高考数学(文)全程复习课件:3.8 正弦定理、余弦定理应用举例

3.8 正弦定理、余弦定理应用举例 考点梳理 1.仰角和俯角 与目标视线同在一铅垂平面内的水平视线和目标视线的 夹角, 目标视线在水平视线______ 目标视线在水平 上方 时叫仰角, 下方 的叫俯角.(如图所示) 视线______ 2.方位角 一般指正北方向线顺时针到目标方向线的水平角, 如方位 北偏东 45° ,即东北方向. 角 45° ,是指____________ 3.坡角 水平面 的夹角.(如图所示) 坡面与__________ 4.坡比 h 坡面的铅直高度与水平宽度之比, 即 i= =tanα(i 为坡比, l α 为坡角). 考点自测 1.从 A 处望 B 处的仰角为 α,从 B 处望 A 处的俯角为 β, 则 α、β 的关系为( ) A.α>β B.α=β C.α+β=90° D.α+β=180° 解析:如图所示,从 A 处望 B 处和从 B 处望 A 处视线均 为 AB.而 α,β 同为 AB 与水平线所成的角,因此 α=β. 答案:B 2.如图所示,为了测量某障碍物两侧 A、B 间的距离, 给定下列四组数据,不能确定 A、B 间距离的是( ) A.α,a,b B.α,β,a C.a,b,γ D.α,β,b 解析: 选项 B 中由正弦定理可求 b,再由余弦定理可确定 AB.选项 C 中可由余弦定理确定 AB. 选项 D 同 B 类似,故选 A. 答案:A 3.如图所示,已知两座灯塔 A 和 B 与海洋观察站 C 的距 离相等, 灯塔 A 在观察站 C 的北偏东 40° , 灯塔 B 在观察站 C 的南偏东 60° ,则灯塔 A 在灯塔 B 的( ) A.北偏东 10° B.北偏西 10° C.南偏东 10° D.南偏西 10° 解析:由已知∠ACB=180° -40° -60° =80° , 又 AC=BC,∴∠A=∠ABC=50° ,60° -50° =10° . ∴灯塔 A 位于灯塔 B 的北偏西 10° . 答案:B 4.在 200 m 高的山顶上,测得山下一塔的塔顶与塔底的 俯角分别是 30° 、60° ,则塔高为__________m. 解析:如图所示,设塔高为 h m. 由题意及图可知: 200 (200-h)· tan60° = tan60° 400 解得:h= m. 3 400 答案: 3 5.线段 AB 外有一点 C,∠ABC=60° ,AB=200 km,汽 车以 80 km/h 的速度由 A 向 B 行驶, 同时摩托车以 50 km/h 的 速度由 B 向 C 行驶, 则运动开始________h 后, 两车的距离最 小. 解析:如图所示,设 t h 后,汽车由 A 行驶到 D,摩托车 由 B 行驶到 E,则 AD=80t,BE=50t.因为 AB=200,所以 BD =200-80t,问题就是求 DE 最小时 t 的值. 由余弦定理: DE2 = BD2 + BE2 - 2BD· BEcos60° = (200 - 80t)2+2 500t2-(200-80t)· 50t=12 900t2-42 000t+40 000.当 70 t= 时,DE 最小. 43 70 答案: 43 疑点清源 1.解三角形的一般步骤 (1)分析题意,准确理解题意. 分清已知与所求, 尤其要理解应用题中的有关名词、 术语, 如坡度、仰角、俯角、方位角等. (2)根据题意画出示意图. (3)将需要解的问题归结到一个或几个三角形中,通过合 理运用正弦定理、 余弦定理等有关知识正确求解. 演算过程中, 要算法简练,计算正确,并作答. (4)检验解出的答案是否具有实际意义,对解进行取舍. 2.解斜三角形实际应用举例 (1)常见几种题型 测量距离问题、测量高度问题、测量角度问题、计算面积 问题、航海问题、物理问题等. (2)解题时需注意的几个问题 ①要注意仰角、俯角、方位角等名词,并能准确地找出这 些角; ②要注意将平面几何中的性质、 定理与正、 余弦定理结合 起来,发现题目中的隐含条件,才能顺利解决. 题型探究 题型一 测量距离问题 例 1 要测量对岸 A、B 两点之间的距离,选取相距 3 km 的 C、D 两点,并测得∠ACB=75° ,∠BCD=45° ,∠ADC= 30° ,∠ADB=45° ,求 A、B 之间的距离. 解析:如图所示在△ACD 中, ∠ACD=120° ,∠CAD= ∠ADC=30° , ∴AC=CD= 3 km. 在△BCD 中,∠BCD=45° , ∠BDC=75° ,∠CBD=60° . 3sin75° 6+ 2 ∴BC= = . sin60° 2 △ABC 中,由余弦定理,得 ? 6+ 2? 6+ 2 ? ?2 2 2 AB =( 3) +? ×cos75° ? -2× 3× 2 2 ? ? =3+2+ 3- 3=5, ∴AB= 5(km). ∴A、B 之间的距离为 5 km. 点评: 求距离问题要注意: ①选定或确定要创建的三角形, 要首先确定所求量所在的三角形, 若其他量已知则直接解; 若 有未知量, 则把未知量放在另一确定三角形中求解. ②确定正 弦定理还是余弦定理, 如果都可用, 就选择更便于计算的定理. 变式探究 1 某观测站 C 在目标 A 的南偏西 25° 方向,从 A 出发有一条南偏东 35° 走向的公路,在 C 处测得与 C 相距 31 千米的公路上 B 处有一人正沿此公路向 A 处走, 走 20 千米 到达 D,此时测得 CD 为 21 千米,求此人在 D 处距 A 还有多 少千米? 解析:如图所示,易知∠CAD=25° +35° =60° ,在△BCD 中, 312+202-212 23 cosB= = , 31 2×31×20 12 3 所以 sinB= . 31 BCsinB 在△ABC 中,AC= =24, sinA 由 BC2=AC2+AB2-2AC·

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