9.5 柱、锥、球及其简单组合体(2)_图文

第九章 立体几何
9.5 柱、锥、球及简单组合体

创设情境 兴趣导入
以矩形的一边所在直线为旋转轴旋转,观察其余各边旋转一周所 形成的几何体

9.5 柱、锥、球及简单组合体

动脑思考 探索新知

以矩形的一边所在直线为旋转轴,其 余各边旋转形成的曲面(或平面)所围成 的几何体叫做圆柱 圆柱.旋转轴叫做圆柱的 圆柱 轴.垂直于轴的边旋转形成的圆面叫做圆 柱的底面 底面.平行于轴的边旋转成的曲面叫 底面 做圆柱的侧面 侧面,无论旋转到什么位置,这 侧面 条边都叫做侧面的母线 母线.两个底面间的距 母线 离叫做圆柱的高.圆柱用表示轴的字母表 高 示.如图的圆柱表示为圆柱 OO ′.

9.5 柱、锥、球及简单组合体

动脑思考 探索新知
观察圆柱(图9?64),可以得到圆柱的下列性质(证明略):

(1) 圆柱的两个底面是半径相等的圆,且互相平行;

(2) 圆柱的母线平行且相等,并且等于圆柱的高;

(3) 平行于底面的截面是与底面半径相等的圆;

(4) 轴截面是宽为底面的直径、长为圆柱的高的矩形

9.5 柱、锥、球及简单组合体

动脑思考 探索新知
圆柱的侧面积、全面积(表面积)、及体积的计算公式如下:

S圆柱侧 = 2p rh
S圆柱全 = 2p r (h + r )
V圆柱 = p r 2 h
其中r为底面半径,h为圆柱的高.

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巩固知识 典型例题
例3 已知圆柱的底面半径为1cm,体积为 5 cm3 ,求圆柱的高与全面积.

解 由于底面半径为1cm,所以

πh = 5π
解得圆柱的高为

h=5 (cm).
所以圆锥的全面积为

S圆柱全 = 2p r (h + r ) = 12p cm2

(

)

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创设情境 兴趣导入

以直角三角形的一条直角边为旋转轴进行旋转,观察旋转一周所形成的几何体

9.5 柱、锥、球及简单组合体

动脑思考 探索新知

以直角三角形的一条直角边为旋转轴旋 转一周,其余各边旋转而形成的曲面(或平 面)所围成的几何体叫做圆锥 圆锥(如图).旋转 圆锥 轴叫做圆锥的轴.另一条直角边旋转而成的 轴 圆面叫做底面 底面.斜边旋转而成的曲面叫做侧 底面 侧 面,无论旋转到什么位置,斜边都叫做侧面 的母线 母线.母线与轴的交点叫做顶点 顶点.顶点到 母线 顶点 底面的距离叫做圆锥的高. 高

圆锥用表示轴的字母表示.如图所示的 圆锥表示为圆锥SO.

9.5 柱、锥、球及简单组合体

动脑思考 探索新知
观察圆锥,可以得到圆锥的下列性质(证明略): : (1) 平行于底面的截面是圆; (2) 顶点与底面圆周上任意一点的距离都相等,且等于母线的长度; (3) 轴截面为等腰三角形,其底边上的高等于圆锥的高. 圆锥的侧面积、全面积(表面积)及体积的计算公式如下:

S圆锥侧 = p rl

S圆锥全 = p r (l + r )

1 V圆锥 = p r 2 h 3

其中r为底面半径,l为母线长,h圆锥的高.

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巩固知识 典型例题
例4 已知圆锥的母线的长为 2 cm,圆锥的高为 1 cm,求该圆锥的体积.

解 由图知

r = l 2 ? h 2 = 3 ( cm )
故圆锥的体积为

1 V圆锥 = × π × ( 3) 2 × 1 = π cm3 3

(

)
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创设情境 兴趣导入
半圆以其直径所在的直线为旋转轴进行旋转,观察旋转一周所 形成的几何体

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动脑思考 探索新知
A

以半圆的直径所在的直线为旋转 轴旋转一周,所形成的曲面叫做球面 球面 (如图).球面围成的几何体叫做球 球 球心, 体,简称球. 半圆的圆心叫做球心 球 球心 半圆的半径叫做球的半径 球的半径.经常用表 球的半径 示球心的字母来表示球,如图中所示 的球记作球O.

