湖北省宜昌市第一中学2015-2016学年高二数学3月月考试题 理

宜昌市第一中学 2016 年春季学期高二年级阶段性检测 数学(理科)试题
满分:150 分 考试时间:120 分钟 ★祝考试顺利★ 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题列出的四个选项中,选出符 合题目要求的一项. 1.已知命题 p:所有有理数都是实数,命题 q:正数的对数都是正数,则下列命题中真命题的是 A. (?p) ? q B. p ? q C. (?p) ? (?q) D. (?p) ? (?q) 2.为研究语文成绩和英语成绩之间是否具有线性相关关系,统计两 科成绩得到如图所示的散点图(两轴单位长度相同) ,用回归直 线? y ? bx ? a 近似的刻画其相关关系,根据图形,以下结论最有 可能成立的是 A.线性相关关系较强, b 的值为 1.25 B.线性相关关系较强, b 的值为 0.83 C.线性相关关系较强, b 的值为 ?0.87 D.线性相关关系太弱,无研究价值 3.若抛物线的 y ? ax 的焦点坐标为 (0,1) ,则 a 的值为
2

第 2 题图 D. 2

1 A. 4

1 B. 2

C. 1

4.在一次马拉松比赛中,35 名运动员的成绩(单位:分钟)如图所示:

若将运动员按成绩由好到差编为 1~35 号, 再用系统抽样方法从中抽取 7 人, 则其中成绩在区间

?139,151? 上的运动员人数为

A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 5.已知甲: “ x ? 2 或 y ? 3” ,乙: “ x ? y ? 5” ,则甲成立是乙成立的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 6.函数 f ( x) ?

e2 x 的导函数为 x
2x

A. f ?( x) ? 2e 7.若 (2 x ?

B. f ?( x) ?

(2 x ? 1)e2 x x2

C. f ?( x) ?

2e2 x x

D. f ?( x) ?

( x ? 1)e 2 x x2

3

1 n ) 的展开式中各项系数之和为 729 ,则该二项式的展开式中 x 2 项的系数为 x
1

D. 180 4 8.设随机变量 X ? B(n, p) ,若 X 的数学期望 E ( X ) ? 2 ,方差 D ( X ) ? ,则 P( X ? 2) ? 3 13 4 13 80 A. B. C. D. 16 243 243 243 1 9.已知焦点在 x 轴上的椭圆的离心率为 ,它的长轴长等于圆 x2 ? y 2 ? 2x ?15 ? 0 的半径,则 2 椭圆的标准方程是

A. 80

B. 120

C. 160

x2 y 2 ? ?1 A. 4 3

x2 ? y2 ? 1 B. 4

C.

x2 y 2 ? ?1 16 4

D.

x2 y 2 ? ?1 16 12

10.在《爸爸去哪儿》第二季第四期中,村长给 6 位“萌娃”布置一项搜寻空投食物的任务. 已 知: ①食物投掷地点有远、近两处;②由于 Grace 年纪尚小,所以要么不参与该项任务,但此时另 需一位小孩在大本营陪同, 要么参与搜寻近处投掷点的食物; ③所有参与搜寻任务的小孩须被 均分成两组,一组去远处,一组去近处.则不同的搜寻方案有 A. 40 B. 70 C. 80 D. 100 11.设球的半径为时间 t 的函数 R ? t ? 。 若球的体积以均匀速度 c 增长, 则球的表面积的增长速度 与球半径 A.成正比,比例系数为 C C.成反比,比例系数为 C 12.已知点 A, B 在双曲线 B. 成正比,比例系数为 2C D. 成反比,比例系数为 2C

点,则 MA?MB 的最大值为 A. ?15 B. ?9

???? ????

x2 y 2 ? ?1, 且线段 AB 经过原点, 点 M 为圆 x2 ? ( y ? 2)2 ? 1上的动 16 4
C. ?7 D. ?6

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。请将答案填在答题卡对应题号的位置上。 答错位置,书写不清,模棱两可均不得分。

1 ? 0 ,则 ? p 为 13.已知命题 p : ?m ? R , 2 m ?m?6
14.如图所示的程序框图的输出值 y ? ?1, 2? ,则输入值 x 的取值 范围为 . [

开始


输入x


x ? 0?


y ? log 2 ( x ? 1) 1 15.在区间 ? 0, 2? 上随机地取一个数 x ,则事件“ ?1 ? log( ? 1 ”发生 1 x? ) 2 2

y ? 2? x ? 1

的概率为



输出y
结束

16.已知函数 f ( x) ? f ?( ) cos x ? sin x ,则 f ( ) 的值为

?

?

