贵州省铜仁市第一中学2019届高三数学上学期第二次月考试题理(含解析)

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铜仁一中 2019 届高三第二次模拟考试试题

理科数学

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一

项是符合题目要求的.

1.已知集合



,则

()

A.

B.

C.

D.

【答案】A

【解析】

试题分析:解一元二次不等式

,解得 或 ,∴

或,

又∵

,∴

,即

.

考点:1.解一元二次不等式;2.集合的交集.

2.若复数

,则 ( )

A.

B.

C.

D.

【答案】B 【解析】 【分析】 根据复数的除法法则化简,求出 z 的模,就是其共轭复数的模.

【详解】因为

,所以

,故选 B.

【点睛】本题主要考查了复数的运算法则,复数的模及共轭复数的概念,属于中档题.

3.方程

表示双曲线的一个充分不必要条件是( )

A. 【答案】A 【解析】 由题意知, 选 A. 4.若函数

B.

C.

D.

,则 C,D 均不正确,而 B 为充要条件,不合题意,故

图象上点

处的切线平行于直线

,则 ( )

-1-

A. ﹣1 B. 0 C.

D. 1

【答案】D

【解析】

【分析】

根据导数的几何意义知,

,即可求出 a.

【详解】因为

,切线与直线

平行,所以

,解得

【点睛】本题主要考查了导数的求导法则,导数的几何意义,属于中档题.

,故选 D.

5.已知实数 x,y 满足

,则

的取值范围为( )

A. [2,5] B.

C.

D.

【答案】A 【解析】 【分析】 先根据约束条件画出可行域,再利用几何意义求最值,只需求出直线 的取值即可. 【详解】由约束条件,画出可行域如图:

过点 A 或 B 点时,

-2-

由图象可知,当直线

过点 A 时,z 有最小值 2,当直线

过点

时,z 的

最大值为 5,所以 z 的取值范围为 ,故选 A.

【点睛】本题主要考查了简单的线性规划及利用几何意义求最值,属于中档题.

6.我国古代数学著作《孙子算经》中有如下问题:“今有方物一束,外周一匝有三十二枚,

问积几何?”设每层外周枚数为 ,如图是解决该问题的程序框图,则输出的结果为( )

-3-

A. 121 B. 81 C. 74 D. 49

【答案】B

【解析】

满足

,第一次循环:

;满足

,第二次循环:

;满



,第三次循环:

;满足

,第四次循环:



满足

,第五次循环:

。故选 B。

7.已知函数

与 轴交点为 ,则

()

A.

B.

C.

D.

【答案】D 【解析】 【分析】 由函数与 x 轴交点为

,代入可求出 m,然后直接求

即可.

【详解】因为

与 轴交点为 ,所以



,因此

,所以

,选 D.

【点睛】本题主要考查了分段函数求值,对数函数,属于中档题.

8.若点 的坐标满足

,则点 的轨迹图象大致是( )

-4-

A.

B.

C.

D.

【答案】B 【解析】 【分析】 根据所给关系式,分析 的取值范围即可通过排除法选出答案.

【详解】由

知 , 可 排 除 选 项 C,D, 又 因 为

,所以

,排除选项 A,故选 B. 【点睛】本题主要考查了函数的图象,及利用特殊点区分图象,属于中档题. 9.下列选项中,说法正确的是( )

A. 命题“



”的否定为“





,即

B. 命题“在 中,

,则

”的逆否命题为真命题

C. 若非零向量 、 满足

,则 与 共线

D. 设 是公比为 的等比数列,则“ ”是“ 为递增数列”的充分必要条件

【答案】C 【解析】 【分析】 根据命题的否定,解三角形,向量的模,数列等概念,逐一验证各选项. 【详解】对于 A,命题的否定需要把存在性量词改成全称量词,故 A 选项错误,对于 B,当

时,若存在

,则

错误,故 B 选项错误,对于 C,由

可得:

,化简得

,所以 与 共线正确,对于 D,当

负数,则数列不是递增数列,故选项 D 错误.

时,若首项是

-5-

【点睛】本题主要考查了命题的否定,解三角形,向量的模,数列等概念,属于中档题.

10.函数

的部分图象如图所示,为了得到

的图象,只需将函数

的图象

A. 向左平移 个单位长度 B. 向左平移 个单位长度

C. 向右平移 个单位长度 D. 向右平移 个单位长度

【答案】B 【解析】 【分析】 由五点作图法求出函数的表达式,再由平移变换知识得到结果.

【详解】

,



,

,

,

解得:

,所以







根据平移原则,可知函数向左平移 个单位,

故选:B. 【点睛】本题主要考查由函数 y=Asin(ω x+φ )的部分图象求解析式,函数 y=Asin(ω x+φ ) 的图象变换规律,属于基础题.

