重庆市三峡名校联盟2014届高三12月联考数学理试题 Word版含答案

重庆市三峡名校联盟 2014 届高三 12 月联考数学理试题
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分 150 分，考试时间 120 分钟.

第 I 卷（选择题

共 50 分）

一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分.在每小题给出的四个备 选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知集合 M ? ?0,1,2?, N ? ｛x｜x=2a, a ? M ｝ ，则集合 M ? N ? 1 A． ?0? B． ?0,1? C． ? ,2? D． ?0,2? 2．直线 x ? y ? 1 ? 0 与圆 ( x ? 1)2 ? y 2 ? 2 的位置关系是 A.相离 B.相切 C.相交且过圆心 D.相交但不过圆心 2 3．曲线 y ? x 在点 P(1,1) 处的切线方程为 A. y ? 2 x B. y ? 2 x ? 1 C. y ? 2 x ? 1 D. y ? ?2 x 2 4．若复数 m(m ? 2) ? (m ? 3m ? 2)i 是纯虚数，则实数 m 的值为 A. 0 或 2 B. 2 C. 0 D. 1 或 2 5. 函数 f ? x ? ? lg x与g ? x ? ? 7 ? 2 x 图象交点的横坐标所在区间是
A． （1，2） 6．已知 p :

?

4

?a?

?
2

B． （2，3）

C． （3，4）

D． （1，5）

， q : f ( x) ? log tan a x 在 (0,??) 内是增函数，则 p 是 q 的

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．设数列{an}是公差不为零的等差数列，它的前 n 项和为 Sn，且 S1 S2、S4 成等比数列，则

a4 等于 a1
A.3 B．4 C．6 D.7

8. 在 ?ABC 中,角 A 、 B 、 C 的对边分别为 a 、 b 、 c ,且

sin 2 A ? sin B a ? b ? ,则 sin C c

角 A 的大小为 ? ? ? 2? A. B. C. D. 6 4 3 3 2 2 ? 9. 已知 a, b ? R ，直线 ax ? by ? 6 平分圆 x ? y ? 2 x ? 4 y ? m ? 0 的周长，则
2a ? b ? a ? 5b 的最大值为
10．定义域为 ?a, b ? 的函数 y ? f (x) 图象上两点 A(a, f (a)), B(b, f (b)), M ( x, y) 是 A．6 B．4 C．3 D． 3

y ? f (x) 图象上任意一点，其中 x ? ?a ? (1 ? ? )b, ? ? ?0,1? .已知向量

ON ? ? OA ? (1 ? ? )OB ，若不等式 MN ? k 对任意 ? ? ?0,1? 恒成立，则称函数 f (x) 在

?a, b? 上“k 阶线性近似”．若函数 y ? x ? 1 在 [1, 3 ]上“k 阶线性近似”，则实数的 k 取值范围
x
为 A． ?0,??? B． ?

?1 ? ,?? ? ?12 ?

C． ê -

轹 4 ê3 ?

2 3, + 3

÷ ÷ ÷ ?

D． ê +

轹 2 4 3, + ê3 3 ?

÷ ÷ ÷ ?

第Ⅱ卷(非选择题，共 100 分)
二．填空题：本大题共 6 小题，考生作答 5 小题，每小题 5 分，共 25 分．把答

案填写在答题卡相应位置上． x2 y 2 11．已知双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的一条渐近线方程为 x ? 2 y ? 0, 则椭圆 a b 2 2 x y ? 2 ? 1的离心率 e ? _________ 2 a b
12.观察下列不等式 1 3 1＋ 2< ， 2 2 1 1 5 1＋ 2＋ 2< ， 2 3 3 1 1 1 7 1＋ 2＋ 2＋ 2< ， 2 3 4 4 …… 照此规律，第五个不等式为______________. ．．． 13.知幂函数 y ? x
1 n? 3

(n ? N ? ) 的定义域为 (0, ?? ) ，且单调递减，则 n ? __________.

考生注意：14、15、16 为选做题，请从中任选两题作答 O ，若三题全做，则按 前两题给分．
14． （几何证明选讲选做题）如图所示，AB 是半径等于 3 的圆 O 的直径，CD 是圆 O 的弦，BA，DC 的延长线交于点 P.若 PA =4，PC =5，则 ． ? CBD= 15． （坐标系与参数方程选做题）极坐标系下，直线 ? cos( ? ? 与圆 ? ?

?

