高中数学 2.3.1离散型随机变量的均值教案 新人教版选修2-3

§2.3 离散型随机变量的均值与方差 §2.3.1 离散型随机变量的均值 教学目标: 知识与技能: 了解离散型随机变量的均值或期望的意义, 会根据离散型随机变量的分布列求出均值或期望. 过程与方法:理解公式“E(aξ +b)=aEξ +b” ,以及“若ξ B(n,p) ,则 Eξ =np”.能熟练地应用它们求 相应的离散型随机变量的均值或期望。 情感、态度与价值观:承前启后,感悟数学与生活的和谐之美 ,体现数学的文化功能与人文价值。 教学重点:离散型随机变量的均值或期望的概念 教学难点:根据离散型随机变量的分布列求出均值或期望 授课类型:新授课 课时安排:1 课时 教学过程: 一、复习引入: 1.离散型随机变量的二项分布: 在 一 次 随 机试 验 中,某 事 件可 能 发生 也 可能 不 发 生,在 n 次独立 重复试验中这个事件发生的次数 ξ 是一个随机变量.如果在一次试验中某事件发生的概率是 P,那么在 n 次独立重复试验中这个事件恰好发生 k 次的概率是 王新敞 奎屯 新疆 王新敞 奎屯 新疆 k k n ?k (k=0,1,2,…,n, q ? 1 ? p ) . Pn (? ? k ) ? Cn p q , 于是得到随机变量 ξ 的概率分布如下: ξ 0 1 P 0 0 n Cn pq 1 1 n ?1 Cn pq … … k k k n?k Cn p q … … n n n 0 Cn p q k k n?k 称 这 样 的随 机 变 量 ξ 服从 二 项 分布 ,记 作 ξ ~ B(n ,p) ,其中 n ,p 为参数,并记 Cn p q =b(k; n,p). 二、讲解新课: 根据已知随机变量的分布列,我们可以方便的得出随机变量的某些制定的概率,但分布列的用途远 不止于此,例如:已知某射手射击所得环数 ξ 的分布列如下 ξ 4 5 6 7 8 9 10 P 0.02 0.04 0.06 0.09 0.28 0.29 0.22 在 n 次射击之前,可以根据这个分布列估计 n 次射击的平均环数.这就是我们今天要学习的离散型随 机变量的均值或期望 根据射手射击所得环数 ξ 的分布列, 我们可以估计,在 n 次射击中,预计大约有 王新敞 奎屯 新疆 P(? ? 4) ? n ? 0.02n P(? ? 5) ? n ? 0.04n ………… 次得 4 环; 次得 5 环; P(? ? 10) ? n ? 0.22n 故在 n 次射击的总环数大约为 次得 10 环. 4 ? 0.02 ? n ? 5 ? 0.04 ? n ? ? ? 10 ? 0.22 ? n ? (4 ? 0.02 ? 5 ? 0.04 ? ? ? 10 ? 0.22) ? n , 从而,预计 n 次射击的平均环数约为 4 ? 0.02 ? 5 ? 0.04 ? ? ? 10 ? 0.22 ? 8.32 . 这是一个由射手射击所得环数的分布列得到的,只与射击环数的可能取值及其相应的概率有关的常 数,它反映了射手射击的平均水平. 对于任一射手,若已知其射击所得环数 ξ 我们可以同样预计他任意 n 次射击的平均环数: 的分布列,即已知各个 P(? ? i ) (i=0,1,2,…,10) , 0 ? P(? ? 0) ? 1? P(? ? 1) ? … ? 10 ? P(? ? 10) . 1. 均值或数学期望: 一般地,若离散型随机变量 ξ 的概率分布为 ξ P x1 p1 x2 p2 … … xn pn … … 则称 E? ? x1 p1 ? x 2 p 2 ? … ? xn pn ? … 为 ξ 的均值或数学期望,简称期望. 2. 均值或数学期望是离散型随机变量的一个特征数,它反映了离散型随机变量取值的平均水平 3. 平均数、均值: 一般地,在有限取值离散型随机变量 ξ 王新敞 奎屯 新疆 的概率分布中,令 p1 ? p2 ? … ? pn ,则有 p1 ? p2 ? … 王新敞 奎屯 新疆 ? pn ? 1 1 , E? ? ( x1 ? x2 ? … ? x n ) ? ,所以 ξ 的数学期望又称为平均数、均值 n n 4. 均值或期望的一个性质: 若 ? ? a? ? b (a、b 是常数),ξ 是随机变量,则 η 也是随机变量,它们的分布列为 ξ η P x1 x2 … … … xn … … … ax1 ? b p1 ax2 ? b p2 axn ? b pn 于是 E? ? (ax1 ? b) p1 ? (ax2 ? b) p2 ? … ? (axn ? b) pn ? … = a( x1 p1 ? x 2 p 2 ? … ? xn pn ? …) ? b( p1 ? p 2 ? … ? pn ? …) = aE? ? b , 由此,我们得到了期望的一个性质: E (a? ? b) ? aE? ? b 5.若ξ B(n,p) ,则 Eξ =np 证明如下: ∵ ∴ k k k k n ?k P(? ? k ) ? Cn p (1 ? p)n?k ? Cn pq , 0 0 n 1 1 n ?1 2 2 n?2 k k n?k n n 0 E ? ? 0× C n p q +1× Cn p q +2× Cn p q +…+k× Cn p q +…+n× Cn p q . 又∵ k kCn ?k? n! n ? (n ? 1)! k ?1 ? ? nCn ?1 , k!(n ? k )! (k ? 1)![(n ? 1) ? (k ? 1)]! 1 1 n?2 0 0 n? 1 k ?1 k ?1 ( n?1)?( k ?1) + … + Cn + … + np( Cn Cn q+ q ?1 p q ?1 p ?1 p ∴ E? ? n ?1 n ?1 0 Cn q ) ? np( p ? q) n?1 ? np . ?1 p 故 若 ξ

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