【优化方案】2014届高考数学(文科,大纲版)一轮复习配套课件:4.2 同角三角函数的基本关系式及诱导公式_图文

§4.2

同角三角函数的基本关

系式及诱导公式

本节目录

教 材 回 顾 夯 实 双 基

考 点 探 究 讲 练 互 动

考 向 瞭 望 把 脉 高 考

知 能 演 练 轻 松 闯 关

教材回顾夯实双基
基础梳理 1.同角三角函数基本关系式
平方关系 商数关系 倒数关系

sin2α+cos2α=1 __________________
sin α tan α= cos α tan α· α=1 cot

目录

2.诱导公式 九组诱导公式列表如下:
函数 角 2kπ+α π+α -α π-α 2π-α π -α 2 π +α 2 3π -α 2 3π +α 2 正弦 余弦 cos α -cos α _________ cos α -cos α cos α 正切 tan α tan α -tan α -tan α __________ -tan α cot α

sin α _______ -sin α _________ -sin α sin α -sin α _________
cos α cos α -cos α

sin α ________
-sin α

-cot α ______
cot α -cot α

-sin α _________
sin α

-cos α _________

目录

思考探究 1.同角三角函数基本关系式体现了怎样的转化关系?
提示:平方关系 sin2α+cos2α=1 体现了同角的正弦、余弦之间 的转化,如 sin α=± 1-cos2α,cos α=± 1-sin2α. 商数关系体现了切与弦之间的转化,倒数关系体现了正、余切 之间的转化.

目录

思考探究 2.结合诱导公式,判断角α+nπ(n∈Z)与角α的三角函数值的 关系是什么?
提示:由公式可以看出,α 与 α 加上 π 的偶数倍的所有三角函 数值相等;α 与 α 加上 π 的奇数倍的余弦、正弦值互为相反数; α 与 α 加上 π 的整数倍的正切值相等,即 ?-sin α当n为奇数 ? sin(α+nπ)=? , ?sin α 当n为偶数 ?
?-cos α当n为奇数 ? cos(α+nπ)=? , ? ?cos α 当n为偶数

tan(α+nπ)=tan α,n∈Z.

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课前热身 1.(教材改编)若 tan α= 2,则下列各组正确的是(

)

? ? A.? 6 ?sin α= 3 ?

3 cos α= 3

? ? B.? 6 ?sin α= 3 ?

3 cos α=- 3

? ? C.? 2 sin α=- ? ? 2
答案:A

2 cos α=- 2

? ? D.? 6 sin α=- ? ? 3
3 cos α= 3

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2. 1-sin2585° =( 2 A.- 2 3 C.- 2

) 2 B. 2 3 D. 2

答案:B

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3.tan 600° 的值是( 3 3 3 3

)

A.-

B.

C.- 3

D. 3

答案:D

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π 2π 4.若 sin( -α)=a,则 cos( -α)=______. 6 3

答案:-a
1 ?α+π ?= 5.如果 cos α= ,且 α 是第四象限的角,那么 cos 5 ? 2? __________.

2 6 答案: 5

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考点探究讲练互动
考点突破
考点 1 同角三角函数关系式及应用

对于同一个角的不同三角函数值之间的相互转化都可以考 虑基本关系式,主要是已知一个角的某一个三角函数值,求 这个角的其他五种三角函数值.

目录

例1

1 (1)已知 sin α= ,且 α 为第二象限角, 3

求 tan α,cot α,sec α; 1 (2)已知 sin α= ,求 tan α; 3 (3)已知 sin α=m(m≠0,m≠± 1),求 tan α.

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【思路分析】

1 (1) 由sin α= ,α为第二象限角 3

→ 求cos α值 → 求tan α的值 (2) 根据sin α的值判断角α所在的象限 → 分类求cos α的值 → 求tan α的值 (3) 由sin α=m求cos α的值 → 讨论α所在象限 → 分别求tan α的值

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1 【解】 (1)sin α= ,α 为第二象限角, 3 12 2 2 ∴cos α=- 1-? ? =- , 3 3 sin α 2 1 ∴tan α= =- ,cot α= =-2 2, 4 cos α tan α 1 3 2 sec α= =- . 4 cos α 1 (2)∵sin α= >0,∴α 为第一或第二象限角. 3 2 2 2 2 当 α 为第一象限角时,cos α= 1-sin α= ,∴tan α= ; 3 4 2 当 α 为第二象限角时,由(1)知 tan α=- . 4
目录

(3)∵sin α=m(m≠0,m≠± 1), ∴cos α=± 1-sin2α=± 1-m2(当 α 为一、四象限角时取正 号,当 α 为二、三象限角时取负号), 所以当 α 为第一、四象限角时,tan α= m 1-m m 1-m
2 2



当 α 为第二、三象限角时,tan α=-

.

