高一数学下学期期末复习练习 等比数列

高一下学期期末复习练习 等比数列

[重点] 等比数列的概念,等比数列的通项公式,等比数列的前 n 项和公式。

1.定义:数列{an}若满足 an?1 =q(q ? 0, q 为常数)称为等比数列。q 为公比。 an

2.通项公式:an=a1qn-1(a1 ? 0、q ? 0)。

?na1

3.前

n

项和公式:Sn=

? ?

a1

(1

?

q

n

)

? ?

1? q

?

a1 ? an q 1? q

(q ? 1)

4.性质:(1)an=amqn-m。(2)若 m+n=s+t,则 aman=asat,特别地,若 m+n=2p,则 aman=a2p, (3)记 A=a1+a2+…+an,B=an+1+an+2+…a2n,C=a2n+1+a2n+2…+a3n,则 A、B、C 成等比数列。 5.方程思想:等比数列中的五个元素 a1、q、n 、an 、Sn 中,最基本的元素是 a1
和 q,数

列中的其它元素都可以用这两个元素来表示。

函数思想:等比数列的通项和前 n 次和都可以认为是关于 n 的函数。

[难点]

等比数列前 n 项和公式的推导,化归思想的应用。

例题选讲

1.(湖北)若互不相等的实数 a,b, c 成等差数列,c, a,b 成等比数列,且 a ? 3b ? c ?10 ,则 a ?

()

A.4 B.2 C.-2 D.-4

2.(辽宁)(9) 在等比数列?an? 中, a1 ? 2 ,前 n 项和为 Sn ,若数列?an ?1? 也是等比数列,则 Sn 等

于( )

(A) 2n?1 ? 2 (B) 3n (C) 2n (D) 3n ?1

3.已知 a1=2,点(an,an+1)在函数 f(x)=x2+2x 的图象上,其中 n=1,2,3,… (1) 证明数列{lg(1+an)}是等比数列; (2) 设 Tn=(1+a1) (1+a2) …(1+an),求 Tn 及数列{an}的通项;

(3)



bn=

1 an

?

1 an ? 2

,求{bn}数列的前项和

Sn,并证明

Sn+

2 3Tn ?

1

=1.

一、选择题 1.在公比 q ? 1 的等比数列{an}中,若 am=p,则 am+n 的值为 (A)pqn+1 (B)pqn-1 (C)pqn (D)pqm+n-1

()

2.若数列{an}是等比数列,公比为 q,则下列命题中是真命题的是

(A)若 q>1,则 an+1>an

(B)若 0<q<1,则 an+1<an

(C)若 q=1,则 sn+1=Sn

(D)若-1<q<0,则 an?1 ? an

3.在等比数列{an}中,a9+a10=a(a ? 0 ),a19+a20=b,则 a99+a100 的值为 ()

()

(A) b9 a8

(B)( b )9 (C) b10

a

a9

(D)( b )10 a

4.在 2 与 6 之间插入 n 个数,使它们组成等比数列,则这个数列的公比为 ()

(A) n 3

(B) 1 n3

(C) n?1 3

(D) n?2 3

5 . 若 x,2x+2,3x+3 是 一 个 等 比 数 列 的 连 续 三 项 , 则 x 的 值 为

()

(A)-4 (B)-1 (C)1 或 4 (D)-1 或-4

6.已知数列{an}是公比 q ? 1的等比数列,给出下列六个数列:(1){kan}(k ? 0 ) (2){a2n-1} (3){an+1-an} (4){anan+1} (5){nan} (6){an3},其中仍能构成等比数列
的个数为

(A)4 (B)5 (C)6 (D)3

() 7.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn=b×2n+a(a ? 0,b ? 0),若数列{an}是等比数例,则 a、b 应满足的条件为

()

(A)a-b=0 (B)a-b ? 0 (C)a+b=0 (D)a+b ? 0

8.一个等比数列共有 3n 项,其前 n 项之积为 A,次 n 项之积为 B,末 n 项之积为

C , 则 一 定 有 ( A ) A+B=C

( B ) A+C=2B ( C ) AB=C ( D ) AC=B2

()

9.在等比数列{an}中,Sn=k-( 1 )n,则实数 k 的值为 2
(A)1/2 (B)1 (C)3/4 (D)2

()

10 . 设 {an} 为 等 比 数 列 , Sn=a1+ … an, 则 在 数 列 {Sn} 中 ()

(A)任何一项均不为零

(B)必有一项为零

(C)至多有一项为零

(D)或有一项为零,或有无穷多项为零

11.在由正数组成的等比数列{ an }中,若 a4a5a6=3,log3a1+log3a2+log3a8+log3a9 的值 为

(A) 4 3
()

