2015-2016高中数学 第二章 推理与证明章末小结 新人教A版选修2-2

【金版学案】 2015-2016 高中数学第二章推理与证明章末小结新人教 A 版选修 2-2 知识点一 合情推理与演绎推理 (1)归纳推理的难点是由部分结果得到一般结论,破解的方 法是充分考虑这部分结果提供的信息,从中发现一般规律,解题 的一般步骤是:①对有限的资料进行观察、分析、归纳整理;② 提出带有规律性的结论,即猜想;③检验猜想. (2)类比是从已经掌握了的事物的属性,推测正在研究的事 物的属性,是以旧有的认识为基础,类比出新的结果;类比是从 一种事物的特殊属性推测另一种事物的特殊属性; 类比的结果是 猜测性的,不一定可靠,但它却有发现的功能. 找出圆与球的相似性质, 并用圆的下列性质类比球的有关 性质. (1)圆心与弦(非直径)中点的连线垂直于弦. (2)与圆心距离相等的两弦相等. (3)圆的周长 c=πd(d 为直径). π (4)圆的面积 S= d2. 4 解析:圆与球具有下列相似性质. 1.圆是平面上到一定点的距离等于定长的所有点构成的集 合,球面是空间中到一定点的距离等于定 长的所有点构成的集 合. 2.是平面内封闭的曲线所围成的对称图形,球是空间中封 闭的曲面所围成的对称图形. 与圆的有关性质相比较,可以推测球的有关性质: 圆 球 (1)圆心与弦(非直径)中点 球心 与 截面 圆 ( 非 轴 截面 ) 的连线垂直于弦 圆心的连线垂直于截面 (2)与圆心距离相等的两条 与 球心距离相等的 两个 截 弦长相等 面圆面积相等 (3)圆的周长 c=πd 球的表面积 S=πd2 (4)圆的面积 S= π 2 d 4 球的体积 V= π 3 d 6 1 由实数构成的集合 A 满足条件:若 a∈A,a≠1,则 ∈A, 1-a 证明: (1)若 2∈A,则集合 A 必有另外两个元素,并求出这两个元 素; (2)非空集合 A 中至少有三个不同元素. 1 分析: 从 集合中的元素 满 足的 条 件“若 a∈A, 则 ∈ a-1 A(a≠1)”出发;当 a=2 时,依次进行检验,即可得证. 1 证明:(1)∵a∈A,a≠1,则 ∈A. a-1 1 ∴2∈A 时,有 =-1∈A. 1-2 1 1 由于-1≠1,有 = ∈A. 1-(-1) 2 1 1 由于 ≠1,有 =2∈A. 2 1 1- 2 1 如此循环可知集合 A 中的另外两个元素为 ,-1. 2 1 (2)∵集合 A 非空,故存在 a∈A,a≠1,有 ∈A, 1-a 1 1 ∴ ∈A 且 ≠1, 1-a 1-a 1 a-1 即 a≠0 时,有 = ∈A,即如此循环出现三个数 1 a 1- 1-a 1 a-1 1 a, , ∈A.若 a= ,则 a2-a+1=0,方程无实根. 1-a a 1-a 1 a-1 若= = ,则 a2-a+1=0,方程无实根. 1-a a a-1 ,则 a2-a+1=0,方程无实根. a 1 a-1 ∴a , , 互不相等,故集合 A 中至少有三个不同元 1-a a 素. 知识点二 综合法与分析法 分析法和综合法是对立统一的两种方法, 在使用这两种方法 解题是,一般步骤是: (1)分析条件和结论之间的联系和区别,选择解题方向. (2)确定恰当的解题方法,若能够结合题设条件,通过相关 的公理、定理、公式、结论推得所求结果,则用综合法,若从条 件出发,应用相关的公理、定理、公式、结论难以推得所求结果, 则可以考虑使用分析法. (3)解题反思,回顾解题过程,对所得结果和解题步骤进行 检查,确保解题的严谨性和完备性. 1 1 1 设 a>0,b>0,a+b=1,求证: + + ≥8. a b ab 证明:方法一 综合法 因为 a>0,b>0,a+b=1, 1 1 1 所以 1=a+b≥2 ab, ab≤ ,ab≤ ,所以 ≥4, 2 4 ab ?1 1? 1 1 b a ? + 又 + =(a+b)? = 2 + + ≥4, ?a b? a b a b ? ? 1 1 1 1 所以 + + ≥8(当且仅当 a=b= 时等号成立). a b ab 2 方法二 分析法 1 1 1 因为 a>0,b>0,a+b=1,要证 + + ≥8. a b ab ?1 1? a+b ? 只要证? ?a+b?+ ab ≥8, ? ? ?1 1? ?1 1? ? ? ? 只要证? ?a+b?+?b+a?≥8, ? ? ? ? 1 1 即证 + ≥4. a b 若 a= a+b a+b + ≥4. a b b a 即证 + ≥ 2 , a b 也就是证 b a 由基本不等式可知,当 a>0,b>0 时, + ≥2 成立, a b 所以原不等式成立. 知识点三 反证法 反 证 法的理 论基础 是互为 逆否命题 的等价性,从逻辑 角度 看,命题“若 p,则 q”的否定是“若 p,则?q”,由此进行推 理,如果发生矛盾,那么就说明“若 p,则?q”为假,从而可以 导出“若 p,则 q”为真,从而达到证明的目的.反证法反映了 “正难则反”的解题思想. 一般以下题型用反证法: ①当“结论”的反面比“结论”本 身更简单、更具体、更明确;②否定性命题、唯一性命题,存在 性命题、“至多”“至少”型命题;③有的肯定形式命题,由于 已知或结论涉及无限个元素,用直接证明比较困难,往往用反证 法.用反证法证明不等式要把握三点:①必须先否定结论,即肯 定结论的反面;②必须从否定结论进行推理,即应把结论的反面 作为条件,且必须依据这一条件进行推证;③推导出的矛盾可能 多种多样,有的与已知矛盾,有的与假设矛盾,有的与已知事实 矛盾等,但是推导出的矛盾必须是明显的. 已知直线 ax-y=1 与曲线 x2-2y2=1 相交于 P,Q 两点, 证明:不存在实数 a,使得以 PQ 为直径的圆经过坐标原点 O. 证明:假设存在实数 a,使得以 PQ 为直径的圆经过坐标原 点 O,则 OP⊥OQ. y 1 y2 设 P(x1,y1),Q(x2,y2),则 · =-1, x 1 x

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