数列求和的七大技巧

数列求和的七大技巧
★数列在高考中的要求:
1.等差数列与等比数列是两种最基本、最重要及应用最广泛的数列,其他数列问题的 解决往往借助它们完成,或经过变形转化为等差或等比数列,或利用等差、等比数列的研究 方法。所以等差数列与等比数列的基础知识是数列中最基本、最重要也最易把握的知识。 2.数列的通项是数列最重要、最常见的表达形式,它是数列的核心。应弄清通项公式 的意义——项数 n 的函数; 理解通项公式的作用——可以用通项公式求数列的任意一项的值 及对数列进行一般性的研究。 3.数列的递推式是数列的另一种表达形式,可以是一阶线性递推、二阶线性递推、二 次函数形式递推、勾函数形式递推、与奇偶联系的递推等,是高考的热点。要注重叠加、叠 乘、迭代等解题技巧的训练。

4.数列求和的问题往往和其他知识综合在一起,综合性教强。数列求和就 显得特别重要,数列求和就需要根据数列的特点选择最适合的方法,那么必须 掌握几种常用的数列求和方法。
5.自从文科不考数学归纳法以来,数学归纳法几乎成了一个理科必考的内容。而且常 常和放缩法、函数单调性、构造法等联系在一起,能力要求较高。 6.纵观近几年的高考,每年都有求极限的题目。常以选择题、填空题的形式命题,有 时也作为某一大题的某一问出现,难度不大。 7.数列的应用极其广泛,因此尽管现在的应用题多为概率统计,但不排除考数列应用 题的可能,也有可能是数列与概率交汇。 8.数列常与函数、不等式、解析几何、立体几何、导数、三角、向量、二项式等知识 联系在一起,以它的复杂多变、综合性强、解法灵活等特征成为高考的中档题或压轴题。

一、利用常用求和公式求和
1、 等差数列求和公式: S n ?

n(a1 ? an ) n(n ? 1) ? na1 ? d 2 2

(q ? 1) ? na1 ? n 2、等比数列求和公式: S n ? ? a1 (1 ? q ) a1 ? a n q ? (q ? 1) ? 1? q ? 1? q
3、 S n ?

1 k ? n(n ? 1) ? 2 k ?1

n

4、 S n ?

?k
k ?1

n

2

1 ? n(n ? 1)(2n ? 1) 6

5、 S n ?

?k
k ?1

n

3

1 ? [ n(n ? 1)]2 2
(x≠0) , s n 数列的前 n 项和,求 s n 。 ?, an ? xn ,

[例 1] 已知数列 ? an

解:当 x=1 时, sn ? n 当 x≠1 时, ? an

? 为等比数列,公比为 x

由等比数列求和公式得 用公式)

Sn ? x ? x 2 ? x3 ? ? ? ? ? x n

(利用常



x (1 ? x n ) 1? x

【巩固练习】1:已知数列 ? an ? 的通项公式为 an ? 3n ?14 , sn 为 ? an ? 的前
项和, (1)求 s n ; (2)求 an 的前 20 项和。

n

? ?

二、错位相减法求和
这种方法是在推导等比数列的前 n 项和公式时所用的方法,这种方法主要用于求数列 {an· bn}的前 n 项和,其中{ an }、{ bn }分别是等差数列和等比数列.

[例 2] 求和: S n ? 1 ? 3x ? 5x 2 ? 7 x 3 ? ? ? ? ? (2n ? 1) x n?1 ………( x ? 0 ) 解 : 当 x=1
n?





Sn ? 1
当 x≠1 时,

?23

?1

3

?n 5

?1

1

?7

n ?1

S n ? 1 ? 3x ? 5x 2 ? 7 x 3 ? ? ? ? ? (2n ? 1) x n?1 ………………. ①
1x ? 3x2 ? 5x3 ???? ? (2n ? 3) xn?1 ? (2n ?1) xn ………②

①式两边同乘以 x 得 xSn ? (设制错位) ① - ② 得 (错位相减)

(1 ? x)S n ? 1 ? 2x ? 2x 2 ? 2x 3 ? 2x 4 ? ? ? ? ? 2x n?1 ? (2n ? 1) x n

再利用等比数列的求和公式得: (1 ? x) S n ? 1 ? 2 x ?

1 ? x n ?1 ? (2n ? 1) x n 1? x



Sn ?

(2n ? 1) x n?1 ? (2n ? 1) x n ? (1 ? x) (1 ? x) 2

【巩固练习】2:求数列 ,

2 4 6 2n , 3 ,? ? ?, n ,? ? ? 前 n 项的和. 2 2 2 2 2

三、倒序相加法求和
这是推导等差数列的前 n 项和公式时所用的方法, 就是将一个数列倒过来排列(反序) , 再把它与原数列相加,就可以得到 n 个 (a1 ? an ) .

0 1 2 n [例 3] 求证: Cn ? 3Cn ? 5Cn ? ? ? ? ? (2n ? 1)Cn ? (n ? 1)2n 0 1 2 n 证明: 设 S n ? Cn ………………………….. ① ? 3Cn ? 5Cn ? ? ? ? ? (2n ? 1)Cn

把①式右边倒转过来得
n n?1 1 0 S n ? (2n ? 1)Cn ? (2n ? 1)Cn ? ? ? ? ? 3Cn ? Cn

(反序)
m n ?m 又由 Cn 可得 ? Cn 0 1 n?1 n …………..…….. ② S n ? (2n ? 1)Cn ? (2n ? 1)Cn ? ? ? ? ? 3Cn ? Cn