11.设 、 分别为圆

和椭圆

上的点,则 两点间的最大距离是( )

A.

B.

【答案】D

【解析】

【分析】

C.

D.

-6-

求出椭圆上的点与圆心的最大距离,加上半径,即可得出 P、Q 两点间的最大距离.

【详解】设椭圆上点 Q ,则

,因为圆

的圆心为 ,半径为 ,

所以椭圆上的点与圆心的距离





所以 P、Q 两点间的最大距离是

.

【点睛】本题主要考查了圆与椭圆,两点间的距离转化为定点圆心与椭圆上动点间的距离的

最值,属于中档题.

12.已知函数

,则使得

成立的 的取值范围是( )

A.

B.

C.

D.

【答案】C

【解析】

【分析】

函数在 R 上为偶函数,由

知当 时,

,所以函数在

上是增函

数,所以原不等式转化为



,即可求出.

【详解】因为

,所以函数为偶函数,又

知当

时, ,所以函数在

上是增函数,所以原不等式转化为





所以

,解得

,故选 C.

【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性,单调性,含绝对值的不等式,属于中档题.

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分.

13.计算

=___________.

【答案】 【解析】 原式= 14.已知

,则

的最小值为__________.

-7-

【答案】 【解析】 【分析】 根据



,且

,所以

,故

,化简后利用均值不等式即可求解.

【详解】因为



,又

,所以

,而

,经检验等号成立,

故填

.

【点睛】本题主要考查了均值不等式,考查了数学式子的变形化简,对计算能力要求较高, 属于中档题.

15.已知函数

,若函数

有 4 个零点,则实数 的取值范围是

_____________.

【答案】

【解析】 若函数

有 个零点,即方程

有 个解

与 有 个交点,记

则过原点作 的切线,切线斜率为

则实数 的取值范围是

点睛:本题主要考查的知识点是根的存在性及根的个数判断,考查了函数零点个数的问题。

本题中根据题意可知,原问题等价于

与 有 个交点,这个是解决问题的

关键,属中档题 16.设 是定义在 上以 为周期的偶函数,在区间

上是严格单调递增函数,且满足



,则不等式

的解集为_____________________

【答案】

-8-

【解析】

【分析】

根据周期性可知

,因为

对称点为 ,且



【详解】根据函数周期为 2 且为偶函数知,



,所以

,因此不等式的解为

关于 的 . ,因为

,且根据对称性知函数在 上单调递减,所以

的解为

,故填

.

【点睛】本题主要考查了函数的周期性,奇偶性,单调性,及变形推理能力,属于难题.

三、解答题

17.已知函数



(1)求函数 的最小正周期和单调递增区间;

(2)当

时,求函数 的值域.

【答案】(1) ,

;(2)

【解析】 【分析】 (1)运用两角和差公式和二倍角公式,化简整理,再由周期公式和正弦函数的单调增区间,

即可得到(2)由 x 的范围可得 的范围,再由正弦函数的图象和性质,即可得到值域.

【详解】(1)f(x)=2sinx( sinx+ cosx)=

+ sin2x=sin(2x- )+ .

函数 f(x)的最小正周期为 T=π

由- +2kπ ≤2x- ≤ +2kπ ,k∈Z,解得- +kπ ≤x≤ +kπ ,k∈Z,

所以函数 f(x)的单调递增区间是[- +kπ , +kπ ],k∈Z

(2)当 x∈[0, ]时,2x- ∈[- , ], sin(2x- )∈[- ,1],

f(x)∈[0,1+ ].所以当 x∈[0, ]时,函数 f(x)的值域为[0,1+ ]. 【点睛】本题主要考查了三角函数的化简和求值,考查二倍角公式和两角和差的正弦公式及 函数的单调性和值域,属于中档题.

-9-

18.数列 满足: ,





(1)求证:数列

是等差数列;

(2)求数列 的前 999 项和. 【答案】(1)见解析;(2) 【解析】 【分析】 (1)方程两边减 3 后,取倒数可化简得
,相加相消求和即可.

,即可证明(2)化简

【详解】(1)数列 满足: ,







所以,



即,数列

是以

为首项, 为公差的等差数列;

(2)由(1)得

,解之得:



所以,

于是, 【点睛】本题主要考查了数列递推关系、等差数列的定义通项公式、对数的运算及相加相消 求和,属于中档题.

19.已知抛物线 的顶点为原点,其焦点

到直线

的距离为 .设 为

直线 上的点,过点 作抛物线 的两条切线

,其中 为切点.

(1) 求抛物线 的方程;

(2) 当点

为直线 上的定点时,求直线 的方程;

(3) 当点 在直线 上移动时,求

的最小值.

