陕西省西安市17学年高一数学下学期期末试卷(实验班,含解析)

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2016-2017 学年陕西省西安实验班高一(下)期末数学试卷

一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分) 1.已知数列 1, , , ,…, ,…,则 3 是它的( )

A.第 22 项 B.第 23 项 C.第 24 项 D.第 28 项 2.不等式 A.{x|x<﹣2} 3.△ABC 中,a= >1 的解集是( ) C.{x|x<1} D.{x|x∈R} ,则符合条件的三角形有( )

B.{x|﹣2<x<1} ,b= ,sinB=

A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.0 个 4.关于 x 的不用等式 ax+b>0 的解集为(﹣∞,1) ,则关于 x 的不等式(bx﹣a) (x+2)>0 的解集为( A. (﹣2,1) (1,+∞) 5.若 a>b>c,则一定成立的不等式是( A.a|c|>b|c| B.ab>ac ) D. ) ) B. (﹣∞,﹣2)∪(﹣1,+∞) C. (﹣2,﹣1) D. (﹣∞,﹣2)∪

C.a﹣|c|>b﹣|c|

6.若数列{an}是等比数列,则下列数列一定是等比数列的是( A.{lgan} B.{1+an} C. D.

7.如图,要测量底部不能到达的某铁塔 AB 的高度,在塔的同一侧选择 C、D 两观测点,且在 C、D 两点测得塔顶的仰角分别为 45°、30°.在水平面上测得∠BCD=120°,C、D 两地相距 600m,则铁塔 AB 的高度是( )

A.120

m

B.480m C.240

m

D.600m

-1-

8.已知无穷等差数列{an}中,它的前 n 项和 Sn,且 S7>S6,S7>S8 那么( A.{an}中 a7 最大 B.{an}中 a3 或 a4 最大 C.当 n≥8 时,an<0 D.一定有 S3=S11



9. 在△ABC 中, 角 A、 B、 C 的对边分别为 a、 b、 c 且 acosB+acosC=b+c, 则△ABC 的形状是 ( A.等边三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.直角三角形



10.等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 则 m=( A.9 ) B.10 C.20 D.38

,S2m﹣1=38,

二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分) 11.若变量 x,y 满足约束条件 大值为 . , ,则目标函数 z=x﹣2y 的最

12.已知等差数列 an 满足:a3=7,a5+a7=26,令 则数列 bn 的前 n 项和 Tn= 13.设 x,y∈R 且 x+y=2,则
+

. + 的最小值为 . .

14.一个等比数列前 n 项和为 48,前 2n 项和为 60,则前 3n 项和为 15.给出下列语句: ①若 a,b 为正实数,a≠b,则 a3+b3>a2b+ab2; ②若 a,b,m 为正实数,a<b,则 ③若 ④当 x∈ (0, ,则 a>b; ) 时, sin x+ 的最小值为 2

, 其中结论正确的是



三、解答题(本大题共 4 小题,共 40 分.解答时应写出必要的文字说明,证明过程或演算步 骤) 16.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且满足 cos A= (1)求△ABC 的面积;
-2-



?

=6.

(2)若 b+c=7,求 a 的值. 17.桑基鱼塘是某地一种独具地方特色的农业生产形式,某研究单位打算开发一个桑基鱼塘 项目,该项目准备购置一块 1800 平方米的矩形地块,中间挖成三个矩形池塘养鱼,挖出的泥 土堆在池塘四周形成基围(阴影部分所示)种植桑树,池塘周围的基围宽均为 2 米,如图, 设池塘所占总面积为 S 平方米. (Ⅰ)试用 x 表示 S; (Ⅱ)当 x 取何值时,才能使得 S 最大?并求出 S 的最大值.

18.已知函数 f(x)=x ﹣(a+1)x+1(a∈R) . (1 若关于 x 的不等式 f(x)<0 的解集是{x|m<x<2},求 a,m 的值; (2)设关于 x 的不等式 f(x)≤0 的解集是 A,集合 B={x|0≤x≤1},若 A∩B=?,求实数 a 的取值范围. 19.已知数列{an}的首项 a1=1,前 n 项和为 Sn,且 an+1=2an+1,n∈N*. (1)证明数列{an+1}是等比数列并求数列{an}的通项公式; (2)证明: .

