高中数学苏教版选修2-2学业分层测评10 微积分基本定理含解析

学业分层测评(十) (建议用时:45 分钟) [学业达标] 一、填空题 1 ?1 1.若 f(x)=x2+2? ? f(x)dx,则? f(x)dx=________. ?0 ?0 【解析】 ∵f(x)=x2+2?1f(x)dx, ? ?0 1 1f(x)dx=- . ∴? ? 3 ?0 【答案】 π - 1 3 2.? ? (cos x+1)dx=________. ?0 【01580026】 【解析】 π ∵(sin x+x)′=cos x+1, |π ∴? ? (cos x+1)dx=(sin x+x) 0 ?0 =(sin π+π)-(sin 0+0)=π. 【答案】 π 3.将曲边 y=ex,x=0,x=2,y=0 所围成的图形面积写成定积分的形式 ________. 【答案】 ?2exdx ? ?0 3 4.定积分? ? 3tdx(t 为大于 0 的常数)的几何意义是________. ?2 【答案】 由直线 y=3t,x=2,x=3,y=0 所围成的矩形的面积. 5.由曲线 y=x2-4,直线 x=0,x=4 和 x 轴围成的封闭图形的面积(如图 153)是________.(写成定积分形式) 图 153 【答案】 ?4 x2-4 dx ? ?0 ( ) 1 1 2 1 3 6. 设 a=? b=? c=? 则 a, b, c 的大小关系是________. ? x dx, ? x dx, ? x dx, ?0 ?0 ?0 1 3 ?1 2 ?1 【解析】 根据定积分的几何意义, 易知? 即 a>b>c. ? x dx<? x dx<? x dx, ?0 ?0 ?0 【答案】 a>b>c 4-4x2dx=________. 1 7.计算定积分? ? ?-1 【解析】 1 由于? ? ?-1 4-4x2dx 1 =2? ? ?-1 1 所以? ? ?-1 1-x2dx 表示单位圆的面积 π, 4-4x2dx=π. 【答案】 π 8.(2016· 河北衡水中学三模)如图 154 由曲线 y=2-x2,直线 y=x 及 x 轴所围成的封闭图形(图中的阴影部分)的面积是________. 图 154 【解析】 把阴影部分分成两部分(y 轴左侧部分和右侧部分)求面积. =2 4 2- 2 ? 2?3 3 1 1 +2- - 3 2 = 7 + . 3 6 4 3 2 7 6 【答案】 二、解答题 + 9.计算下列定积分. 1 2 (1)? ? x?x+1?dx; ?1 【解】 ?1 1 ? 1 ? ? 2 2 ? ? - (1)∵? dx=? ? dx x x+1? ? ?1x?x+1? ?1? =[ln x-ln(x+1)] | 2 1 =ln 4 3 . 19 1f(x)dx= 10.设 f(x)=ax2+bx+c(a≠0),f(1)=4,f′(1)=1,? ,求 f(x). ? 6 ?0 【解】 因为 f(1)=4,所以 a+b+c=4,① f′(x)=2ax+b, 因为 f′(1)=1,所以 2a+b=1,② ?1 ? 1 ?1f(x)dx=? ax3+ bx2+cx?| 1 ?3 ? 0 ? 2 ? ? ?0 1 1 19 = a+ b+c= ,③ 3 2 6 由①②③可得 a=-1,b=3,c=2. 所以 f(x)=-x2+3x+2. [能力提升] ? ?x2,x∈[0,1], 1.设 f(x)=? ? ?2-x,x∈?1,2], 【解析】 2 则? ? f(x)dx=________. ?0 ?2f(x)dx=?1x2dx+?2(2-x)dx ? ? ? ?0 ?0 ?1 1 = x3 3 ? |1 0+?2x- ? 5 6 ? 1 ? ? x2? 2 ? |2 1= 5 6 . 【答案】 2.(2016· 长沙高二检测)f(x)=sin x+cos x, 【解析】 π π? ? ? ? π? ? π ?? - cos + sin - ? ? ? ? ? ?- ?? = 2 2?-?-cos? 2?+sin? 2?? ? π π =sin +sin =1+1=2. 2 2 【答案】 2 lg x,x>0, ? ? 3.已知 f(x)=?x+?a3t2dt,x≤0, ? ? ? ?0 若 f(f(1))=1,则 a=__________. 【解析】 因为 f(1)=lg 1=0, a 2 3a 3 3 3 且? ? 3t dt=t |0=a -0 =a , ?0 所以 f(0)=0+a3=1,所以 a=1. 【答案】 1 4.计算:?2 (2|x|+1)dx=__________. ? ?-2 【解析】 ?2 (2|x|+1)dx=?0 (-2x+1)dx+ ? ? ? -2 ?-2 ?2(2x+1)dx=(-x2+x)|0 -2+(x2+x)|2 0 ? ?0 =-(-4-2)+(4+2)=12. 【答案】 12 x 1 2 5.已知 f(x)=? (12t+4a)dt,F(a)=? ? ? [f(x)+3a ]dx,求函数 F(a)的最小 ? -a ?0 值. 【解】 x 因为 f(x)=? (12t+4a)dt=(6t2+4at)|x -a ? ? -a =6x2+4ax-(6a2-4a2)=6x2+4ax-2a2, 1 2 2 ?1 2 F(a)=? ? [f(x)+3a ]dx=? (6x +4ax+a )dx ?0 ?0 =(2x3+2ax2+a2x)|1 0=2+2a+a2 =a2+2a+2=(a+1)2+1≥1. 所以当 a=-1 时,F(a)的最小值为 1.

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