山东省济宁市梁山一中高二数学上学期期中试题 理 新人教A版

山东省济宁市梁山一中 2013-2014 学年高二数学上学期期中试题 理 新人教 A 版数学(理)
一、选择题(本大题 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项符合题目要求.) 1. 已知△ABC 的三个顶点为 A(3,3,2) ,B(4,-3,7) ,C(0,5,1) ,则 BC 边上的 中线长为 ( A. 2 ) B. 3 C. 4 ) B.必要但不充分条件 D.充分但不必要条件 ) D. 5

1 2. 设 a ? R ,则 a ? 1 是 ? 1 的( a
A. 既不充分也不必要条件 C.充要条件 3.不等式 ? x ? 5x ? 6 ? 0 的解集为(
2

A. {x | x ? ?6或x ? 1} C. {x | ?6 ? x ? 1} A. A ? G

B. {x | x ? 6或x ? ?1}

D. {x | ?1 ? x ? 6} ) ) C. A ? G

4. a ? 0, b ? 0, A 是 a , b 的等差中项, G 是 a , b 的正的等比中项, A, G 大小关系是( B. A ? G D. A, G 大小不能确定 ( 5.等腰三角形腰长是底边长的 2 倍, 则顶角的余弦值是 A.

7 8

B.

2 2 3

C.

8 9

D.

7 9


6.已知等差数列 {an } 中, a6 ? 5 ,则数列 {an } 的前 11 项和 S11 等于( A.22 7. 设 ( B.33 C.44 D.55

x ? 0, y ? 0, xy ? 9 , 则 s ?


x2 y2 ? y x

取 最 小 值 时

x 的 值 为

A. 1 B. 2 C. 3 D. 6 2 8. 过抛物线 y = 4x 的焦点作直线交抛物线于 A(x1, y1)B(x2, y2)两点,如果 x1 ? x2 =6, 那么 AB = ( A. 6 9. 若点 P 在椭圆 ) B. 8 C .9 D .10

x2 ? y 2 ? 1 上,F1,F2 分别是该椭圆的两焦点,且 ?F1 PF2 ? 90? ,则 2
) B. 2 C.

?F1 PF2 的面积是(
A. 1

3 2

D.

1 2

10. 设双曲线的一个焦点为 F, 虚轴的一个端点为 B, 如果直线 FB 与该双曲线的一条渐近线 垂直,那么双曲线的离心率是( A. ) C.

2

B.

3

3 ?1 2

D.

5 ?1 2
)

11.圆 x 2 ? y 2 ? 2 x ? 2 y ? 1 ? 0 上的点到直线 x ? y ? 2 的距离最大值是( A.2 B.1+ 2 2 C. 2 ? 1
2 2

D. 2 + 1 )

12.直线 l 过点(3,0)与双曲线 4x -9y =36 只有一个公共点,则这样的直线有( A.1 条 B.2 条 C.3 条

D.4 条

二、填空题(每小题 5 分,共 4 小题,满分 20 分) 13. 在 ?ABC 中 , 内 角 A, B, C 的 对 边 分 别 为 a, b, c , a ?

2, b ? 3, B ? 600 , 则

A=

. C

14.如图, CD 是一座铁塔,线段 AB 和塔底 D 在同一水平地面上,在 A, B 两点测得塔顶 C 的仰角分别为 30 和 45 ,又测得 AB ? 12m, ?ADB ? 300
0 0

A 则此铁塔的高度为 m. 15. ①一个命题的逆命题为真,它的否命题也一定为真; ②在 ?ABC 中, “ ?B ? 60? ”是“ ?A, ?B, ?C 三个角成等差数列”的充要条件. ③?

D B

?x ? 1 ?x ? y ? 3 是? 的充要条件; ? y ? 2 ? xy ? 2
2 2

④“am <bm ”是“a<b”的充分必要条件. 以上说法中,判断正确的有___________. 16. 已知点 P(2,﹣3)是双曲线 上一点,双曲线两个焦点

间的距离等于 4,则该双曲线方程是___________. 三、解答题(本大题共 6 个小题,共 70 分,解答题写出文字说明、证明过程或演算步骤。 ) 17.(本小题满分 10 分) 已知等差数列 {an } 中,公差 d ? ?4, a2 , a3 , a6 成等比数列. (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)若数列 {an } 的前 k 项和 S k ? ?96 ,求 k 的值.