2

-3-

2016-2017 学年陕西省西安中学实验班高一(下)期末数学试卷 参考答案与试题解析

一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分) 1.已知数列 1, , , ,…, ,…,则 3 是它的( )

A.第 22 项 B.第 23 项 C.第 24 项 D.第 28 项 【考点】81:数列的概念及简单表示法. 【分析】先化简 3 【解答】解:∵3 故选 B. = = ,进而利用通项即可求出答案. ,令 45=2n﹣1,解得 n=23.∴3 是此数列的第 23 项.

2.不等式 A.{x|x<﹣2}

>1 的解集是( B.{x|﹣2<x<1}

) C.{x|x<1} D.{x|x∈R}

【考点】7E:其他不等式的解法. 【分析】移项通分变形可化原不等式为 【解答】解: 整理可得 >1 可化为 >0,即 x+2<0, >0,即 x+2<0,易得答案. ﹣1>0,

解得 x<﹣2,解集为{x|x<﹣2} 故选:A

3.△ABC 中,a=

,b=

,sinB=

,则符合条件的三角形有(



A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.0 个 【考点】HP:正弦定理;HR:余弦定理. 【分析】根据 sinB 的值,求得 cosB 的值,进而利用余弦定理建立等式求得 c 的值,根据 c 的解得个数来判断符合条件的三角形的个数. 【解答】解:∴sinB= ,

-4-

∴cosB=±



①当 cosB=

时,cosB=

=

=



∴整理可得 c2﹣

c+2=0,求得 c=

有两个解,

②当 cosB=﹣

时,cosB=

=

=﹣



整理得 c2+ 综合可知,c=

c+2=0,求得 c= ,

<0,与 c>0 矛盾.

即这样的三角形有 2 个. 故选 B.

4.关于 x 的不用等式 ax+b>0 的解集为(﹣∞,1) ,则关于 x 的不等式(bx﹣a) (x+2)>0 的解集为( A. (﹣2,1) (1,+∞) 【考点】74:一元二次不等式的解法. 【分析】根据不等式 ax+b>0 的解集为(﹣∞,1) ,得出 a<0 且 b=﹣a>0;再把不等式(bx ﹣a) (x+2)>0 化为(x+1) (x+2)>0,求出解集即可. 【解答】解:∵关于 x 的不等式 ax+b>0 的解集为(﹣∞,1) , ∴a<0,且 b=﹣a>0; ∴关于 x 的不等式(bx﹣a) (x+2)>0 可化为 (x+1) (x+2)>0, 解得 x<﹣2 或 x>﹣1; ∴不等式(bx﹣a) (x+2)>0 的解集为(﹣∞﹣2)∪(﹣1+∞) . 故选:B. ) B. (﹣∞,﹣2)∪(﹣1,+∞) C. (﹣2,﹣1) D. (﹣∞,﹣2)∪

5.若 a>b>c,则一定成立的不等式是( A.a|c|>b|c| B.ab>ac

) D.

C.a﹣|c|>b﹣|c|

-5-

【考点】71:不等关系与不等式. 【分析】利用赋值法,排除错误选项,从而确定正确答案. 【解答】解:∵a>b>c, ∴令 a=1,b=0,c=﹣1,则 A、B、D 都错误, 故选 C.

6.若数列{an}是等比数列,则下列数列一定是等比数列的是( A.{lgan} B.{1+an} C. D.



【考点】88:等比数列的通项公式. 【分析】求出 ,在 A 中, 不一定是常数;在 B 中,

{1+an}可能有项为 0; 在 C 中, 利用等比数列的定义, 可知{ 在 D 中,当 q<0 时,数列{an}存在负项,此时 【解答】解:∵数列{an}是等比数列,∴ 无意义.

