2019衡水名师原创理科数学专题卷：专题九《数列》

2019 衡水名师原创理科数学专题卷 专题九 数列 考点 24：数列的概念与简单表示法（1,2 题，13 题,17 题） 考点 25：等差数列及其前 n 项和（3-6 题，18-21 题） 考点 26：等比数列及其前 n 项和（7,8 题，14 题,18-21 题） 考点 27：数列求和（9,10 题，18-21 题） 考点 28：数列的综合问题及其应用（11,12 题，15，16 题，22 题） 考试时间：120 分钟 满分：150 分 说明：请将选择题正确答案填写在答题卡上，主观题写在答题纸上 第 I 卷（选择题） 一、选择题 1.设数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ? n2 ? 1 , a1 ? a3 ? ? ? a15 ? ( A. B. C. D. )

124

120 128
121
中, ,设其前 项和为 ,则 ( )

2.数列

A.

B. C. D. 3.等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,且 S3 ? 6, a1 ? 4 ,则公差 d 等于( A. 1 )

5 3 C. ?2 D. 3
B. 4.等差数列 ?an ? 的公差是 2 ,若 a2 , a4 , a8 成等比数列,则 ?an ? 的前 n 项和 Sn ? ( A. n ? n ? 1? B. n ? n ? 1? )

C.

n ? n ? 1? 2 n ? n ? 1? 2

D.

5.若 ?an ? 是等差数列,首项 a1 ? 0, a4 ? a5 ? 0, a4? a5 ? 0 ,则使前 n 项和 Sn ? 0 成立的最大 自然数 n 的值为( A. 4 B. 5 C. 7 D. 8 )

6.设等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,且满足 S17 ? 0 , S18 ? 0 ,则 的项为( A. )

S S1 S 2 , ,?, 15 中最大 a1 a2 a15

S7 a7 S8 a8 S9 a9 S10 a10

B.

C.

D.

7.问题“今有女子不善织布,逐日所织的布以同数递减,初日织五尺,末一日织一尺,计织三 十日,问共织几何?”源自南北朝张邱建所著的《张邱建算经》,该问题的答案是( ) A. 90? 尺 B. 93 尺 C. 95 尺 D. 97 尺 8.数列 ?an ? 中,已知对任意自然数 n , a1 ? a2 ? a3 ? ?? an ? 2n ?1 ,则
2 2 2 等于( a12 ? a2 ? a3 ? ?? an

)

A. 2 ? 1
n

B.

1 n ? 3 ? 1? 2

C.

1 n ? 4 ? 1? 3

D.以上都不对 9.已知 ?an ? 是由正数组成的等比数列, Sn 表示 ?an ? 的前 n 项的和.若 a1 ? 3, a2 a4 ? 144 则

S10 的值是(

)

A. 511 B. 1023 C. 1533 D. 3069 10.我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题:在下雨时,用一个圆台形的天池 盆接雨水.天池盆盆口直径为二尺八寸,盆底直径为一尺二寸,盆深一尺八寸.若盆中积水深 九寸,则平地降雨量是( )寸.(注:①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积;②一 尺等于十寸) A.4 B.3 C.2 D.1 11.已知等比数列

?an? 为递增数列,若 a1 ? 0 ,且 2(an?2 ? an ) ? 3an?1 ,则数列 ?an? 的公比

q? (
A. B. C. D.

)

2或 1 2
1 2

2

?2
Sn 1 ? 的 n 的最小值 S 2 n 10
D.7

12.已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,且 a1 ? 1 , an?1 ? Sn ? 2 ,则满足 为( ) A.4 二、填空题

B.5

C.6

13.已知数列 ?an ? , a1 ? 1 , an ? 2an?1 ? 2n?1 , 则 a5 ? __________ 14.已知数列 ?an ? 满足

an ? 1 1 = ,且 a2 ? 2 ,则 a4 ? __________ an+1 ? 1 2

15.已知 an ?

n ? n ? 1? ,删除数列 ?an ? 中所有能被 2 整除的数,剩下的数从小到大排成数列 2

?bn ? ,则 b51 ? __________.

