 -3x -4 4 u 2 u 2 =(1-3x) , -4 ∴可设 y=u ,u=1-3x, ∵y′u=-4u ,u′x=-3, ∴y′x=y′u·u′x=-4u ×(-3)=12(1-3x) . 求导法则的综合应用 [例 2] 求下列函数的导数. (1)y=3 (2)y= 1-x -5 -5 -5 sin(2x-1); x- 2x-1 . [思路点拨] 根据导数的运算法则及复合函数的求导公式求解. [精解详析] (1)y′=(3 =-3 =3 1-x 1-x )′sin(2x-1)+3 1-x 1-x ·[sin(2x-1)]′ ln 3·sin(2x-1)+3 ·2cos(2x-1) 1-x [2cos(2x-1)-sin(2x-1)·ln 3]. (2)y′= x- 2x-1- 2x-1 x- 2 2x-1 3 = 2 2x-1 - 2x-1 2 x- 2x-1 1 2 x- 1 - ·2 2 x- - 2x-1 2x-1 = 2x-1 = 2- x- 2x-1 x- . [一点通] (1)利用加减乘除四则运算与复合生成函数的方法,都能由基本初等函数生 成一些新的函数,认清这一点可帮助我们分析函数结构. (2)认清函数结构之后,不要急于求导,应注意恰当利用代数、三角变换方法,化简函 数解析式,以达到准确套用法则,明确求导过程的目的. 4.若函数 f(x)=xcos 2x,则 f′(x)=________. 解析:f′(x)=x′cos 2x+x(cos 2x)′ =cos 2x-2xsin 2x. 答案

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