(B) 3 4

(C)2

4
(D)3 3

12.在正项等比数列{an}中,a21+a22+……a2n= 4n ? 1 ,则 a1+a2+…an 的值为 3

()

(A)2n (B)2n-1 (C)2n+1 (D)2n+1-2

13.数列{an}是正数组成的等比数列,公比 q=2,a1a2a3……a20=a50,,则 a2a4a6……a20

的值为 (A)230

(B)283

(C)2170

(D)2102-2

()

14.在数列{an}中,a1=2,an+1=2an+2,则 a100 的值为 ()
(A)2100-2 (B)2101-2 (C)2101 (D)215

15.某商品的价格前两年每年递增 20%,后两年每年递减 20%,最后一年的价格与

原来的价格比较,变化情况是

()

(A)不增不减 (B)约增 1.4% (C)约减 9.2% (D)约减 7.8%

二、填空题

1.在等比数列{an}中,a1-a5=- 15 ,S4=-5,则 a4=



2

2.三个正数 a,b,c 成等比数列,且 a+b+c=62,,lga+lgb+lgc=3,则这三个正数为

3.已知 a>0,b>0,a ? b, 在 a 与 b 之间插入 n 个正数 x1,x2,…,xn,使 a,x1,x2…,xn,b

成等比数列,则 n x1x2 ?xn =

4.已知首项为 1 ,公比为 q(q>0)的等比数列的第 m,n,k 项顺次为 M,N,K,则 2

(n-k)log M+(k-m)log N+(m-n)log K=

1

1

1

2

2

2

5.若数列{an}为等比数列,其中 a3,a9 是方程 3x2+kx+7=0 的两根,且(a3+a9)2=3a5a7+2,

则实数 k=

6.若 2,a,b,c,d,18

3

六个数成等比数列,则

log9

a2 c2

? b2 ?d2

=

7.2+(2+22)+(2+22+23)+…+(2+22+23+…+210)=

8.某工厂在某年度之初借款 A 元,从该年度末开始,每年度偿还一定的金额,恰

在 n 年内还清,年利率为 r,则每次偿还的金额为

元。

三、解答题

1.已知等比数列{an},公比为-2,它的第 n 项为 48,第 2n-3 项为 192,求此数列 的通项公式。

2.数列{an}是正项等比数列,它的前 n 项和为 80,其中数值最大的项为 54,前 2n 项的和为 6560,求它的前 100 项的和。 3.已知 a+b+c,b+c-a,c+a-b,a+b-c 成等比数列,且公比为 q,求证:(1)q3+ q 2+q=1,

(2)q= a c

4.已知数列{an}满足 a1=1,a2=- 1 ,从第二项起,{an}是以 1 为公比的等比数列,{an}

2

2

的前 n 项和为 Sn,试问:S1,S2,S3…,Sn,…能否构成等比数列?为什么?

5.求

Sn=(x+

1 y

)+(x2+

1 y2

)+…+(xn+

1 yn

)(y ? 0 )。

6.某企业年初有资金 1000 万元,如果该企业经过生产经营,每年资金增长率为 50%, 但每年年底都要扣除消费基金 x 万元,余下资金投入再生产,为实现经过五年, 资金达到 2000 万元(扣除消费基金后),那么每年扣除的消费资金应是多少万元 (精确到万元)。

7. 已 知 数 列 {an} 满 足 a1=1,a2=r(r>0) , 数 列 {bn} 是 公 比 为 q 的 等 比 数 列 (q>0),bn=anan+1,cn=a2n-1+a2n,求 cn。

8.陈老师购买安居工程集资房 7m2,单价为 1000/ m2,一次性国家财政补贴 28800 元,学校补贴 14400 元,余款由个人负担,房地产开发公司对教师实行分期付款, 即各期所付的款以及各期所付的款到最后一次付款时所生的利息合计,应等于个 人负担的购房余款的现价以及这个余款现价到最后一次付款时所生利息之和,每 期为一年,等额付款,签订购房合同后一年付款一次,再过一年又付款一次等等, 若付 10 次,10 年后付清。如果按年利率的 7.5%每年复利一次计算(即本年利息计 入 次 年 的 本 金 生 息 ), 那 么 每 年 应 付 款 多 少 元 ?( 参 考 数 据 :1.0759 ? 1.921,1.07510 ? 2.065,1.07511 ? 2.221)

一、选择题 CDACA 二、填空题 1.1

BCDBD

第八单元 等比数列 ABABD

2.50,10,2 或 2,10,50

3. ab

4.0 6、1

5. ? 9 简解:a3+a9=- k , a3a9=a5a7=- 7 , ∴ (- k )2=3× 7 +2 ?k= ? 9

3

3

3

3

7. 212 ? 24

8、 Ar(1? r)n (1? r)n ?1

二、 解答题

1.