16.在数列 ?an ? 及 ?bn ? 中,

1? 2 2 2 2 n? 1 an ?1 ? an ? bn ? an ? bn , bn ?1 ? an ? bn ? an ? bn , a1 ? 1 , b1 ? 1 .设 cn ? 2 ? ? ?, ? an bn ?
则数列 ?cn ? 的前 n 项和为__________. 三、解答题 17.已知公差不为 0 的等差数列 ?an ? 的首项 a1 ? 2 ,且 a1 ? 1, a2 ? 1, a4 ? 1 成等比数列. 1.求数列 ?an ? 的通项公式; 2.设 bn ?

1 , n ? N * ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Sn . an an?1

18.已知 ?an ? 是公差为 1 的等差数列, a3 ? a7 ? 10 1.求数列 ?an ? 的通项公式; 2.设

b ? 2a ? a
n

n

n

,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn .

19.在等比数列 ?an ? 中, a2 ? 3, a5 ? 81 . 1.求 an ; 2.设 bn ? log3 an ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Sn . 20.已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,且 Sn ? 2an ? 2(n ? N * ) ,在数列 ?bn ? 中, b1 ? 1 ,点

P ? bn , bn?1 ? 在直线 x ? y ? 2 ? 0 上.
1.求数列 ?an? , ?bn? 的通项公式; 2. 记 Tn ? a1b1 ? a2b2 ??? anbn ,求 Tn .
2 21.已知各项都是正数的数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn , S n ? an ?

1 an , n ? N * . 2

1.求数列 ?an ? 的通项公式; 2.设数列 ?bn ? 满足: b1 ? 1 , bn ? bn?1 ? 2an ? n ? 2? ,数列 ?

?1? ? 的前 n 项和 Tn ,求证: b n ? ?

Tn ? 2 ;

3.若 Tn ? ? ? n ? 4? 对任意 n ? N * 恒成立,求 ? 的取值范围.

参考答案 一、选择题 1.答案：D 解析： 2.A 3.答案：C 解析：∵ S3 ?

3 ? a1 ? a3 ? ? 3a2 ? 6 2

? a2 ? 2 ? d ? a2 ? a1 ? ?2 , 故选 C
4.答案：A 解析： 5.答案：A 解析： 6.答案：C 解析： S17 ? 0 ?

17 ? a1 ? a17 ? 17 ? 2a9 ? ?0? ? 0 ? a9 ? 0 , 2 2

S18 ? 0 ?

18 ? a1 ? a18 ? 18 ? a8 ? a9 ? ?0? ?0 2 2

? a10 ? a9 ? 0 ? a10 ? 0 ,
因此

S S S S1 S ? 0 , 2 ? 0 ,? 8 ? 0 , 9 ? 0 , 10 ? 0 , a1 a8 a2 a9 a10

而 S1 ? S2 ? ? ? S9 , a1 ? a2 ? ? ? a8 ? a9 ,

S S S1 S2 ? ? ? ? 8 ? 9 ,选 C. a1 a2 a8 a9
7.答案：A 解析： 8.答案：C 解析： 9.答案：D 解析： 10.答案：B 解析： 11.答案：B

解析： 12.答案：A 解析：由 an?1 ? Sn ? 2 得 Sn?1 ? Sn ? Sn ? 2 ,即 Sn?1 ? 2 ? 2(Sn ? 2) , 又 S1 ? 2 ? a1 ? 2 ? 3 ,所以 Sn ? 2 ? 3? 2n?1 ,即 Sn ? 3? 2n?1 ? 2 ,

Sn 3 ? 2n?1 ? 2 1 所以 ? ? ,即 30 ? 2n?1 ? 20 ? 3 ? 22 n?1 ? 2 , 2 n ?1 S2 n 3 ? 2 ? 2 10
3 ? ? 2n?1 ? ? 15 ? 2n?1 ? 9 ? 0 ,令 t ? 2n ?1 ,则 3t 2 ? 15t ? 9 ? 0 ,
2

函数 h(t ) ? 3t 2 ?15t ? 9 的对称轴为 t ?