}的公比是原来公比的倒数;





A





= 定是等比数列;

=

不一定是常数, 故 A 不一

在 B 中,{1+an}可能有项为 0,故 B 不一定是等比数列; 在 C 中,利用等比数列的定义,可知{ 列; 在 D 中,当 q<0 时,数列{an}存在负项,此时 故选:C. 无意义,故 D 不符合题意. }的公比是原来公比的倒数,故 C 一定是等比数

7.如图,要测量底部不能到达的某铁塔 AB 的高度,在塔的同一侧选择 C、D 两观测点,且在 C、D 两点测得塔顶的仰角分别为 45°、30°.在水平面上测得∠BCD=120°,C、D 两地相距 600m,则铁塔 AB 的高度是( )
-6-

A.120

m

B.480m C.240

m

D.600m

【考点】HU:解三角形的实际应用. 【分析】设出 AB=x,则 BC,BD 均可用 x 表达,进而在△BCD 中,由余弦定理和 BD,BC 的值 列方程求得 x,即 AB 的长. 【解答】解:设 AB=x,则 BC=x,BD= 在 △ BCD 中 , = x, 由 余 弦 定 =﹣ 理 , 知

cos120° 求得 x=600 米, 故铁塔的高度为 600 米. 故选 D.

8.已知无穷等差数列{an}中,它的前 n 项和 Sn,且 S7>S6,S7>S8 那么( A.{an}中 a7 最大 B.{an}中 a3 或 a4 最大 C.当 n≥8 时,an<0 D.一定有 S3=S11 【考点】85:等差数列的前 n 项和.



【分析】由 S7>S6,知 a7>0,由 S7>S8,知 a8<0,从而 d<0,由此得到当 n≥8 时,an<0. 【解答】解:∵无穷等差数列{an}中,它的前 n 项和 Sn,且 S7>S6,S7>S8, ∴由 S7>S6,知 a7=S7﹣S6>0, 由 S7>S8,知 a8=S8﹣S7<0, ∴d=a8﹣a7<0, ∴当 n≥8 时,an<0. 故选:C.

9. 在△ABC 中, 角 A、 B、 C 的对边分别为 a、 b、 c 且 acosB+acosC=b+c, 则△ABC 的形状是 ( A.等边三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.直角三角形



-7-

【考点】GZ:三角形的形状判断. 【分析】可利用余弦定理将 cosB 与 cosC 化为边的关系, 【 解 答 】 解 法 1 : ∵ , ∴ acosB+acosC= + = = ,

= +c,∵b+c>0, ∴a ﹣b ﹣c +2bc=2bc, ∴a2=b2+c2, 故选 D.
2 2 2

=b

解法 2:由 acosB+acosC=b+c 可知,∠B,∠C 不可能为钝角,过点 C 向 AB 作垂线,垂足为 D, 则 acosB=BD≤BA=c,同理 acosC≤b, ∴acosB+acosC≤b+c, 又∵acosB+acosC=b+c, ∴acosB=c,acosC=b,∴∠A=90°; 故选 D.

10.等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 则 m=( A.9 ) B.10 C.20 D.38

,S2m﹣1=38,

【考点】85:等差数列的前 n 项和. 【分析】 根据等差数列的性质可知, 第 m﹣1 项与第 m+1 项的和等于第 m 项的 2 倍, 代入 am﹣1+am+1 ﹣am2=0 中,即可求出第 m 项的值,然后利用等差数列的前 n 项和的公式表示出前 2m﹣1 项的 和,利用等差数列的性质化为关于第 m 项的关系式,把第 m 项的值代入即可求出 m 的值.

-8-

【解答】解:根据等差数列的性质可得:am﹣1+am+1=2am, 则 am﹣1+am+1﹣am2=am(2﹣am)=0, 解得:am=0 或 am=2, 又 S2m﹣1= 若 am=0,显然(2m﹣1)am=38 不成立,故应有 am=2 此时 S2m﹣1=(2m﹣1)am=4m﹣2=38,解得 m=10 故选 B. =(2m﹣1)am,

二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分) 11.若变量 x,y 满足约束条件 大值为 15 . 【考点】7C:简单线性规划. 【分析】画出约束条件表示的平面区域,根据图形求出目标函数 z=x﹣2y 过点 B 时取得最大 值. 【解答】解:画出约束条件 表示的平面区域,如图所示; ,则目标函数 z=x﹣2y 的最



解得 B(3,﹣6) ;

则目标函数 z=x﹣2y 过点 B 时,
-9-

z 取得最大值为 zmax=3﹣2×(﹣6)=15. 故答案为:15.