① + ② 得 (反序相加) ∴

0 1 n?1 n 2S n ? (2n ? 2)(Cn ? Cn ? ? ? ? ? Cn ? Cn ) ? 2(n ? 1) ? 2n

S n ? (n ? 1) ? 2 n

【巩固练习】3:求 sin 2 1? ? sin 2 2? ? sin 2 3? ? ? ? ? ? sin 2 88? ? sin 2 89? 的值

四、分组法求和
有一类数列,既不是等差数列,也不是等比数列,若将这类数列适当拆开,可分为几个 等差、等比或常见的数列,然后分别求和,再将其合并即可.形如: ?an ? bn 中{ an }、{ bn }是等差数列、等比数列或常见的数列. [例 4] 求数列的前 n 项和: 1 ? 1,

? 的形式,其

1 1 1 ? 4, 2 ? 7,? ? ?, n ?1 ? 3n ? 2 ,… a a a 1 1 1 解:设 S n ? (1 ? 1) ? ( ? 4) ? ( 2 ? 7) ? ? ? ? ? ( n ?1 ? 3n ? 2) a a a
将其每一项拆开再重新组合得

S n ? (1 ?
(分组)

1 1 1 ? 2 ? ? ? ? ? n ?1 ) ? (1 ? 4 ? 7 ? ? ? ? ? 3n ? 2) a a a (3n ? 1)n (3n ? 1)n = 2 2
(分

Sn ? n ? 当 a=1 时,
组求和)

1 1? n a n ? (3n ? 1)n = a ? a ? (3n ? 1)n 当 a ? 1 时, S n ? 1 a ?1 2 2 1? a 1?

【巩固练习】4:求数列{n(n+1)(2n+1)}的前 n 项和.

五、裂项法求和

这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用 . 裂项法的实质是将数列中的每项(通 项)分解,然后重新组合,使之能消去一些项,最终达到求和的目的. 通项分解(裂项)如: (1) an ? f (n ? 1) ? f (n) (2)

sin 1? ? tan(n ? 1)? ? tann? ? ? cos n cos(n ? 1) (2n) 2 1 1 1 ? 1? ( ? ) (2n ? 1)(2n ? 1) 2 2n ? 1 2n ? 1

(3) a n ?

1 1 1 ? ? n(n ? 1) n n ? 1

(4) an ?

(5) an ? (6)

1 1 1 1 ? [ ? ] n(n ? 1)(n ? 2) 2 n(n ? 1) (n ? 1)(n ? 2)

an ?

n ? 2 1 2(n ? 1) ? n 1 1 1 1 ? n ? ? n ? ? , 则S n ? 1 ? n ?1 n n(n ? 1) 2 n(n ? 1) 2 n?2 (n ? 1)2 (n ? 1)2 n
1 1 1 1 ? ( ? ) ( An ? B)( An ? C ) C ? B An ? B An ? C
(9) an ?

(7) a n ?

(8)

1 n 1 = - (n ? 1)! n! (n ? 1)!

1 n ? n ?1

? n ?1 ? n

[例 5] 求数列

1 1? 2

,

1 2? 3


,? ? ?,

1 n ? n ?1


,? ? ? 的前 n 项和. 1 n ? n ?1

解 (裂项) 则 (裂项求和)

an ?

? n ?1 ? n

Sn ?

1 1? 2

?

1 2? 3

? ??? ?

1 n ? n ?1

= ( 2 ? 1) ? ( 3 ? 2 ) ? ? ? ? ? ( n ? 1 ? n ) = n ? 1 ?1

【巩固练习】5:①在数列{an}中, an ?
求数列{bn}的前 n 项的和.

1 2 n 2 ? ? ??? ? ,又 bn ? , n ?1 n ?1 n ?1 a n ? a n ?1

六、合并法求和
针对一些特殊的数列,将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质,因此,在求数列的

和时,可将这些项放在一起先求和,然后再求 Sn. [例 6] 求 cos1°+ cos2°+ cos3°+· · ·+ cos178°+ cos179°的值. 解:设 Sn= cos1°+ cos2°+ cos3°+· · ·+ cos178°+ cos179° ∵ cos(180 ? n ) ? ? cos n (找特

殊性质项) ∴Sn= (cos1°+ cos179°)+( cos2°+ cos178°)+ (cos3°+ cos177°)+· · · + + cos90° (cos89°+ cos91°) (合 并求和) = 0

【 巩 固 练 习 】 6 :

在 各 项 均 为 正 数 的 等 比 数 列 中 , 若

a5 a6 ? 9, 求 log3 a1 ? log3 a2 ? ? ? ? ? log3 a10 的值.

七、利用数列的通项求和
先根据数列的结构及特征进行分析,找出数列的通项及其特征,然后再利用数列的通项 揭示的规律来求数列的前 n 项和,是一个重要的方法. [例 7] 求 1 ? 11? 111? ? ? ? ? 111 ?? ? ?1 之和. ? ?
n个1

解:由于 111 ?? ?1 ? ?? ?
k个1

1 1 ? 999 ?? ?? ? 9 ? (10k ? 1) ? ? ? 9 9 k个1

(找通

项及特征) ∴ 1 ? 11? 111? ? ? ? ? 111 ?? ? ?1 ? ?
n个1

= (分组求和) =

1 1 1 1 1 (10 ? 1) ? (10 2 ? 1) ? (10 3 ? 1) ? ? ? ? ? (10 n ? 1) 9 9 9 9

1 1 1 (10 ? 102 ? 103 ? ? ? ? ? 10n ) ? (1 ? 1? ?1 ?? ??? ? 1) ? ? ? 9 9 ?? n个1
1 10(10n ? 1) n ? ? 9 10 ? 1 9





1 (10 n ?1 ? 10 ? 9n) 81
已知数列{an}: an ?
n 8 , 求? (n ? 1)(an ? an ?1 ) 的值. (n ? 1)(n ? 3) k ?1

【巩固练习】7:


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