15 n ?1 ,有 t 的可能值为 1 , 2 , 4 , 8 ,..., 2 , 6

所以 h(1) ? h(2) ? h(4) ? h(8) ? ? ? h(2n?1 ) ,

h(1) ? 3 ? 15 ? 9 ? ?3 ? 0 , h(2) ? 12 ? 30 ? 9 ? ?9 ? 0 , h(4) ? 48 ? 60 ? 9 ? ?3 ? 0 , h(8) ? 192 ? 120 ? 9 ? 81 ? 0 ,
这时 n ? 4 ,所以从第四项起以后各项均满足 二、填空题 13.答案：80 解析： 14.答案：11 解析： 15.答案：5151 解析：由题意得,∵ an ?

Sn 1 ? ,故选 A. S 2 n 10

n ? n ? 1? ,∴ a1 ? 1 , a2 ? 3 , a3 ? 6 , a4 ? 10 ,?, 2

∵ an ?

n ? n ? 1? ,删除数列 ?an ? 中所有能被 2 整除的数,剩下的数从小到大排成数列 ?bn ? , 2

∴ b51 ? a101 ? 5151. 16.答案： 2
n?2

?4
2 2 2 2

解析：由 an ?1 ? an ? bn ? an ? bn , bn ?1 ? an ? bn ? an ? bn , 两式相加可得: an?1 ? bn?1 ? 2 ? an ? bn ? , 故数列 ?an ? bn ? 是以 2 为首项, 2 为公比的等比数列,得 an ? bn ? 2n ;

两式相乘可得: an ?1 ? bn ?1 ? ? an ? bn ? ? an ? bn ? 2an ? bn ,
2 2 2

?

?

故数列 ?an ? bn ? 是以 1 为首项, 2 为公比的等比数列,得 an ? bn ? 2n?1 , 故 cn ? 2 ?
n

? 1 1 ? n an ? bn ? ??2 ? ? 2n?1 , an ? bn ? an bn ?
4 ?1 ? 2n ? 1? 2 ? 2n ? 2 ? 4 .

故其前 n 项和为 Sn ? 三、解答题

17.答案：1.设数列 ?an ? 的公差为 d ,则 an ? 2 ? (n ?1)d , n ? N * . 由 a1 ? 1, a2 ? 1, a4 ? 1 成等比数列,得 (a2 ? 1)2 ? (a1 ? 1)(a4 ? 1) , 即 (3 ? d )2 ? 3(3 ? 3d ) ,得 d ? 0 (舍去)或 d ? 3 . 所以数列 ?an ? 的通项公式为 an ? 3n ?1, n ? N * . 2.因为 bn ?

1 1 1 1 1 ? ? [ ? ], an an ?1 (3n ? 1)(3n ? 2) 3 3n ? 1 3n ? 2

所以 Sn ? [ ? ] ? [ ? ] ? ... ? [ ? 解析： 18.答案：1.∵ a3 ? a7 ? 10 ∴ a1 ? 2d ? a1 ? 6d ? 10 又∵数列 ?an ? 的公差 d ? 1 ∴ a1 ? 1 ∴ an ? n 2.由 1 可得 bn ? 2n ? n ∴

1 1 1 3 2 5

1 1 1 3 5 8

? 1 1 n ]? . 3 2 3n ? 2 2(3n ? 2)

Tn ? ? 2 ? 2 ? 2 ? ??? ? 2 ? ? ?1 ? 2 ? 3 ? ??? ? n ? ?
2 3 n

2 ?1 ? 2n ? 1? 2

?