- 10 -

【答案】(Ⅰ)

(Ⅱ)

(Ⅲ)

【解析】

试题分析:(1)设拋物线 的方程为

,利用点到直线的距离,求出 ,得到抛物线方程;

(2)对抛物线方程求导,求出切线

的斜率,用点斜式写出切线方程,化成一般式,找出共

同点,得到直线 的方程;(3)由拋物线定义可知

,联立直线与抛物线

方程,消去 ,得到一个关于 的一元二次方程,由韦达定理求得

的值,还有

,



表示成 的二次函数的形式,再求出最值.

试题解析: 解:(1)依题意,设拋物线 的方程为

,由

结合 ,

解得 ,所以拋物线 的方程为

.

(2)拋物线 的方程为

,即

,求导得 ,



(其中

)则切线

的斜率分别为



所以切线 的方程为

,即

,即



同理可得切线 的方程为



因为切线

均过点

,所以





所以

为方程

的两组解,

所以直线 的方程为

.

(3)由拋物线定义可知



联立方程

,消去 整理得

.

由一元二次方程根与系数的关系可得



所以 又点 所以

在直线 上,所以

, ,

所以当

时,

取得最小值,且取得最小值为 .

考点:1.点到直线距离公式;2.抛物线方程;3.利用导数求抛物线上某点切线的斜率;4.二 次函数求最值.

- 11 -

【方法点晴】本题利用抛物线为载体,考查了求抛物线方程,利用导数求抛物线上某点切线的

斜率等知识点,属于中档题.第一问很容易,第二问中,利用导数求抛物线上一点的切线斜率,

比用联立方程,判别式等于 的方法要好,步骤少,花的时间也少.从切线

的方程,得出直

线 的方程;第三问先用抛物线定义把

的值表示出来,联立直线 与抛物线方程,得



的值, 将

表示成 的二次函数的形式,再求出最值.

视频

20.已知函数

(1)求函数 的单调区间;

(2)若函数

的图像在点

. 处的切线的倾斜角为 ,对于任意的

在区间 上总不是单调函数,求 的取值范围;

,函数

(3)求证:

.

【答案】(1)见解析;(2)见解析;(3)见解析 【解析】 【分析】

(1)求函数导数

,分

三种情况进行讨论即可(2)由导数几

何意义可求出

,写出 , 在区间 上总不是单调函数知

在 上有解即可

(3)构造函数证明



上成立,进而可得

,即可证得结论.

【详解】(1)已知函数



当 ②当 ③当

时, 时, 时,

(2)

, 的单调递增区间是 , 的单调递增区间是 恒成立, 不具备单调性.

, 的单调递减区间是 , 的单调递减区间是





在区间 上总不是单调函数且
- 12 -

由题意知:对于任意的

所以

,解得



恒成立

.

(3)当

时,







所以, 的单调递增区间是

, 的单调递减区间是 ,

所以, 时, 取极小值 .即

,即

,即

()

所以





;;

叠乘得



. 即证.

【点睛】本题主要考查了导数的几何意义,利用导数研究函数的单调性,证明不等式,考查 学生综合运用知识解决问题的能力,属于难题.运用函数的单调性最值等构造不等式是解决证 明不等式的关键,是此类问题的核心.

21.在极坐标系中,已知圆 的极坐标方程为

,以极点为原点,极轴方向为 轴正方向,

取与极坐标系相同单位长度建立平面直角坐标系,直线 的参数方程为

.

(1)写出圆 的直角坐标方程和直线 的普通方程;

(2)已知点

,直线 与圆 交于 、 两点,求

的值.

【答案】(1)



;(2)

【解析】

【分析】

(1)根据极坐标与直角坐标的转化公式,及消参即可得出直角坐标方程和普通方程(2)将

直线方程代入圆,结合参数的几何意义,利用根与系数的关系求解.

【详解】(1)由



,化为直角坐标方程为



- 13 -

所以圆 的直角坐标方程为:

.由

( 为参数),消去参数 得



所以直线 的普通方程为

.

(2)显然直线 经过点

,将

代入

并化简得

,由韦达定理得

.

【点睛】本题主要考查了极坐标与直角坐标的转化,直线的参数方程与普通方程的转化,参

数的几何意义,属于中档题.

22.函数

,其最小值为 .

(1)求 的值;

(2)正实数 满足

,求证:

.

【答案】(1)3;(2)

【解析】

试题分析:(1)由题意,利用绝对值三角不等式求得 的最小值,即可求解 的值;

(2)根据柯西不等式,即可作出证明.

试题解析:

(1)

,当且仅当

取等,所以 的最小值

(2)根据柯西不等式,

.

- 14 -


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