2020版高考数学复习第一章第3讲简单的逻辑联结词全称量词与存在量词课件文新人教A版_图文

第一章 集合与常用逻辑用语
第 3 讲 简单的逻辑联结词、全称量词与 存在量词

1.简单的逻辑联结词 (1) 常 用 的 简 单 的 逻 辑 联 结 词 有 “_或___” 、 “ _且___” 、 “ _非___”.

(2)命题 p∧q、p∨q、﹁p 的真假判断

p

q

p∧q

p∨q

﹁p









































2.全称命题和特称命题

(1)全称量词和存在量词

量词名称

常见量词

全称量词

所有、一切、任意、 全部、每一个等

存在量词

存在一个、至少有一 个、有些、某些等

符号表示 ___?__ __?___

(2)全称命题和特称命题

名称 形式

全称命题

特称命题

结构
简记 否定

对 M 中任意一个 x,有 p(x) 存在 M 中的一个 x0,

成立 ___?_x_∈__M___,p(x) __?_x_0_∈__M___,﹁p(x0)

使 p(x0)成立 __?__x_0∈__M___,p(x0) __?_x_∈___M___,﹁p(x)

常用知识拓展 1.含逻辑联结词命题真假的判断 (1)p∧q 中一假则假,全真才真. (2)p∨q 中一真则真,全假才假. (3)p 与﹁p 真假性相反. 2.全称命题与特称命题的否定 (1)改写量词:确定命题所含量词的类型,省去量词的要结合命 题的含义加上量词,再对量词进行改写. (2)否定结论:对原命题的结论进行否定.

判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)命题 p∧q 为假命题,则命题 p、q 都是假命题.( ) (2)命题 p 和﹁p 不可能都是真命题.( ) (3)若命题 p,q 至少有一个是真命题,则 p∨q 是真命题.( ) (4)写特称命题的否定时,存在量词变为全称量词.( ) (5)?x0∈M,p(x0)与?x∈M,﹁p(x)的真假性相反.( )
答案:(1)× (2)√ (3)√ (4)√ (5)√

(













)





“?x0



R



x

2 0



x0



1>0”









()

A.?x∈R,x2-x-1≤0

B.?x∈R,x2-x-1>0

C.?x0∈R,x20-x0-1≤0 D.?x0∈R,x20-x0-1≥0

解析:选 A.依题意得,命题“?x0∈R,x20-x0-1>0”的否定是 “?x∈R,x2-x-1≤0”,选 A.

已知命题 p:对任意 x∈R,总有|x|≥0;q:x=1 是方程 x

+2=0 的根.则下列命题为真命题的是( )

A.p∧(﹁q)

B.(﹁p)∧q

C.(﹁p)∧(﹁q)

D.p∧q

解析:选 A.因为命题 p 为真命题,q 为假命题,故﹁q 为真命 题,所以 p∧(﹁q)为真命题.
(教材习题改编)命题“所有可以被 5 整除的整数,末位数字 都是 0”的否定为___________________________________. 答案:“有些可以被 5 整除的整数,末位数字不是 0”

若“?x∈???0,π4???,tan x≤m”是真命题,则实数 m 的最小值 为________.
解析:因为 0≤x≤π4,所以 0≤tan x≤1, 又因为?x∈???0,π4???,tan x≤m,故 m≥1, 即 m 的最小值为 1.
答案:1

全称命题、特称命题(多维探究) 角度一 全称命题、特称命题的否定
已知命题 p:?m∈R,f(x)=2x-mx 是增函数,则﹁p 为( ) A.?m∈R,f(x)=2x-mx 是减函数 B.?m∈R,f(x)=2x-mx 是减函数 C.?m∈R,f(x)=2x-mx 不是增函数 D.?m∈R,f(x)=2x-mx 不是增函数

【解析】 本题考查特称命题的否定.由特称命题的否定可得 ﹁p 为“?m∈R,f(x)=2x-mx 不是增函数”.
【答案】 D

角度二 判断全称命题、特称命题的真假性 (2019·长沙统一模拟考试)已知函数 f(x)=x21,则( )
A.?x0∈R,f(x0)<0 B.?x∈[0,+∞),f(x)≥0 C.?x1,x2∈[0,+∞),f(x1)x1--fx(2 x2)<0 D.?x1∈[0,+∞),?x2∈[0,+∞),f(x1)>f(x2) 【解析】 幂函数 f(x)=x12的值域为[0,+∞),且在定义域上 单调递增,故 A 错误,B 正确,C 错误,D 选项中, 当 x1=0 时,结论不成立,选 B.
【答案】 B

全称命题与特称命题真假的判断方法

命题名称

真假

判断方法一

判断方法二



所有对象使命题真 否定为假

全称命题



存在一个对象使命题假 否定为真



存在一个对象使命题真 否定为假

特称命题



所有对象使命题假 否定为真

[注意] 无论是全称命题还是特称命题,若其真假不容易正面 判断时,都可先判断其否定的真假.

(2019·河南商丘模拟)已知 f(x)=sin x-x,命题 p:?x∈???0,π2???, f(x)<0,则( ) A.p 是假命题,﹁p:?x∈???0,π2???,f(x)≥0 B.p 是假命题,﹁p:?x∈???0,π2???,f(x)≥0 C.p 是真命题,﹁p:?x∈???0,π2???,f(x)≥0 D.p 是真命题,﹁p:?x∈???0,π2???,f(x)≥0

解析:选 C.易知 f′(x)=cos x-1<0,所以 f(x)在???0,π2???上是减函 数,因为 f(0)=0,所以 f(x)<0,所以命题 p:?x∈???0,π2???,f(x)<0 是真命题,﹁p:?x∈???0,π2???,f(x)≥0,故选 C.