4

4



第 题图 第14 11题图

2

三、解答题:本大题共 6 小题,共计 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17. (本题满分 10 分) 设 P : 方程

x2 y2 ? ? 1 表示椭圆,Q : (a ? 2) x2 ? 2(a ? 2) x ? 4 ? 0 对 3 ? a 1? a

任意实数 x 恒成立,若 P ? Q 是真命题,求实数 a 的取值范围.

18.(本题满分 12 分)某城市随机抽取一年内 100 天的空气质量指数( API )的监测数据,结 果统计如下:

API

?0,50?

?50,100? ?100,150? ?150, 200? ? 200,300?

? 300

空气质量 优 良 轻微污染 轻度污染 中度污染 重度污染 18 27 20 15 6 天数 14 (1) 若本次抽取的样本数据有30 天是在供暖季, 其中有8 天为严重污染. 根据提供的统计数据, 完成下面的2×2列联表,并判断是否有95%的把握认为“该城市本年的空气严重污染与供暖 有关”?(附: K ?
2

n(ad ? bc )2 ) (a ? b)(c ? d )(a ? c )(b ? d )
重度污染 合计

非重度污染 供暖季 非供暖季 合计

(2) 已知某企业每天的经济损失y (单

?0, 0 ? x ? 100 ? 位:元)与空气质量指数x满足 y ? ? 400, 100 ? x ? 300 ,试估计该企业一个月(按30天 ?2000, x ? 300 ?
计算)的经济损失的数学期望.

19.(本题满分 12 分)设 f ? x ? ? a ? x ? 5 ? ? 6 ln x ,其中 a ? R ,曲线 y ? f ? x ? 在点 1, f ?1?
2

?

?

处的切线与 y 轴相交于点 ? 0, 6 ? 。 (1)确定 a 的值; (2)求函数 f ? x ? 的单调区间.

3

20.(本题满分 12 分)某省 2015 年全省高中男生身高统计 调查数据显示:全省 100000 名男生的身高服从正态分 布 N (170.5,16) .现从某校高三年级男生中随机抽取 50 名 测 量 身 高 , 测 量 发 现 被 测 学 生 身 高 全 部 介 于 157.5cm 和 187.5cm 之间,将测量结果按如下方式分

成 6 组: 第一组 ?157.5,162.5? , 第二组 ?162.5,167.5? ,

??? ,第 6 组 ?182.5,187.5? ,下图是按上述分组方法得

到的频率分布直方图. (1)试评估我校高三年级男生在全省高中男生中的平均身高状况; (2)求这 50 名男生身高在 177.5cm 以上( 177.5cm )的人数; (3)在这 50 名男生身高在 177.5cm 以上(含 177.5cm )的人中任意抽取 2 人,该 2 人中身 高排名(以高到低)在全省前 130 名的人数记为 ? ,求 ? 的数学期望. (参考数据:若 ? ~ N (?, ? 2 ) , P(? ? ? ? ? ? ? ? ? ) ? 0.6826 , P(? ? 2? ? ? ? ? ? 2? ) ? 0.9544 , P(? ? 3? ? ? ? ? ? 3? ) ? 0.9974 . )

21.(本题满分 12 分)在直角坐标系中,已知点 F (0,1) ,直线 l : y ? ?1 ,点 H 是直线 l 上任意 一点,过点 H 垂直于 l 的直线交线段 FH 的中垂线于点 M .记点 M 的轨迹为曲线 ? . (1)求曲线 ? 的方程; (2)若 A, B 为曲线 ? 上异于原点的任意两点,过 A, B 分别作曲线 ? 的两条切线 l1 , l2 , l1 , l2 相交于点 P , 且与 x 轴分别交于 E , F , 设 ?PEF 与 ?OAB 的面积分别为 S1 , S2 . 试问: 是否存在实数 ? 使得 S1 ? ? S2 ?若存在,求出 ? 的值;若不存在,请说明理由.

22.(本题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? ln x ?

(1)若函数 h( x) ? f ( x) ? g ( x) 在 (0, ??) 上单调递增,求实数 a 的取值范围; (2) 当 b ? 0 时, 若 f ( x ) 与 g ( x) 的图象有两个交点 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) , 求证:x1 x2 ? 2e2 . 宜昌市第一中学 2016 年春季学期高二年级阶段性检测 数学(理科)试题参考答案 一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
4

1 , g ( x) ? ax ? b . x

答案

D

B

A

C

B

B

C

D

A

C

D

C

二、填空题 13. ?x ? R , 三、解答题

1 ? 0 或 m2 ? m ? 6 ? 0 m ?m?6
2

14. ? ? log2 3, ?1? ? ?1,3?

15.

