2015-2016高中数学 第二章 推理与证明章末小结 新人教A版选修2-2


【金版学案】 2015-2016 高中数学第二章推理与证明章末小结新人教 A 版选修 2-2 知识点一 合情推理与演绎推理 (1)归纳推理的难点是由部分结果得到一般结论,破解的方 法是充分考虑这部分结果提供的信息,从中发现一般规律,解题 的一般步骤是:①对有限的资料进行观察、分析、归纳整理;② 提出带有规律性的结论,即猜想;③检验猜想. (2)类比是从已经掌握了的事物的属性,推测正在研究的事 物的属性,是以旧有的认识为基础,类比出新的结果;类比是从 一种事物的特殊属性推测另一种事物的特殊属性; 类比的结果是 猜测性的,不一定可靠,但它却有发现的功能. 找出圆与球的相似性质, 并用圆的下列性质类比球的有关 性质. (1)圆心与弦(非直径)中点的连线垂直于弦. (2)与圆心距离相等的两弦相等. (3)圆的周长 c=πd(d 为直径). π (4)圆的面积 S= d2. 4 解析:圆与球具有下列相似性质. 1.圆是平面上到一定点的距离等于定长的所有点构成的集 合,球面是空间中到一定点的距离等于定 长的所有点构成的集 合. 2.是平面内封闭的曲线所围成的对称图形,球是空间中封 闭的曲面所围成的对称图形. 与圆的有关性质相比较,可以推测球的有关性质: 圆 球 (1)圆心与弦(非直径)中点 球心 与 截面 圆 ( 非 轴 截面 ) 的连线垂直于弦 圆心的连线垂直于截面 (2)与圆心距离相等的两条 与 球心距离相等的 两个 截 弦长相等 面圆面积相等 (3)圆的周长 c=πd 球的表面积 S=πd2 (4)圆的面积 S= π 2 d 4 球的体积 V= π 3 d 6 1 由实数构成的集合 A 满足条件:若 a∈A,a≠1,则 ∈A, 1-a 证明: (1)若 2∈A,则集合 A 必有另外两个元素,并求出这两个元 素; (2)非空集合 A 中至少有三个不同元素. 1 分析: 从 集合中的元素 满 足的 条 件“若 a∈A, 则 ∈ a-1 A(a≠1)”出发;当 a=2 时,依次进行检验,即可得证. 1 证明:(1)∵a∈A,a≠1,则 ∈A. a-1 1 ∴2∈A 时,有 =-1∈A. 1-2 1 1 由于-1≠1,有 = ∈A. 1-(-1) 2 1 1 由于 ≠1,有 =2∈A. 2 1 1- 2 1 如此循环可知集合 A 中的另外两个元素为 ,-1. 2 1 (2)∵集合 A 非空,故存在 a∈A,a≠1,有 ∈A, 1-a 1 1 ∴ ∈A 且 ≠1, 1-a 1-a 1 a-1 即 a≠0 时,有 = ∈A,即如此循环出现三个数 1 a 1- 1-a 1 a-1 1 a, , ∈A.若 a= ,则 a2-a+1=0,方程无实根. 1-a a 1-a 1 a-1 若= = ,则 a2-a+1=0,方程无实根. 1-a a a-1 ,则 a2-a+1=0,方程无实根. a 1 a-1 ∴a , , 互不相等,故集合 A 中至少有三个不同元 1-a a 素. 知识点二 综合法与分析法 分析法和综合法是对立统一的两种方法, 在使用这两种方法 解题是,一般步骤是: (1)分析条件和结论之间的联系和区别,选择解题方向. (2)确定恰当的解题方法,若能够结合题设条件,通过相关 的公理、定理、公式、结论推得所求结果,则用综合法,若从条 件出发,应用相关的公理、定理、公式、结论难以推得所求结果, 则可以考虑使用分析法. (3)解题反思,回顾解题过程,对所得结果和解题步骤进行 检查,确保解题的严谨性和完备性. 1 1 1 设 a>0,b>0,a+b=

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