18.(本小题满分 12 分) 已知定点 F(2,0)和定直线 l : x ? ?2 ,动圆 P 过定点 F 与定直线相切,记动圆圆心 P 的轨迹 为曲线 C (1)求曲线 C 的方程. (2)若以 M(2,3)为圆心的圆与抛物线交于 A、B 不同两点,且线段 AB 是此圆的直径时,求 直线 AB 的方程

19. (本小题满分 12 分)

x2 y 2 已知抛物线的顶点为椭圆 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的中心.两曲线的焦点在同一坐标轴上, a b 2 2 6 椭圆的长轴长为 4.抛物线与椭圆交于点 M ( , ? ) ,求抛物线方程与椭圆方程. 3 3

20. (本小题满分 12 分) 袋中有五张卡片,其中红色卡片三张,标号分别为 1,2,3;蓝色卡片两张,标号分别为 1,2. (1)从以上五张卡片中任取两张,求这两张卡片颜色不同且标号之和小于 4 的概率; (2)现袋中再放入一张标号为 0 的绿色卡片,从这六张卡片中任取两张,求这两张卡片颜色 不同且标号之和小于 4 的概率.

21. (本小题满分 12 分)

x2 y 2 6 ? 2 ? 1 (a>b>0)的离心率 e ? ,原 2 a b 3 3 点 O 到过点 A(0,?b) 和 B(a,0) 的直线的距离为 . 2
已知椭圆 (1)求椭圆的方程; (2)已知定点 E (?1,0) ,若直线 y=kx+2 与 椭圆交于 C 、D 两点,问:是否存在 k 的值, 使以 CD 为直径的圆过点 E?请说明理由.

22.(本小题满分 12 分)

有一展馆形状是边长为 2 的等边三角形 ABC , DE 把展馆分成上下两部分面积比为 1 : 2 (如图所示) ,其中 D 在 AB 上, E 在 AC 上. (1)若 D 是 AB 中点,求 AE 的值; (2)设 AD ? x, ED ? y .(ⅰ)求用 x 表示 y 的函数关系式;(ⅱ)若 DE 是消防水管,为节 约成本,希望它最短, DE 的位置应在哪里?若 DE 是参观线路,则希望它最长, DE 的位 置又应在哪里?请给以说明.

梁山一中 2013—2014 学年高二上学期期中检测
参考答案 1-5 BDCAA 6-10 DCBAD 11-12 DC 13. 45
0

14. 12

15.__①②__ 16.__

x2 y2 ? ?1 1 3

2 17.(1)? a2 , a3 , a6 , 成等比数列 ? a3 ? a2 ? a6 (a1 ? 2d ) 2 ? (a1 ? d ) ? (a1 ? 5d )

(a1 ? 8) 2 ? (a1 ? 4) ? (a1 ? 20) ,解得 a1 ? 2 从而 an ? ?4n ? 6
(2)由(1)可知 an ? ?4n ? 6 ,所以 S n ?

n(2 ? 4n ? 6) ? ?2n 2 ? 4n 2

由 S k ? ?96 ,可得 ? 2k 2 ? 4k ? ?96,即k 2 ? 2k ? 48 ? 0 ,解得 k ? 8 或 k ? ?6
* 又 k ? N ,故 k ? 8 为所求.

18. (1)由题意知,P 到 F 的距离等于 P 到的距离,所以 P 的轨迹 C 是以 F 为焦点,为准线 的抛物线,它的方程为 y ? 8x
2

(2)设 A? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? 则 y12 ? 8x1 , y22 ? 8x2

?

y2 ? y1 8 ? x2 ? x1 y2 ? y1

由 AB 为圆 M ? 2,3? 的直径知, y2 ? y1 ? 6 故直线的斜率为

4 3 4 ? x ? 2? 3

直线 AB 的方程为 y ? 3 ? 即 4x ? 3 y ?1 ? 0

19.因为椭圆的焦点在 x 轴上,且两曲线的焦点在同一坐标轴上 所以抛物线的焦点也在 x 轴上,可设抛物线的方程为 y ? ax(a ? 0)
2

2 6 2 2 2 2 6 ) ? a ?a ? 4 ? M ( ,? ) 在抛物线上? (? 3 3 3 3

? 抛物线的方程为 y 2 ? 4 x

4 24 2 2 6 ? M ( ,? ) 在椭圆上 ? 2 ? 2 ? 1 9a 9b 3 3
由①②可得 a 2 ? 4, b 2 ? 3



2a=4 ②

? 椭圆的方程是

x2 y2 ? ?1 4 3

20. 解:(1)从五张卡片中任取两张的所有可能情况有如下 10 种:红 1 红 2,红 1 红 3,红 1 蓝 1,红 1 蓝 2,红 2 红 3,红 2 蓝 1,红 2 蓝 2,红 3 蓝 1,红 3 蓝 2,蓝 1 蓝 2.其中两张卡片的颜色不
3 10 (2)加入一张标号为 0 的绿色卡片后,从六张卡片中任取两张,除上面的 10 种情况外,多出 5 种情况:红 1 绿 0,红 2 绿 0,红 3 绿 0,蓝 1 绿 0,蓝 2 绿 0,即共有 15 种情况,其中颜色不同

同且标号之和小于 4 的有 3 种情况,故所求的概率为 P ?