3 4

16.1

? 3? a ? 0 ? 17.若 P 真,则 ? 1 ? a ? 0 ? ?1 ? a ? 3 且 a ? 1 ?3 ? a ? 1 ? a ? 对于 Q :当 a ? 2 时, ?4 ? 0 恒成立 ?a ? 2 ? 0 当 a ? 2 时,则 ? ? ?2 ? a ? 2 2 ? ? ? 4(a ? 2) ? 16a ? 2 ? 0 ∴ Q 真即 ?2 ? a ? 2 ∵ P ? Q 是真命题 ∴ ?1 ? a ? 2 且 a ? 1
18.(1)根据题设中的数据得到如下 2×2 列联表: 非重度污染 重度污染 供暖季 22 8 非供暖季 63 7 合计 85 15
2

3分 5分

9分 10 分

合计 30 70 100

100(22 ? 7 ? 63 ? 8) 2 ? 4.575 4 分 将 2×2 列联表中的数据代入公式、计算,得 K ? 85 ?15 ? 30 ? 70 ∵ 4.575 ? 3.841 4
∴有 95%的把握认为“该城市本年的空气严重污染与供暖有关” . (2)任选一天,设该天的经济损失为 X 元,则 6分

20 1 ? 100 5 65 13 P( X ? 400) ? P(100 ? x ? 300) ? ? 100 20 15 3 P( X ? 2000) ? P( x ? 300) ? ? 100 20 1 13 3 ? 2000 ? ? 560 . 所以 E (X) ? 0 ? ? 4000 ? 5 20 20 故该企业一个月的经济损失的数学期望为 30E (X) ? 16800 元. 6 19.(1) f ?( x) ? 2a ( x ? 5) ? 令 x ? 1 得 f (1) ? 16a , f ?(1) ? 6 ? 8a x 则曲线 y ? f ? x ? 在点 ?1, f ?1? ? 处的切线为 y ? 16a ? (6 ? 8a)( x ? 1) P( X ? 0) ? P(0 ? x ? 100) ?

10 分

12 分 2分 4分

5

由 ? 0, 6 ? 在切线上得 6 ? 16a ? 8a ? 6 ? a ? (2)由(1)知, f ? x ? ?

1 2

6分

1 2 ? x ? 5? ? 6 ln x( x ? 0) 2 6 ( x ? 2)( x ? 3) f ?? x? ? x ? 5 ? ? x x 由 f ?( x) ? 0 得 x ? 3 或 0 ? x ? 2 ;由 f ?( x) ? 0 得 2 ? x ? 3 故 f ( x ) 的单调递增区间为 (0, 2) , (3, ??) ;单调递减区间为 (2,3)

8分

12 分

20.(1)由直方图,经过计算我校高三年级男生平均身高为

x ? 160 ? 0.1 ? 165 ? 0.2 ? 170 ? 0.3 ? 175 ? 0.2 ? 180 ? 0.1 ? 185 ? 0.1 ? 171 高于全省的平均值 170.5cm . 3分 (2)由频率分布直方图知,后两组频率为 0.2 ,人数为 0.2 ? 50 ? 10 , 即这 50 名男生身高在 177.5cm 以上(含 177.5cm )的人数为 10 人. 6分 (3)? P(170.5 ? 3 ? 4 ? ? ? 170.5 ? 3 ? 4) ? 0.997 4 , 1 ? 0.9974 8分 ? P(? ? 182 .5) ? ? 0.0013 , 0.0013 ?100000 ? 130 . 2 所以,全省前 130 名的身高在 182.5cm 以上,这 50 人中 182.5cm 以上的有 5 人. 随机变量 ? 可取 0,1, 2 ,于是
1 1 C52 10 2 C5 C5 25 5 C52 10 2 , , ? ? P ( ? ? 1 ) ? ? ? P ( ? ? 2 ) ? ? ? 2 2 2 C10 45 9 C10 45 9 C10 45 9 2 5 2 ? E? ? 0 ? ? 1? ? 2 ? ? 1 . 12 分 9 9 9

P(? ? 0) ?

21.(1)由题意 MF ? MH 知,M 点的轨迹为以点 F (0,1) 为焦点, 直线 l : y ? ?1 为准线的抛物线, 所以曲线 ? 的方程为 x ? 4 y
2

4分

(2)当直线 AB 斜率不存在时显然不合题意,故设直线 AB 的方程为 y ? kx ? b

? x2 ? 4 y 2 , 联立消去 y 得 x ? 4kx ? 4b ? 0 ? ? y ? kx ? b 设 A?x1 , y1 ?B?x2 , y2 ? , x1 ? x2 ? 4k , x1.x2 ? ?4b 5分 1 2 1 曲线 ? 的方程为 y ? x , y? ? x 4 2 1 1 切线 PA : y ? x1 ? x ? x1 ? ? y1 , 切线 PB : y ? x2 ? x ? x2 ? ? y2 7分 2 2 ? ? 2y ? 2y ? ?x ?x xx ? , F? 9分 P ? 1 2 , 1 2 ? , P ? 2k , ?2b? , E ? x1 ? 1 ,0 ? x2 ? 2 ,0 ? ? ? ? 4 ? x2 ? x1 ? ? 2 ? ? ?