含有逻辑联结词的命题的真假判断(师生共研)

(1)命题 p:若 sin x>sin y,则 x>y;命题 q:x2+y2≥2xy.

下列命题为假命题的是( )

A.p∨q

B.p∧q

C.q

D.﹁p

(2)(2019·唐山市五校联考)已知命题 p:“a>b”是“2a>2b”的充要 条件;q:?x∈R,|x+1|≤x,则( ) A.(﹁p)∨q 为真命题 B.p∨q 为真命题 C.p∧q 为真命题 D.p∧(﹁q)为假命题 【解析】 (1)取 x=π3,y=56π,可知命题 p 不正确;由(x-y)2 ≥0 恒成立,可知命题 q 正确,故﹁p 为真命题,p∨q 是真命 题,p∧q 是假命题.

(2)由函数 y=2x 是 R 上的增函数,知命题 p 是真命题. 对于命题 q,当 x+1≥0,即 x≥-1 时,|x+1|=x+1>x; 当 x+1<0,即 x<-1 时,|x+1|=-x-1, 由-x-1≤x,得 x≥-12,无解, 因此命题 q 是假命题. 所以(﹁p)∨q 为假命题,A 错误; p∨q 为真命题,B 正确; p∧q 为假命题,C 错误; p∧(﹁q)为真命题,D 错误.故选 B.
【答案】 (1)B (2)B

(1)“p∨q”“p∧q”“ ﹁p”形式命题真假的判断步骤 ①确定命题的构成形式; ②判断命题 p,q 的真假; ③根据真值表确定“p∨q”“p∧q”“ ﹁p”形式命题的真 假.

(2)含逻辑联结词命题真假的等价关系 ①p∨q 真?p,q 至少一个真?(﹁p)∧(﹁q)假; ②p∨q 假?p,q 均假?(﹁p)∧(﹁q)真; ③p∧q 真?p,q 均真?(﹁p)∨(﹁q)假; ④p∧q 假?p,q 至少一个假?(﹁p)∨(﹁q)真; ⑤﹁p 真?p 假;﹁p 假?p 真.

已知命题 p:“若 x2-x>0,则 x>1”;命题 q:“若 x,y∈R,

x2+y2=0,则 xy=0”.下列命题是真命题的是( )

A.p∨(﹁q)

B.p∨q

C.p∧q

D.(﹁p)∧(﹁q)

解析:选 B.若 x2-x>0,则 x>1 或 x<0,故 p 是假命题;若 x,

y∈R,x2+y2=0,则 x=0,y=0,xy=0,故 q 是真命题.则

p∨q 是真命题,故选 B.

由命题的真假确定参数的取值范围(典例迁移)

已知 p:存在 x0∈R,mx20+1≤0,q:任意 x∈R,x2+

mx+1>0,若 p 或 q 为假命题,求实数 m 的取值范围. 【解】 依题意知 p,q 均为假命题,当 p 是假命题时,mx2+

1>0 恒成立,则有 m≥0;当 q 是真命题时,则有 Δ=m2-4<0,

即-2<m<2.因此由

p,q







命题



??m≥0, ???m≤-2或m≥2,



m≥2.

所以实数 m 的取值范围为[2,+∞).

[迁移探究 1] (变结论)本例条件不变,若 p 且 q 为真,则实数 m 的取值范围为________.
解析:依题意知 p,q 均为真命题,当 p 是真命题时,有 m<0; 当 q 是真命题时,有-2<m<2, 由?????m-<20<,m<2,可得-2<m<0. 答案:(-2,0)

[迁移探究 2] (变结论)本例条件不变,若 p 且 q 为假,p 或 q 为真,则实数 m 的取值范围为________. 解析:若 p 且 q 为假,p 或 q 为真,则 p,q 一真一假. 当 p 真 q 假时?????mm<≥02,或m≤-2,所以 m≤-2; 当 p 假 q 真时?????m-≥2<0m,<2,所以 0≤m<2. 所以 m 的取值范围是(-∞,-2]∪[0,2).
答案:(-∞,-2]∪[0,2)

[迁移探究 3] (变条件)本例中的条件 q 变为:存在 x0∈R,x20+ mx0+1<0,其他不变,则实数 m 的取值范围为________. 解析:依题意,当 q 是真命题时,Δ =m2-4>0, 所以 m>2 或 m<-2.由题意知,p,q 均为假命题, 所以?????m-≥2≤0,m≤2,得 0≤m≤2, 所以 m 的取值范围是[0,2].
答案:[0,2]

(1)由含逻辑联结词的命题真假求参数的方法步骤 ①求出每个命题是真命题时参数的取值范围; ②根据每个命题的真假情况,求出参数的取值范围. (2)全称命题可转化为恒成立问题 含量词的命题中参数的取值范围,可根据命题的含义,利用函 数的最值解决. [注意] 要注意分类讨论思想的应用,如本例的迁移探究(2), 由于 p 和 q 一真一假,因此需分 p 真 q 假与 p 假 q 真两种情况 讨论求解.

(2019·河南师范大学附属中学开学考)已知命题 p:“?x∈

[0,1],a≥ex”,命题 q:“?x∈R,x2+4x+a=0”,若命题

“p∧q”是真命题,则实数 a 的取值范围是( )

A.(4,+∞)

B.[1,4]

C.(-∞,1]

D.[e,4]

解析:选 D.命题 p 等价于 ln a≥x 对 x∈[0,1]恒成立,所以

ln a≥1,解得 a≥e;命题 q 等价于关于 x 的方程 x2+4x+a=0

有实根,则 Δ=16-4a≥0,所以 a≤4.因为命题“p∧q”是真

命题,所以命题 p 真,命题 q 真,所以实数 a 的取值范围是

[e,4],故选 D.


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