??a ? ??a

n?
2n?3

a1 ?

(?2) n?1 a1 (?2)

? 48 2n?4 ?

192

① ②

解得 a1=3 ∴an=a1qn-1=3(-2)n-1 。

2.∵ S2n>Sn, ∴q ? 1

? ??

a1

(1? q 1? q

n

)

?

80



? ? ??

a1 (1 ? 1?

q2n q

)

?

6560



②/①,得 qn=81

项中 an 最大。③代入①,得 a1=q-1

③∴q>1,故前 n

又由 an=a1qn-1=54,得 81a1=54q

∴a1=2,q=3 ∴S100= 2(1 ? 3100 ) ? 3100 ? 1。 1?3

3.(1)q3+q2+q= a ? b ? c ? c ? a ? b ? b ? c ? a ? 1 a?b?c a?b?c a?b?c

(2)q= c ? a ? b ? a ? b ? c 由合分比定理,可得 q= (c ? a ? b) ? (a ? b ? c) ? 2a ? a

b?c?a c?a?b

(b ? c ? a) ? (c ? a ? b) 2c c

4.当 n ? 2 时,an=a2qn-2=- 1 ( 1 )n-2=-( 1 )n-1

22

2

?1

∴an=

? ????

(

1 2

)

n ?1

n ?1 n?2

当 n=1 时,S1=a1=1

当 n ? 2 时,Sn=a1+a2+…+an=1- 1 -( 1 )2-…-( 1 )n-1=1-[ 1 +( 1 )2+…+( 1 )n-1]=1-

22

2

22

2

11

2 (1 ? 2n?1 ) ? ( 1 )n?1

1? 1

2

2

∴Sn=( 1 )n-1 2

? Sn?1 ?

(1)n 2

?1

Sn ( 1 )n?1 2

2

? {Sn}可以构成等比数列。

5、当 x ? 1,y ? 1 时,

11

(1 ? )

∴Sn=(x+x2+…+xn)+( 1 y

+

1 y2

???

1 yn

)=

x(1 ? x n ) ?
1? x

y

1?

yn 1

x ? x n?1 1 ? y n

?

?

1 ? x y n ? y n?1

y

当 x=1,y ? 1 时

Sn=n+

1? yn y n ? y n?1

当 x ? 1,y=1 时

Sn= x ? x n?1 ? n 1? x

当 x=y=1 时 Sn=2n

6.设 an 表示第 n 年年底扣除消费基金后的资金。

a1=1000(1+ 1 )-x 2

a2=[1000(1+ 1 )-x](1+ 1 )-x=1000(1+ 1 )2-x(1+ 1 )-x

2

2

2

2

a3=[1000(1+ 1 )2-x(1+ 1 )-x](1+ 1 )-x=1000(1+ 1 )3-x(1+ 1 )2-x(1+ 1 )-x

2

2

2

2

2

2

类推所得

a5=1000(1+ 1 )5-x(1+ 1 )4-x(1+ 1 )3-x(1+ 1 )2-x(1+ 1 )-x

2

2

2

2

2



1000(

3

)5-x[(

3

)4+(

3

)3+…+1]=2000



1000(

3

)5-x·

1

?

(

3 2

)5

? 2000,

2

22

2

1? 3

2

解得 x ? 424 万元

7、∵bn+1=bnq, ∴an+1an+2=anan+1q

∴an+2=anq,即 an?2 ? q an



a1=1,a3=q,a5=q2,……,知奇数项构成一个等比数列,故

a =qn-1 2n-1

由 a2=r,a4=rq,a6=rq2,……,知偶数项也构成一个等比数列,故 a2n=rqn-1

∴Cn=(1+r)qn-1

8、设每年付款 x 元,那么 10 年后

第一年付款的本利和为 a1=1.0759x 元。 第二年付款的本利和为 a2=1.0758x 元。

依次类推

第 n 年付款的本利和为 an=1.07510-nx 元。

则各年付款的本利和{an}为等比数列。

∴10 年付款的本利和为 S10= x(1 ? 1.075 10 ) 元 。 1 ?1.075

个人负担的余额总数为 72×1000-28800-14400=28800 元。 10 年后余款的本利和为 18800×1.07510

∴ x ?1?1.07510 ? 28800?1.07510 1 ? 1.075

解得 x= 28800 ?1.07510 ? 0.075 ? 4200 元 1.075 10 ?1









w



w

(

w

w

.

w

k

w

s

.

5

k

u

s

.

5

c

u

o

.

m

c



o



m



)












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