12.已知等差数列 an 满足:a3=7,a5+a7=26,令



则数列 bn 的前 n 项和 Tn=



【考点】8E:数列的求和;84:等差数列的通项公式. 【分析】根据所给的等差数列的三个连续奇数项,得到数列的公差,写出数列的通项,构造 新数列,整理出可以应用裂项求和的形式,得到结果. 【解答】解:∵等差数列 an 满足:a3=7,a5+a7=26, ∴a3+a5+a7=33, ∴a5=11 ∴d= ∴an=2n+1, ∴ =2

∴4 = ∴ 故答案为: =

13.设 x,y∈R+且 x+y=2,则 【考点】7F:基本不等式.

+

的最小值为



【分析】利用“乘 1 法”和基本不等式的性质即可得出. 【解答】解:∵x,y∈R+且 x+y=2, ∴ + = =

- 10 -

= = ∴ + 的最小值为 . 时取等号. .

, 当 且 仅 当

故答案为:

14.一个等比数列前 n 项和为 48,前 2n 项和为 60,则前 3n 项和为 63 . 【考点】8G:等比数列的性质. 【分析】由题意可得 Sn=48,S2n=60,又 Sn,S2n﹣Sn,S3n﹣S2n 仍成等比数列,代值计算可得. 【解答】解:由题意可得 Sn=48,S2n=60, 又 Sn,S2n﹣Sn,S3n﹣S2n 仍成等比数列, ∴(S2n﹣Sn) =Sn(S3n﹣S2n) , 代入数据可得∴(60﹣48) =48(S3n﹣60) , 解得前 3n 项和 S3n=63 故答案为:63
2 2

15.给出下列语句: ①若 a,b 为正实数,a≠b,则 a +b >a b+ab ; ②若 a,b,m 为正实数,a<b,则 ③若 ④当 x∈(0, ③ . 【考点】R3:不等式的基本性质. 【分析】①,若 a,b∈R+,a≠b,∵a3+b3﹣(a2b+ab2)=(a﹣b)2(a+b)>0; ②,若 a,b,m∈R+,a<b,作差判断即可; ③不等式中 c≠0,不等式的两边同乘以 c ,判断结论即可; ④,当 x∈(0, )时,sinx∈(0.1) ,结合不等式的性质判断即可.
2 3 3 2 2

,则 a>b; )时,sin x+ 的最小值为 2 ,其中结论正确的是 ①

【解答】解:对于①,若 a,b∈R+,a≠b,

- 11 -

∵a +b ﹣(a b+ab )=(a﹣b) (a+b)>0, 故 a3+b3>a2b+ab2 正确; 对于②,若 a,b,m∈R+,a<b, 则 则 对于③,若 对于④,当 x∈(0, 若 sin x+ 则 sinx= ﹣ > = 故错; ,则 a>b,故正确; )时, 的最小值为 2 ,显然不成立,故错误, , >0,

3

3

2

2

2

故答案为:①③.

三、解答题(本大题共 4 小题,共 40 分.解答时应写出必要的文字说明,证明过程或演算步 骤) 16.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且满足 cos A= (1)求△ABC 的面积; (2)若 b+c=7,求 a 的值. 【考点】HT:三角形中的几何计算. 【分析】 (1)先求出 sin A= ,再由 ? =| |?| |?cos A= bc=6,求出 , ? =6.

bc=10,由此能求出△ABC 的面积. (2)由 bc=10,b+c=7,利用余弦定理能求出 a 的值. 【解答】解: (1)∵在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且满足 cos A= ∴A∈(0,π ) ,sin A= ∵ ? =| |?| |?cos A= = , ,

bc=6,

∴bc=10, ∴△ABC 的面积为: (2)由(1)知 bc=10,
- 12 -

bcsin A=

×10×

=4.

b+c=7, ∴ a= = = = .

