圆锥曲线真题

1. 已 知 椭 圆 E:
M (1, 2 ). 2

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的 一 个 焦 点 F2 (1, 0) , 且 该 椭 圆 过 定 点 a 2 b2

(1)求椭圆 E 的标准方程;

???? ? ???? ? (2) 设点 Q( 2, 0),过点 F2 作直线 l 家教椭圆与 A, B 两点,且 F2 A ? ? F2 B, 若

? ?[?2, ?1] ,以 QA, QB 为邻边做平行四边形 QACB ,求对角线 QC 长度的最
小值.

2. 已知 F1 , F2 为椭圆 M:
过定点 (1,
2 3 ). 3

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左右焦点, F1 (?1,0) ,且椭圆 M a 2 b2

(1)求椭圆 M 的标准方程; (2)过点 F1 , F2 分别作直线 l1 , l2 , 直线 l1 交椭圆于 B, D 两点, 直线 l2 交椭圆于 A, C 两点,且 l1 ? l2 ,若四边形 ABCD 的面积为 3. 已知椭圆 C1 :
96 ,求直线 l1 的方程。 25

x2 y 2 x2 y 2 与双曲线 : C ? ? 1( a ? b ? 0) ? ? 1(a2 ? 0, b2 ? 0) 有 2 1 1 a12 b12 a2 2 b2 2

相同的焦点 F1 , F2 ,点 P 是两曲线的一个公共点, e1 , e2 是两曲线的离心率,若

PF1 ? PF2 ,则 4e12 ? e22 的最小值为(

)A.

5 2

B. 4

C.

9 2

D. 9

4.已知圆 F1 : ( x ? 1)2 ? y 2 ? 1, 圆 F2 : ( x ?1)2 ? y 2 ? 25, 动圆 P 与圆 F1 外切并且与圆 F2 内切,动圆的圆心 P 的轨迹为曲线 C . (1) 求曲线 C 的方程; (2) 若曲线 C 与 x 轴的交点为 A1, A2 ,点 M 是曲线 C 上异于 A1, A2 的点,直线 A1M 与

A2 M 的斜率分别为 k1 , k2 ,求 k1k2 的值;
(3) 过点 Q(2, 0)作直线 l 与曲线 C 交于 A, B 两点 . 在曲线 C 上是否存在点 N 使得

??? ? ??? ? ???? OA ? OB ? ON?若存在,请求出直线 l 的方程;若不存在,请说明理由.
5. 已 知 点 F 是 抛 物 线 y 2 ? 4x 的 焦 点 , 点 A, B 在 该 抛 物 线 上 且 位 于 x 轴 的 两 侧 ,

OA ? OB ( O 为坐标原点),则 ?AOB 与 ?AOF 面积之和的最小值为

(

)

A. 16

B. 8 3

C. 8 5

D. 18

6. 已知 F1 , F2 为椭圆和双曲线的公共焦点,P 是他们的一个公共点,且 ?F1 PF2 ? 则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为 A.
4 3 3

?
3 )



(

B.

2 3 3

C. 3

D. 2

x2 y 2 7.已知椭圆 ? : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的右焦点 F2 (c,0) ,若 b ? c 且点 (c,1) 在椭圆 ? a b

上. (I)求椭圆 ? 的标准方程;
1 (II)当 k ? 0 时,若直线 l1 : y ? k ( x ? 2), l2 : y ? ? ( x ? 2) 与椭圆 ? 的交点分别为 k

A, B 与 C , D ,记四边形 ABCD 的面积为 S1 .

(1) 求 S1 关于 k 的表达式; (2) 若直线 l3 : 2kx ? y ? k ? 0, l4 : 2x ? ky ?1 ? 0 与圆 E : x2 ? y 2 =1 的交点分别 为 M , N 与 P, Q ,记四边形 MPNQ 的面积为 S2 .是判断 是,求出该定值;若不是,请说明理由. 8. 【14-湖南理-21】 如图 7, O 为坐标原点,椭圆 C1 :
x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? 的左右焦点分别 a 2 b2

S1 是否为定值?若 S2

x2 y 2 为 F1 , F2 , 离心率为 e1 ; 双曲线 C2 : 2 ? 2 ? 1 的左右焦点分别为 F3 , F4 , 离心率为 e2 , 已知 a b

e1e2 ?

3 ,且 F2 F4 ? 3 ? 1 . 2

(1)求 C1 , C2 的方程;

AB , M 为 AB 的中点,当直线 OM 与 C2 交于 P, Q 两 (2)过 F 1 点作 C1 的不垂直于 y 轴的弦
点时,求四边形 APBQ 面积的最小值.

9.如图,已知双曲线 Cn

x2 ? y 2 ? 1(a ? 0) 的右焦点 F ,点 A, B 分别在 C 的两条渐近线上, 2 a

AF ? x 轴, AB ? OB, BF ∥ OA ( O 为坐标原点).
(1)求双曲线 C 的方程; (2)过 C 上一点 P( x0, y0 )( y0 ? 0) 的直线 l : 线x?

x0 x ? y0 y ? 1 与直线 AF 相交于点 M ,与直 a2

3 MF 相交于点 N ,证明点 P 在 C 上移动时, 恒为定值,并 求此定值. 2 NF

10.已知两点 A(?2,0), B(2,0) ,直线 AM , BM 相交于点 M ,且这两条斜率的乘积为
3 . 4 (1)求点 M 的轨迹; ?

(2)点 M 的轨迹为 C , 曲线 C 上存在第一象限的点 P 横坐标为 1,直线 PE, PF 与圆
3 ( x ? 1) 2 ? y 2 ? r 2 (0 ? r ? ) 相切于点 E , F ,又 PE, PF 与曲线 C 的另一个焦点分别 2

为 Q, R ,求 ?OQR 面积的最大值(其中为坐标原点).

11. 在平面直角坐标系 x?y 中,已知椭圆 C :
e?

x2 y 2 ? ? 1 ( a ? b ? 0 )的离心率 a 2 b2

1 ,直线 l : x ? my ? 1 ? 0 ( m ? R )过椭圆 C 的右焦点 F ,且交椭圆 C 于 ? , 2 ? 两点. ?1? 求椭圆 C 的标准方程;

? 2 ? 已知点 D ? ?

5 ? , 0 ? ,连结 ? D ,过点 ? 作垂直于 y 轴的直线 l1 ,设直线 l1 与直线 ?2 ? ? D 交于点 ? ,试证明:点 ? 的横坐标为 4 .
1 x2 y 2 ? 3? ? 2 ?1 (a ? b ? 0) 的离心率 e ? , 且过点 ?1, ? .若点 M ( x0 , y0 ) 2 2 a b ? 2?

12.已知椭圆

x0 y0 , ) 称为点 M 的一个“椭点”. a b (1) 求椭圆的标准方程;

在椭圆上,则点 N (

(2)若直线 l : y ? kx ? m 与椭圆相交于 A、B 两点,且 A、B 两点的椭点分别为 P、Q ,以
PQ 为直径的圆经过坐标原点,试判断 ?AOB 的面积是否为定值?若为定值,求出该定值,
若不是定值,说明理由。

13. 在平面直角坐标系中,长度为 3 的线段 AB 的端点 A、B 分别在 x, y 轴上滑 动,点 M 在线段 AB 上,且 AM ? 2 MB , (1)若点 M 的轨迹为曲线 C,求其方程; (2)过点 P?0,1? 的直线 l 与曲线 C 交于不同两点 E、F,N 是曲线上不同于 E、 F 的动点,求 ?NEF 面积的最大值。


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