且标号之和小于 4 的有 8 种情况,所以概率为 P ? 21.解: (1)直线 AB 方程为:bx-ay-ab=0

8 . 15

?c 6 , ? ? 3 ?a 依题意 ? 3 ? ab ? 2 2 ? 2 ? a ?b
∴ 椭圆方程为

解得

?a ? 3 , ? ?b ? 1

x2 ? y2 ? 1 3

(2)假若存在这样的 k 值,由 ? ∴

? y ? kx ? 2, ?x ? 3 y ? 3 ? 0
2 2

2 得 (1 ? 3k ) x ? 12kx ? 9 ? 0
2

? ? (12k )2 ? 36(1 ? 3k 2 ) ? 0



设 C ( x1 , y1 )

12k ? x1 ? x2 ? ? , ? ? 1 ? 3k 2 ② D( x2 , y 2 ) ,则 ? ?x ? x ? 9 1 2 ? 1 ? 3k 2 ?
2

而 y1 ? y2 ? (kx1 ? 2)(kx2 ? 2) ? k x1 x2 ? 2k ( x1 ? x2 ) ? 4 要使以 CD 为直径的圆过点 E(-1,0) ,当且仅当 CE⊥DE, 即 EC ? ED ? 0 时, 则 ( x1 ? 1, y1 ) ? ( x2 ? 1, y 2 ) ? 0 即 ( x1 ? 1) ? ( x2 ? 1) ? y1 y2 ? 0 ∴

(k 2 ?1) x1x2 ? (2k ?1)( x1 ? x2 ) ? 5 ? 0
7 6



将②式代入③整理解得 k ? 经验证, k ?

7 ,使①成立。 6

综上可知,存在 k ?

7 ,使得以 CD 为直径的圆过点 E 6

22. (1)依题意得, S?ADE ?

1 1 1 3 1 S ?ABC ? ? ? 2 2 ? sin 600 ? ? AD ? AE ? sin 600 3 3 2 3 2

? AD ? AE ?

4 4 ,若 D 是 AB 中点,则 AD ? 1,? AE ? . 3 3 4 4 4 2 2 ? ,? AE ? 2,? x ? ,? ? x ? 2 (2)由(1)得 AD ? AE ? ,? AE ? 3 3 AD 3x 3 3 16 4 2 2 2 2 0 2 ? 由余弦定理得 y ? DE ? AD ? AE ? 2 AD ? AE ? cos 60 ? x ? 9x 2 3

? y ? x2 ?

16 4 ? 9x 2 3

2 x ? [ ,2] 3

如果 DE 是消防水管,? y ?

x2 ?

16 4 16 4 2 3 ,当且仅当 ? ? 2 ? x2 ? 2 ? ? 2 3 3 3 9x 9x

x2 ?

4 2 3 2 3 ,即 x ? ,等号成立.此时 AE ? ,故 DE // BC, 且消防水管路线最短为 3 3 3

DE ?

2 3 ; 3
2

如果 DE 是参观线路,令 x ? t , t ? [ ,4], y ? 以下证明 f (t ) 在 [ , ] 是减函数:

4 9

t?

16 16 4 ? ,设 f (t ) ? t ? , 9t 9t 3

4 4 9 3



4 4 16 1 1 ? t1 ? t 2 ? , f (t1 ) ? f (t 2 ) ? (t1 ? t 2 ) ? ( ? ) ? (t1 ? t 2 ) ? 9 3 9 t1 t 2

(t1t 2 ? t1t 2

16 ) 9

4 4 16 ? t1 ? t 2 ? ,? t1 ? t 2 ? 0, t1t 2 ? ,? f (t1 ) ? f (t 2 ) ? 0, f (t1 ) ? f (t 2 ) , 9 3 9 4 4 4 ? f (t ) 在 [ , ] 是减函数,同理可证 f (t ) 在 [ , 4] 是增函数. 3 9 3 ?
(直接写出单调区间没证明可不扣分)

4 4 40 ? f (t ) 最大值为 f ( ), f (4) 二者中大的值,? f ( ) ? f (4) ? , 9 9 9

? y max ?
x?

2 40 4 2 7 ,此时 x ? 或x ? 2 ? ? 3 9 3 3

2 2 时, AE ? 2 ;或 x ? 2 时, AE ? ,即 D 为 AB 三等分点(靠近 A ) E 与 C 重合; 3 3

或 D 与 B 重合 E 为 AC 三等分点(靠近 A ) ,参观线路 DE 最长为

2 7 . 3


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