4

)? 2

2 的公共点个数是________．
.

16. （不等式选讲选做题） 已知函数 f ( x) ? log 2 ( x ? 1 ? x ? 2 ? m) ． 若 关于 x 的不等式 f ( x) ? 1 的解集是 R ，则 m 的取值范围是

三、解答题：本大题 6 个小题，共 75 分．解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤．
17． （本小题满分 13 分） 已知函数 f ( x) ? ln x ? x ? ax.
2

（1）当 a ? ?3时, 求函数y ? f ( x) 的极值点； （2）当 a ? ?4时, 求方程f ( x) ? x ? 0在(1, ??) 上的根的个数。
2

18.（本小题满分 13 分）

在等差数列 ?a n ? 中， a1 ? 3 ，其前 n 项和为 S n ，等比数列 ?bn ? 的各项均为正数，

b1 ? 1 ，公比为 q ，且 b2 ? S 2 ? 12 ， q ?
（1）求 a n 与 bn ； （2）设数列 ?cn ? 满足 cn ?

S2 . b2

1 ，求 ?c n ? 的前 n 项和 Tn . Sn

19.（本小题满分 13 分） 时下，网校教学越越受到广大学生的喜爱，它已经成为学生们课外学习的一种趋势，假 设某网校的套题每日的销售量 y （单位：千套）与销售价格 x （单位：元/套）满足的关系 式y?

m 2 ? 4 ? x ? 6 ? ，其中 2 ? x ? 6 ， m 为常数.已知销售价格为 4 元/套时，每日可售 x?2

出套题 21 千套. （1）求 m 的值； （2）假设网校的员工工资、办公等所有开销折合为每套题 2 元（只考虑销售出的套数） ，试 确定销售价格 x 的值，使网校每日销售套题所获得的利润最大.（保留 1 位小数）

20． （本小题满分 12 分） 且 m / / n ．求： （1）求角 A 的值； （2）求 sin B ? sin C 的取值范围．

??

在 ?ABC 中，角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ， m ? (2a,1), n ? (2b ? c,cos C ) ，

??

?

?

21． （本小题满分 12 分） 已知椭圆 C :

x2 y2 1 3 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ， Q(1, ) 在椭圆 C 上，A，B 为椭圆 C 2 2 2 a b

的左、右顶点． (1)求椭圆 C 的方程： (2)若 P 是椭圆上异于 A，B 的动点，连结 AP，PB 并延长，分别与右准线 l 相交于 M1，M2. 问是否存在 x 轴上定点 D，使得以 M1M2 为直径的圆恒过点 D?若存在，求点 D 的坐标：若不 存在，说明理由．

22. （本小题满分 12 分） 已知直角 ?ABC 的三边长 a, b, c ,满足 a ? b ? c (1)已知 a, b, c 均为正整数,且 a, b, c 成等差数列,将满足条件的三角形的面积从小到大排成 一列 S1 , S 2 , S3 ,?, Sn ,且 Tn ? ? S1 ? S 2 ? S3 ? ? ? (?1) n S n ,求满足不等式 T2 n ? 6 ? 2n ?1 的所 有 n 的值; (2) 已 知 a, b, c 成 等 比 数 列 , 若 数 列 { x n } 满 足

c c 5 x n ? ( ) n ? (? ) n (n ? N ? ) , 证 明 数 列 a a { x n } 中的任意连续三项为边长均可以构成直角三角形,且 x n 是正整数.

三峡名校联盟高 2014 级 12 月联考

数学（理科）答案
一、选择题： DBBCC ADCAC 二．填空题： 3 1 1 1 1 1 11 11． 12. 1 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 < 13.1 2 2 3 4 5 6 6 14. 30? 15． 116. (??,1] 三、解答题：本大题 6 个小题，共 75 分．解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤． 1 17.解： （1） Q f ( x ) = ln x + x 2 -3 x , \ f ? x ) = + 2 x -3 ( x ……………………1 分 1 令 f ? x ) = 0 则 x = 1, x = ， ( 2 ……………………3 分 1 1 f ( x ) 在 (0, )，(1, ? )単增，在 ( ,1) 单减， + 2 2 ……………………5 分 1 f ( x ) 的极大值点 x = ，极小值点 x = 1 2 ……………………7 分
（2）当 a＝－4 时， f ( x ) + x = 0 即 ln x + 2 x 2 - 4 x = 0
2

1 4 x2 - 4 x + 1 + 4x- 4 = x x 则 g( x ) 在 (1, + ) 单调递增，又 g(1) = - 2 < 0, g(2) = ln 2 > 0 所以 g( x ) 在 (1, + ) 有唯一实数根。
设 g( x ) = ln x + 2 x - 4 x ，则 g ? x ) = (
2

0
…………10 分

18.解（1）设 ?a n ? 的公差为 d .