17.桑基鱼塘是某地一种独具地方特色的农业生产形式,某研究单位打算开发一个桑基鱼塘 项目,该项目准备购置一块 1800 平方米的矩形地块,中间挖成三个矩形池塘养鱼,挖出的泥 土堆在池塘四周形成基围(阴影部分所示)种植桑树,池塘周围的基围宽均为 2 米,如图, 设池塘所占总面积为 S 平方米. (Ⅰ)试用 x 表示 S; (Ⅱ)当 x 取何值时,才能使得 S 最大?并求出 S 的最大值.

【考点】5D:函数模型的选择与应用. 【分析】 (1)由已知该项目占地为 1800 平方米的矩形地块,我们可得 xy=1800,结合图形及 x=3a+6,由此我们易将池塘所占面积 S 表示为变量 x 的函数. (2)要求 S 的最大值,根据 xy=1800,直接使用基本不等式,即可求最大值. 【解答】解: (1)由题可得:xy=1800,则 x=a+2a+6=3a+6,即 a= ∴S= (y﹣4) a+ (y﹣6) ×2a= (3y﹣16) a=1832﹣6x﹣ (x>0) . (2)∵16x+ ≥1440,当且仅当 16x= ,即 x=45m 时,取等号, y=1832﹣ (16x+ )

∴x=45m 时,S 取得最大值 1352,此时 y=40.

18.已知函数 f(x)=x2﹣(a+1)x+1(a∈R) . (1 若关于 x 的不等式 f(x)<0 的解集是{x|m<x<2},求 a,m 的值;
- 13 -

(2)设关于 x 的不等式 f(x)≤0 的解集是 A,集合 B={x|0≤x≤1},若 A∩B=?,求实数 a 的取值范围. 【考点】3W:二次函数的性质. 【分析】 (1)应用一元二次不等式和方程的关系结合根与系数的关系得到关于 a,m 的方程组, 求出 a,m 的值即可; (2)问题转化为 a+1<x+ 范围即可. 【解答】解: (1)∵关于 x 的不等式 f(x)<0 的解集是{x|m<x<2}, ∴对应方程 x ﹣(m+1)x+1=0 的两个实数根为 m、2, 由根与系数的关系,得 ,解得 a= ,m= ;
2

对于 x∈(0,1]恒成立(当 x=0 时,1>0 恒成立) ;求出 a 的

(2)∵关于 x 的不等式 f(x)≤0 的解集是 A, 集合 B={x|0≤x≤1},当 A∩B=φ 时,即不等式 f(x)>0 对 x∈B 恒成立; 即 x∈时,x ﹣(a+1)x+1>0 恒成立, ∴a+1<x+ ∵ 当 对于 x∈(0,1]恒成立(当 x=0 时,1>0 恒成立) ; x ∈ ( 0 , 1] 时 ,
2

∴a+1<2,即 a<1,∴实数 a 的取值范围是{a|a<1}.

19.已知数列{an}的首项 a1=1,前 n 项和为 Sn,且 an+1=2an+1,n∈N . (1)证明数列{an+1}是等比数列并求数列{an}的通项公式; (2)证明: .

*

【考点】8K:数列与不等式的综合;88:等比数列的通项公式. 【分析】 (1)由 an+1=2an+1,得 an+1+1=2(an+1) ,由 a1=1,得 a1+1=2,由此能证明数列{an+1} 是首项为 2,公比为 2 的等比数列,从而能求出数列{an}的通项公式. (2)由 数列前 n 项和公式能证明 【解答】解: (1)∵an+1=2an+1, . ,利用放缩法和等比

- 14 -

∴an+1+1=2(an+1) , 又 a1=1,a1+1=2, =2,

∴数列{an+1}是首项为 2,公比为 2 的等比数列. ∴an+1=2 ,∴数列{an}的通项公式 an=2 ﹣1, 证明: (2)∵ ∴ ,
n n







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