?1 ? n ? n ? 2n?1 ? 2 ? ?1 ? n ? n
2 2

解析：

19.答案：1.设 ?an ? 的公比为 q , 依题意得 {

a1q ? 3, a1 ? 1, 解得 { 4 q ? 3, a1q ? 81,

因此 an ? 3n?1 . 2.∵ bn ? log3 an ? n ?1 , b1 ? 1 ? 1 ? 0 ,

n ? b1 ? bn ? n2 ? n ? ∴数列 ?bn ? 的前 n 项和 Sn ? . 2 2
解析： 20.答案：1.由 Sn ? 2an ? 2 ,得 Sn ?1 ? 2an?1 ? 2 ? n ? 2? ,两式相减得 an ? 2an ? 2an ?1 ,即

an ? 2(n ? 2) , an?1
又 a1 ? 2a1 ? 2,? a1 ? 2 ,∴ ?an ? 是以 2 为首项,以 2 为公比的等比数列, ∴ an ? 2n .∵点 P ? bn , bn ?1 ? 在直线 x ? y ? 2 ? 0 上, ∴ bn ? bn ?1 ? 2 ? 0 ,即 bn ?1 ? bn ? 2 ,∴ ?bn ? 是以 2 为公差的等差数 列,∵ b1 ? 1 ,∴ bn ? 2n ? 1. 2.∵ Tn ? 1? 2 ? 3? 2 ? 5 ? 2 ??? ? 2n ? 3? 2
2 3 2 3 4 n ?1

? ? 2n ?1? 2n
n n ?1?

①∴ 2Tn ? 1? 2 ? 3? 2 ? 5? 2 ???? ? ? 2n ? 3? 2 ? ? 2n ?1?? 2
2 3 n n ?1 ①-②得: ?Tn ? 1? 2 ? 2 2 ? 2 ??? 2 ? ? 2n ? 1??2

②

?

?

= 2 ? 2?

22 ? 2n ? 2 ? ? 2n ? 1? 2n ?1 ? 2 ? 4?2n ? 8 ? ? 2n ? 1? 2n ?1 ? ? 3 ? 2n ??2n ?1 ? 6 1? 2
n ?1

∴ Tn ? ? 2n ? 3?? 2 解析：

?6.
1 1 a1 ,∴ a1 ? , 2 2

2 21.答案：1. n ? 1 时, a1 ? a1 ?

1 2 S n ?1 ? an an ?1 ?1 ? 2 当 n ? 2 时. { 1 2 S n ? an ? an 2

1 1 2 2 ? an ? an ? an an ? an ?1 ?1 ? 2 2

1? ? ? ? an ? an ?1 ? ? an ? an?1 ? ? ? 0 , 2? ?
1 , 2 1 1 ∴ ?an ? 是以 为首项, 为公差的等差数列, 2 2 1 ∴ an ? n . 2
∵ an ? 0 ,∴ an ? an ?1 ? 2. bn ? bn?1 ? n ,

b2 ? b1 ? 2 b ?b ? 3 ? n ? 2 ?? n ? 1? ? b ? n ? n ? 1? , ? bn ? b1 ? {3 2 n 2 2 ? bn ? bn ?1 ? n
1 2 1 ? ?1 ? ? 2? ? ?, bn n ? n ? 1? ? n n ?1 ?
∴ Tn ? 2 ?1 ?

? ?

1 1 1 1 1 ? ? ? ??? ? ? 2 2 3 n n ?1 ?

1 ? 2n ? , ? 2 ?1 ? ?? ? n ?1 ? n ?1
即 Tn ? 2 . 3.由

2n 2n ? ? ? n ? 4 ? ,得 ? ? ? n ?1 ? n ? 1?? n ? 4?

当且仅当 n ? 2 时,

2 4 n? ?5 n

2 , 4 n? ?5 n 2 2 有最大值 ,∴ ? ? . 9 9

解析：