……………………13 分

?b2 ? S 2 ? 12, ?q ? 6 ? d ? 12， ? ? S2 6?d 因为 ? 所以 ? q? ． q? , ……………………3 分 ? ? q b2 ? ? 解得 q ? 3 或 q ? ?4 （舍） d ? 3 . ，
故 an ? 3 ? 3 ? n ? 1? ? 3n ， bn ? 3 （2）由（1）可知， S n ? 所以 cn ? 故 Tn ? ……………………5 分
n ?1

. ……………………7 分

n ? 3 ? 3n ? 2

， ……………………8 分

1 2 ? ? S n n ? 3 ? 3n ?

2?1 1 ? ? ? ?. 3 ? n n ? 1 ? ……………………10 分
2? 1 ? 2n ?1 ? ?? 3 ? n ? 1 ? 3 ? n ? 1? …………13 分

2 ?? 1 ? ? 1 1 ? 1 ?? ?1 ?? 1 ? 2 ? ? ? 2 ? 3 ? ? … ? ? n ? n ? 1 ? ? ? 3 ?? ? ? ? ? ??

19.解： （1）因为 x ? 4 时， y ? 21 ， 代入关系式 y ? 解得 m ? 10 .

m m 2 ? 4 ? x ? 6 ? ，得 ? 16 ? 21 ， x?2 2

……………………6 分

（2）由（1）可知，套题每日的销售量 y ? 所以每日销售套题所获得的利润

10 2 ? 4 ? x ? 6? ， x?2

2? 2 ? 10 f ( x) ? ? x ? 2 ? ? ? 4 ? x ? 6 ? ? ? 10 ? 4 ? x ? 6 ? ? x ? 2 ? ? 4 x 3 ? 56 x 2 ? 240 x ? 278 ? 2 ? x ? 6 ? ?x?2 ?

……………………8 分 ，从而 f ' ? x ? ? 12 x 2 ? 112 x ? 240 ? 4 ? 3x ? 10 ?? x ? 6 ?? 2 ? x ? 6 ? . 令 f ' ? x ? ? 0 ，得 x ?

10 ? 10 ? ? 10 ? ' ,且在 ? 2, ? 上, f ( x) ? 0 ，函数 f (x) 单调递增；在 ? , 6 ? 上， 3 ? 3? ? 3 ? ' f ( x) ? 0 ，函数 f (x) 单调递减，
……………………10 分

10 是函数 f (x) 在 ? 2, 6 ? 内的极大值点，也是最大值点， 3 10 所以当 x ? ? 3.3 时，函数 f (x) 取得最大值. 3
所以 x ? 故当销售价格为 3.3 元/套时，网校每日销售套题所获得的利润最大.

?? ? 20. 解（1）由 m / / n 得： 2a cos C ? 2b ? c ，

…………………13 分

……………………2 分 由正弦定理得 2sin A cos C ? 2sin B ? sin C ? 2sin( A ? C ) ? sin C

? 2sin A cos C ? 2cos Asin C ? sin C 1 ? 又 sin C ? 0 ? cos A ? ，从而得 A ? . 2 3 ……………………6 分 2? （2）由（1）知： B ? C ? . 3 2? 3 3 ? ? sin B ? sin C ? sin B ? sin( ? B) ? sin B ? cos B ? 3 sin( B ? ) 3 2 2 6 …10 分 2? ? 1 又0 ? B ? ，? sin( B ? ) ? ( ,1] 3 6 2 3 ? sin B ? sin C ? ( , 3] 2 ……………………13 分 1 21. 解： （1）由 e ? 得： a ? 2c ， b ? 3c ， 2 ……………………1 分
从而有： C :

x2 y2 ? 2 ? 1(c ? 0) 4c 2 3c

9 1 3 又 Q (1， ) 在椭圆 C 上，故有 2 ? 42 ? 1 ，解得 c ? 1 2 4c 3c 2 x y2 ? ? 1. 所以，椭圆 C 的方程为： 4 3 ……………………4 分 （2）设 P( x1 , y1 ) ，由（1）知： A(?2,0), B(2,0), l : x ? 4 .
则直线 AP 的方程为： y ?

y1 6 y1 6 y1 )； ( x ? 2) ，由 x ? 4 得 y ? 所以 M 1 (4, x1 ? 2 x1 ? 2 x1 ? 2

同理得： M 2 (4,

2 y1 ). x1 ? 2 ……………………6 分 假 设 存 在 点 D(t ,0) ， 使 得 以 M 1 M 2 为 直 径 的 圆 恒 过 点
?? ? ?? ? ?? ? ?? ?

