浙江省历年导数题整理

1.设 f '(x)是函数 f(x)的导函数,y=f '(x)的图象如右图所示,则 y=f(x)的图象最有 可能的是 y

O

1

2

x

y

y

y

y

O 1

2

x

2

O

1

2

x

1

x

O 1 2

x

(A)

(B)

(C)

(D)

2 设 f ?( x ) 是函数 f ( x) 的导函数,将 y ? f ( x) 和 y ? f ?( x) 的图象画在同一个直角 坐标系中,不可能正确的是(
y y


y y

O A.

x

O B.

x

O C.

x

O D.

x

3 设 f ( x) ?

2 x3 2 ,对任意实数 t ,记 gt ( x) ? t 3 x ? t . 3 3

(I)求函数 y ? f ( x) ? gt ( x) 的单调区间; (II)求证: (ⅰ )当 x ? 0 时, f ( x) g f ( x) ≥ gt ( x) 对任意正实数 t 成立; (ⅱ )有且仅有一个 正实数 x0 ,使得 g x ( x0 ) ≥ gt ( x0 ) 对任意正实数 t 成立.

4 已知 a 是实数,函数 ?( x) ? x ( x ? a) 。 (Ⅰ)求函数 ?( x) 的单调区间; (Ⅱ)设 g (a) 为 ?( x) 在区间 ?0,2? 上的最小值。 (i) 写出 g (a) 的表达式; (ii)求 a 的取值范围,使得 ? 6 ? g (a) ? ?2

3 2 2 2 2 5 已知函数 f ( x) ? x ? (k ? k ? 1) x ? 5x ? 2 , g ( x) ? k x ? kx ? 1 ,其中 k ? R .

(I) 设函数 p( x) ? f ( x) ? g ( x) . 若 p( x) 在区间 (0,3) 上不单调, 求 k 的取值范围;

? g ( x), x ? 0, q ( x) ? ? ? f ( x), x ? 0. (II)设函数
惟一

是否存在 k ,对任意给定的非零实数

x1 ,存在

? ? 的非零实数 x2 ( x2 ? x1 ) ,使得 q ( x2 ) ? q ( x1 ) 成立?若存在,求 k 的值;若不存
在,请说明理由.

6 已知 a 是给定的实常数,设函数 f ( x) ? ( x ? a)2 ( x ? b)e2 , b ? R ,

x ? a 是 f ( x) 的一个极大值点. (Ⅰ)求 b 的取值范围;
(Ⅱ)设 x1 , x2 , x3 是 f ( x) 的 3 个极值点,问是否存在实数 b ,可找到 x4 ? R ,使得

x1, x2 , x3 , x4
的某种排列 xi1 , xi2 , xi3 , xi4 (其中 ?i1, i2 , i3 , i4? = ?1,2,3,4? )依次成等差数列?若存在,求 所有的 b 及相应的 x4 ;若不存在,说明理由.

7 设函数 f ( x) = ( x ? a)2 ln x , a ∈R (Ⅰ)若 x = e 为 y ? f ( x) 的极值点,求实数 a ; (Ⅱ)求实数 a 的取值范围,使得对任意的 x ∈(0,3 e ],恒有 f ( x) ≤4 e2 成立.

8. 若将函数 f ? x ? ? x5 表示为
f ? x ? ? a0 ? a1 ?1 ? x ? ? a2 ?1 ? x ? ?
2

? a5 ?1 ? x ?

5

其中 a 0 , a1 , a 2 ,…, a 5 为实数,则 a 3 =______________.

9 已知 a>0,b ? R,函数 f ? x ? ? 4ax3 ? 2bx ? a ? b . (Ⅰ)证明:当 0≤x≤1 时, (ⅰ)函数 f ? x ? 的最大值为|2a-b|﹢a;(ⅱ) f ? x ? +|2a-b|﹢a≥0; (Ⅱ) 若﹣1≤ f ? x ? ≤1 对 x ? [0,1]恒成立,求 a+b 的取值范围.

10 已知函数 f (x)=x3+ (1-a)x2-3ax+1,a>0. (Ⅰ ) 证明:对于正数 a,存在正数 p,使得当 x∈ [0,p]时,有-1≤f (x)≤1; (Ⅱ ) 设(Ⅰ )中的 p 的最大值为 g(a),求 g(a)的最大值.

3 2

11. 已知 a 为给定的正实数,m 为实数,函数 f (x)=ax3-3(m+a)x2+12mx+1. (Ⅰ) 若 f (x)在(0,3)上无极值点,求 m 的值; (Ⅱ) 若存在 x0∈(0,3),使得 f (x0)是 f (x)在[0,3]上的最值,求 m 的取值范 围.


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