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【思维总结】 对于这类问题是否要讨论,主要取决于平方关 系中的开方计算,如 sin α=± 1-cos2α,要根据 sin α 的正 负.cos α=± 1-sin2α,要根据 cos α 的正负.

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考点 2

诱导公式及应用

k 诱导公式主要是形如角“kπ±α(k∈Z)”或“ π±α(k∈ Z)”的 2 各种三角函数值的变形.

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3π sin?π-α?cos?2π-α?tan?-α+ ? 2 例2 已知 f(α)= . cot?-α-π?sin?-π-α? (1)化简 f(α); 31 (2)若 α=- π,求 f(α)的值. 3

【思路分析】

先利用诱导公式逐项把已知式化简为最简形

式,再利用同角三角函数基本关系或诱导公式求值.

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【解】

sin αcos αcot α (1)f(α)= =-cos α. ?-cot α?sin α

31π 31π 31π (2)f(- )=-cos(- )=-cos( ) 3 3 3 π π 1 =-cos(5×2π+ )=-cos =- . 3 3 2

【思维总结】

化简变形时,通常先用诱导公式将三角函数

式的角统一后,再用同角三角函数关系式,这样可以避免公 式交错使用时导致的混乱.

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跟踪训练
3π 1 1.在本例中,若 α 是第三象限角,且 cos(α- )= , 2 5 求 f(α)的值.
3π 解:∵cos(α- )=-sin α, 2 1 12 2 ∴sin α=- ,cos α=- 1-?- ? =- 6. 5 5 5 2 ∴f(α)= 6. 5

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考点3

sin α±cos α与sin αcos α关系的应用

在三角函数的变换求值中,已知sin α+cos α,sin αcos α,sin α-cos α(或cos α-sin α)中的一个,可利用方程的思想求出另

外两个的值.
其常用结论有:(1)(sin α+cos α)2=1+2sin αcos α; (2)(sin α-cos α)2=1-2sin αcos α; (3)(sin α+cos α)2+(sin α-cos α)2=2; (4)(sin α+cos α)2-(sin α-cos α)2=4sin αcos α.

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例3 已知-π<x<0,sin x+cos x=1. 2 5
(1)求 sin x-cos x 的值; (2)求 tan x 的值.

【思路分析】

可与sin2x+cos2x=1联系,求出2sin xcos x的

值,再求出(sin x-cos x)2的值,就求出sin x-cos x的值,从 而求出sin x、cos x的值,求出tan x的值.

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1 (1)由 sin x+cos x= 平方得, 5 1 24 1+2sin xcos x= ,∴2sin xcos x=- , 25 25 49 2 (sin x-cos x) =1-2sin xcos x= , 25 π 7 又∵- <x<0,∴sin x-cos x<0,即 sin x-cos x=- . 2 5 1 sin x+cos x= , 5 (2)由(1)得 7 sin x-cos x=- , 5 【解】

? ? ?

3 - 5 3 4 sin x 3 ∴sin x=- ,cos x= .∴tan x= = =- . 5 5 4 4 cos x 5
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sin2x+cos2x=1 ? ? 【思维总结】 本题也可以直接利用? 1 sin x+cos x= ? 5 ? 与 cos x 的值.但要根据条件进行舍根.

求 sin x

目录

跟踪训练
2.在本例中,若x的范围变为“x为三角形的内角”其余条件不 变,求tan x的值.
1 24 解:由 sin x+cos x= ,∴2sin xcos x=- <0. 5 25 π ∵x 为三角形内角,∴sin x>0.∴cos x<0,∴x∈( ,π). 2 ∴sin x-cos x>0. 24 49 2 ∵(sin x-cos x) =1-2sin xcos x=1+ = . 25 25 1 4 sin x+cos x= sin x= 5 5 7 ∴sin x-cos x= .由 得 . 5 7 3 sin x-cos x= cos x=- 5 5

? ? ?

? ? ?

sin x 4 ∴tan x= =- . 3 cos x
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考点4

三角恒等式的证明

此类问题就是利用三角函数化简的方式,结合三角公式推导 出关于三角函数形式的等式成立,一般采用从等式的一边开 始直接推证它等于另一边或采取左右归一法.

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例4

2?cos α-sin α? cos α sin α 证明: - = . 1+sin α 1+cos α 1+sin α+cos α

【思路分析】

可从三个方面考虑:

(1)由左到右,以右式为“果”,因为左边是两个分式,而右边为一 个分式,故将左式通分,分子因式分解产生因子(cos α-sin α)与1

+sin α+cos α,而缺少“2”这个因子,故分子分母同乘以2,并设法
使分母产生因子1+sin α+cos α,以便约分. (2)仍由左到右,因为右式分母有因子1+sin α+cos α,故将左

式分母分子同乘以1+sin α+cos α.