6

1 2 y1 2 y2 ,化简得 EF ? x2 ? x1 ? 2 x1 x2 1 1 1 S1 ? EF | y p |? x1 ? x2 x1 x2 ? | b | x1 ? x2 2 16 4 1 S 2 ? | b | x1 ? x2 2 1 所以存在 ? ? 2
线段 EF ? x2 ? x1 ? 22. (1) h( x) ? f ( x) ? g ( x) ? ln x ?

12 分

1 1 1 ? ax ? b ,则 h?( x ) ? ? 2 ? a , x x x ∵ h( x) ? f ( x) ? g ( x) 在 (0, ??) 上单调递增 1 1 ∴对 ?x ? 0 ,都有 h?( x) ? ? 2 ? a ? 0 2分 x x 1 1 1 1 即对 ?x ? 0 ,都有 a ? ? 2 ,∵ ? 2 ? 0 ,∴ a ? 0 , x x x x 故实数 a 的取值范围是 ( ??, 0] . 4分 1 1 (2)由题意知 ln x1 ? ? ax1 , ln x2 ? ? ax2 , x1 x2 x ? x2 x x ?x 两式相加得 ln x1 x2 ? 1 ? a( x1 ? x2 ) ,两式相减得 ln 2 ? 1 2 ? a( x2 ? x1 ) x1 x2 x1 x1 x2 x x ln 2 ln 2 x1 x ?x x1 1 1 ? ? a ,∴ ln x1 x2 ? 1 2 ? ( ? )( x1 ? x2 ) , 即 x2 ? x1 x1 x2 x1 x2 x2 ? x1 x1 x2 2( x1 ? x2 ) x1 ? x2 x2 即 ln x1 x2 ? 6分 ? ln , x1 x2 x2 ? x1 x1 2(t ? 1) x (t ? 1) 不妨令 0 ? x1 ? x2 , t ? 2 ? 1 ,令 F (t ) ? ln t ? t ?1 x1

2(t ? 1) (t ? 1)2 在 (1, ??) 上单调递增 ? 0 ∴ F (t ) ? ln t ? t ?1 t (t ? 1) 2(t ? 1) x 2( x2 ? x1 ) ? F (1) ? 0 则 F (t ) ? ln t ? 即 ln 2 ? t ?1 x1 x1 ? x2 2( x1 ? x2 ) x1 ? x2 x2 ? ln ? 2 ∴ ln x1 x2 ? x1 x2 x2 ? x1 x1
则 F ?(t ) ? 又 ln x1 x2 ?

9分

4 x1 x2 2( x1 ? x2 ) 4 4 ? ln x1 x2 ? ? ln x1 x2 ? ? 2 ln x1 x2 ? x1 x2 x1 x2 x1 x2 x1 x2
7

4 2 ? 2 ,即 ln x1 x2 ? x1 x2 x1 x2 2 1 2 令 G ( x) ? ln x ? , 则 x ? 0 时,G?( x) ? ? 2 x x x 2 1 2 又 ln 2e ? ? ln 2 ? 1 ? ? 0.85 ? 1 , e 2e 2 2 ∴ G( x1 x2 ) ? ln x1 x2 ? ? 1 ? ln 2e ? x1 x2
∴ 2ln x1 x2 ? 则 x1 x2 ? 2e ,即 x1 x2 ? 2e2 .

? 1,
? 0 ,∴ G ( x) 在 (0, ??) 上单调递增,

2 2e
12 分

8


相关文档

湖北省宜昌市第一中学2015-2016学年高二数学3月月考试题 文
湖北省宜昌市第一中学2015-2016学年高二物理3月月考试题
湖北省枣阳市第一中学2015-2016学年高二数学3月月考试题 理
湖北省宜昌市第一中学2015-2016学年高二数学上学期期中试题 理
湖北省宜昌市第一中学2015-2016学年高二历史3月月考试题
湖北省宜昌市第一中学2015-2016学年高二化学3月月考试题
湖北省宜昌市第一中学2015-2016学年高二地理3月月考试题
湖北宜昌市第一中学2015-2016学年高二数学上学期10月月考试题 理
湖北省宜昌一中2015-2016学年高二数学2月月考试题 文
电脑版