D ? DM 1 ? DM 2 ? 0 ? DM 1 ? DM 2 ? 0 ，即： (4 ? t ) ?
2

12 y1
2

2

x1 ? 4

? 0.

又 P( x1 , y1 ) 在椭圆 C 上，∴ 3x1 ? 4 y1 ? 12 ∴
2 2

y1
2

2

x1 ? 4

??

3 . 4 ……………10 分

代入上式得 (4 ? t ) 2 ? 12 ? (? ) ? 0 ，解得 t ? 1 或 7.

3 4 所以，存在 D(1,0) 或 D (7,0) ，使得以 M 1 M 2 为直径的圆恒过点 D .

…………12 分

22.解(1)设 a, b, c 的公差为 d (d ? Z ) ,则 a 2 ? (a ? d )2 ? (a ? 2d )2 ? a ? 3d 设三角形的三边长为 3d ,4d ,5d ,面积 S n ? 6n 2 , ………2 分

T2 n ? ?S1 ? S2 ? S3 ? ? ? S2 n ? 6[?12 ? 22 ? 32 ? 42 ? ? ? (2n)2 ]

? 6(1 ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? ?2n) ? 12 n 2 ? 6n 1 由 T2 n ? 6 ? 2n ?1 得 n 2 ? n ? 2n , 2 n(n ? 1) 1 当 n ? 5 时, 2n ? 1 ? n ? ? ? ? 2 ? 2n ? ( n 2 ? n) ? n 2 ? n , 2 2 1 1 经检验当 n ? 2,3,4 时, n 2 ? n ? 2n ,当 n ? 1 时, n 2 ? n ? 2n 2 2 n ?1 综上所述,满足不等式 T2 n ? 6 ? 2 的所有 n 的值为 2、3、4
(2)证明因为 a, b, c 成等比数列, b ? ac .
2

……………………6 分

由于 a, b, c 为直角三角形的三边长,知 a 2 ? ac ? c 2 ,

c 1? 5 , ? a 2 ……………8 分
n n

n n ?1? 5 ? ?1? 5 ? c a ? ? ? 又 5 X n ? ? ? ? ? ? ? (n ? N ? ) ,得 5 X n ? ? ? ? ? ? ? 2 ? ?? 2 ? , ?a? ? c? ? ? ? ?

?1? 5 ? ?1? 5 ? ?1? 5 ? ? ? ? ? ? 于是 5 X n ? 5 X n ?1 ? ? ? 2 ? ?? 2 ? ?? 2 ? ? ? ? ? ? ? ?1? 5 ? ? ?? ? 2 ? ? ?
n?2

n

n

n ?1

?1? 5 ? ? ?? ? 2 ? ? ?

n ?1

?1? 5 ? ? ?? ? 2 ? ? ?

n?2

? 5 X n?2

? X n +X n ?1 ? X n ? 2 ,则有?

故数列

?

X n 中的任意连续三项为边长均可以构成直角三角形
1 1 2

?

?

Xn

? +?
2

X n ?1

? ??
2

X n?2

?.
2

?? ?? ? ? ?? ? 因为 X 1 ? 5 ?? 5 ? 1 ? ? ? 1 ? 5 ? ? =1 , X 2 ? 5 ?? 5 ? 1 ? ?? ? ?? ? ? 2 ? 5 ?? 2 ? ? 5 ?? 2 ? ?? ? ? ? ? ? ? X 3 ? X 1 ? X 2 ? 2 ? N ,由数学归纳法得：

………………10 分 2 ?1? 5 ? ? ? ?? ? 2 ? ? =1 ? ? ? ? ?

由 X n ? X n ?1 ? X n ? 2 ,同理可得 X n ? N ? , X n ?1 ? N ? ? X n ? 2 ? N ? , 故对于任意的 n ? N ? 都有 X n 是正整数 ……………………12 分