R
C

O

B

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动脑思考 探索新知
如图所示,用平面去截球,观察截面的图形. 由实验可以得到球的如下性质(证明略): 球的截面是圆面,并且球心与截面圆心的连线垂直于截面 球的截面是圆面,并且球心与截面圆心的连线垂直于截面. 设球心到截面的距离为d,球的半径为R,截面上圆的半径为r(如图),则

r = R2 ? d 2
经过球心的平面截球面所得的圆叫做球的大圆 球的大圆.此时d=0,r=R,截得的圆 球的大圆 半径最大.不经过球心的平面截球面所得的圆叫做球的小圆 球的小圆. 球的小圆

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动脑思考 探索新知
把地球近似地看作一个球时,经线就是球面上从北极到南极的半个大圆; 赤道是一个大圆,其余的纬线都是小圆.如左图所示. 经过球面上两点的大圆在这两点间的一段劣弧(指不超过半个大圆的弧) 的长度叫做两点的球 两点的球 面距离.它是球面上 面距离 这两点之间最短连线 的长度,右图的劣弧
AB 的长度就是A、B

两点的球面距离.飞 机、轮船都是尽可能以大圆弧为两点间的航线航行的.

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动脑思考 探索新知

球的表面积与体积的计算公式如下:

S球 = 4p R 2
4 V球 = p R3 3
其中,R为球的半径.

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巩固知识 典型例题
例5 球的大圆周长是80 cm,求这个球的表面积与体积各为多 少?(保留4个有效数字) 解 设球的半径为R,则大圆周长为 2πR 因为 所以

2πR = 80
R= 40 π

40 2 6400 ) = ≈ 2.037 × 103 cm 2 p p 4 4 40 256000 V球 = p R3 = p ( )3 = ≈ 8.646 × 103 cm3 3 3 p 3p 2 3 2 3 3 即这个球的表面积约为 2.037 × 10 cm ,体积约为 8.646 × 10 cm S球 = 4p R 2 = 4p (

(

)

(

)

(

)

(

)

9.5 柱、锥、球及简单组合体

运用知识 强化练习
1.用长为

6p m,宽为 2 m的薄铁片卷成圆柱形水桶的侧面,铁片

的宽度作为水桶的高.求这个水桶的容积(保留4个有效数字).

2.已知圆锥的底面半径为 2 cm,高为 2 cm,求这个圆锥的体积(保 留4个有效数字).

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巩固知识 典型例题
例6 一个金属屋分为上、下两部分,如图所示,下部分是一个柱体,高 为2 m,底面为正方形,边长为5 m,上部分是一个锥体,它的底面与柱体的底 面相同,高为3 m,金属屋的体积、屋顶的侧面积各为多少(精确到0.01m2) ? 解 金属顶的体积为

V = V正四棱柱 + V正四棱锥
1 = 52 × 2 + × 52 × 3 3 = 50 + 25
=75(m3). 金属屋顶的侧面积为
S= 1 × 5 × 4 × 2.52 + 32 2

≈39.05 (m2).

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巩固知识 典型例题
例 7 如图所示,学生小王设计的邮筒是由直径为0.6 m的半球与底面直 径为0.6 m,高为1 m的圆柱组合成的几何体.求邮筒的表面积(不含其底部, 且投信口略计,精确到0.01m2) 解 邮筒顶部半球面的面积为

S半球面

1 = × 4π × (0.3)2 ≈ 0.565 m 2 2

( )

邮筒下部圆柱的侧面积为

S侧面 = 2π × 0.3 ≈ 1.855 m2
所以邮筒的表面积约为 0.565+1.885=2.45(m2).

( )
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运用知识 强化练习
1.如图所示,混凝土桥桩是由正四棱柱与正四棱锥组合而成的几何体, 已知正四棱柱的底面边长为5 m,高为10 m,正四棱锥的高为4 m.求这根桥 桩约需多少混凝土(精确到0.01 t)?(混凝土的密度为2.25 t/m3)

2.如图所示,一个铸铁零件,是由半个圆柱与一个正四棱柱组合成的 几何体,圆柱的底面直径与高均为2 cm,正四棱柱底面边长为2 cm、侧棱为 3 cm.求该零件的重量(铁的比重约7.4 g/cm3).(精确到0.1 g)

9.5 柱、锥、球及简单组合体

理论升华 整体建构
圆柱、圆锥的全面积、体积公式? 圆柱、圆锥的全面积、体积公式?

S圆柱全 = 2p r (h + r )

V圆柱 = p r 2 h

S圆锥全 = p r (l + r )

V圆锥

1 2 = pr h 3
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自我反思 目标检测
学习效果 学习行为 学习方法

9.5 柱、锥、球及简单组合体

自我反思 目标检测

已知圆锥的底面半径为 2 cm,高为 2 cm,求这个圆锥的体积(保留4个有效数字).

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作 业

书面作业:教材习题9.5 A组 必做) 书面作业:教材习题9.5 A组(必做)
教材习题9.5 B组(选做) 教材习题9.5 B组 选做)

实践调查:对生活中的圆柱、 实践调查:对生活中的圆柱、圆
锥、球的实体进行观察

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