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(3)证明关键在于化左、右两边为同分母,而 1+sin α+cos α 是 1-sin α cos α 最 简单的形 式,联想 到课本中 等式: = , cos α 1+sin α 1-cos α sin α = 和等比性质, 断定由此可以将左端两式的分 sin α 1+cos α 母化为 1+sin α+cos α.

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【证明】

cos α+cos2α-sin α-sin2α 法一:左边= ?1+sin α??1+cos α?

?cos α-sin α??1+sin α+cos α? = 1+sin α+cos α+sin α· α cos 2?cos α-sin α??1+sin α+cos α? = ?1+sin α+cos α? 2 2?cos α-sin α? = =右边. 1+sin α+cos α ∴原式成立.

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1+sin α+cos α cos α sin α 法二:左边= ( - ) 1+sin α+cos α 1+sin α 1+cos α 1 cos2α sin2α = (cos α+ -sin α- ) 1+sin α+cos α 1+sin α 1+cos α 1-sin2α 1-cos2α 1 = (cos α-sin α+ - ) 1+sin α+cos α 1+sin α 1+cos α 2?cos α-sin α? = =右边, 1+sin α+cos α ∴原式成立.

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1-sin α cos α+1-sin α cos α 法三:∵ = = ① cos α 1+sin α 1+sin α+cos α 1-cos α sin α+1-cos α sin α = = ② sin α 1+cos α 1+sin α+cos α cos α sin α ①-②得 - 1+sin α 1+cos α cos α+1-sin α sin α+1-cos α = - 1+sin α+cos α 1+sin α+cos α 2?cos α-sin α? = . 1+sin α+cos α

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【思维总结】

运用三个基本关系式进行化简、求值、证明

时,主要是灵活运用公式,消除差异,其思维模式归纳为三点:

①发现差异:观察角、函数、关系结构的差异;
②寻求联系:运用相关公式,找出转化差异的联系;

③合理转化:选择恰当的公式,实现差异的转化.

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方法感悟
方法技巧
1.同角三角函数的另外五个关系式 1+tan2α=sec2α; 1+cot2α=csc2α; cos α cot α= ; sin α cos α· α=1; sec sin α· α=1. csc
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2.角 k· ± 90° α(k∈Z)的三角函数的诱导公式归纳为:“奇变偶 不变,符号看象限”.其含义为:当 k 是奇数时,函数名称发 生变化;当 k 为偶数时,函数名称保持不变;“符号看象限” 即根据 k· ± 所在象限原三角函数值的符号确定正、负. 90° α 3.求已知角的三角函数值其转化角的一般步骤为 任意负角的 三角函数
主化锐 负化正

任意正角的 三角函数

正化主

0° 到360° 的角 的三角函数

锐角的三角函数

4.证明三角恒等式的主要思路有:(1)左右互推法:由较繁的 一边向简单一边化简;(2)左右归一法:使两端化异为同,把左 右式都化为第三个式子;(3)转化化归法:先将要证明的结论恒 等变形,再证明.
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失误防范
1.在利用同角三角函数的平方关系时,若开方,要特别注意判 断符号. k 2.利用诱导公式时要分清 kπ+α(k∈Z),还是 π+α(k∈Z)的 2 形式,以确定结果是否改变函数名称.

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考向瞭望把脉高考
命题预测
同角三角函数的基本关系式及诱导公式是三角变形的基本公 式,同时也是高考命题的热点之一,以选择题、填空题的形 式出现,试题通常以化简、求值为主,考查公式的运用,恒 等变形的基本技能、及基本运算能力,难度较低,如2011年的 高考中,辽宁卷,江苏卷,浙江卷都对该部分内容进行了单 独考查外,还有的与和、差、倍角公式相结合进行考查. 在2012年的高考中,山东卷考查了诱导公式. 预测2014年的高考,仍是以基本知识和计算进行考查.
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典例透析

?0,π ?,且 sin2α+cos 2α=1, 例 (2011· 高考福建卷)若 α∈ ? 2? 4
则 tan α 的值等于( A. 2 2 ) B. 3 3

C. 2

D. 3

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?0,π ?,且 sin2α+cos 2α=1, 【解析】 ∵α∈ ? 2? 4
1 1 2 ∴sin α+cos α-sin α= ,∴cos α= , 4 4 1 1 ∴cos α= 或- (舍去), 2 2
2 2 2

π ∴α= ,∴tan α= 3. 3

【答案】

D

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【名师点评】

本题考查了二倍角公式、同角三角函数关系,

由值求值等知识,同时又考查了学生的转化能力和简单的计 算能力,难易适中,属于中档题.

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知能演练轻松闯关

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