江西省南昌市2016_2017学年高二数学3月月考试题理

2016-2017 学年度下学期 3 月考 高二数学(理)试卷
一、选择题(本大题共 12 小 题,每小题 5 分,满分 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项 符合题目要求) 1、下列图形中不一定是平面图形的是( A.三角形 C.梯形 B.四边相等的四边形 D.平行四边形
0



2.用反证法证明命题: “三角形内角和至少有一个不大于 60 ”时,应假设( A. 三个内角都不大于 60
0



B. 三个内角都大于 60
0

0

C. 三个内角至多有一个大于 60

D. 三个内角至多有两个大于 60 )

0

1 1 1 * 3.设 f(n)=1+ + +?+ (n∈N ),那么 f(n+1)-f(n)等于( 2 3 3n-1 1 A. 3n+2 4.下列命题正确的是( 1 1 B. + 3n 3n+1 ) 1 1 C. + 3n+1 3n+2

1 1 1 D. + + 3n 3n+1 3n+2

A.平行于同一平面的两条直线平行 C.与某一平面成等角的两条直线平行

B.垂直于同一直线的两条直线平行 D.垂直于同一平面的两条直线平行

5.如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为 45°,腰和上底均为 1 的等腰梯形,那 么原平面图形的面积是( A.2+ 2 ) 2+ 2 C. 2 D.1+ 2

1+ 2 B. 2

6.设 m, n 是空间中两条不同的直线, ? , ? 是两个不同的平面,则下列命题中错误的是( ) A.若 m ? ? , n ? ? ,则 m / / n C.若 m ? ? , n ? ? , m ? n ,则 ? ? ? B.若 m ? ? , m ? ? ,则 ? / / ? D.若 m ? ? , m ? n ,则 n / /?

7.老师带甲乙丙丁四名学生去参加自主招生考试,考试结束后老师向四名学生了解考试情况,四名 学生回答如下:甲说: “我们四人都没考好” ;乙说: “我们四人中有 人考的好” ; 丙说: “乙和丁至少有一人没考好” ;丁说: “我 )

没考好” .结果,四名学生中有两人说对了,则四名学生中( 两人说对了.

1

A.甲 丙

B.乙 丁

C.丙 丁

D.乙 丙

8. 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有委米依垣内角,下周 八尺,高五尺。问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图,米堆为一个圆锥的四 分之一),米堆底部的弧长为 8 尺,米堆的高为 5 尺,问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知 1 斛米的体积约为 1.62 立方尺,圆周率约为 3,估算出堆放斛的米约有 A.14 斛 B.22 斛 C.36 斛 D.66 斛

9.如图,网格纸上正方形小格的边长为 1,图中粗线画出的是某几何体的三视图,则几何体的外接 球体积为( A. ) B.

4 3

4? 3

C. 3 3?

D. 4 3?

10. 已知四棱锥 S-AB CD 的底面是边长为 2 的正方形,AC、BD 相交于点 O , SO ? 面ABCD ,
SO ? 2 , E 是 BC 的中点,动点 P 在该棱锥表面上运动,并且总保持 PE ? AC , 则动点 P 的轨迹

的周长为 ( A.

) B. 2 ? 3 C. 2 ? 6 D.

2?2

2? 6 2

11.已知双曲线

x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的两条渐近线与抛物线 y 2 ? 4x 的准线分别交于 A, B 两 2 a b
)

点,O 为坐标原点.若△AOB 的面积为 3,则双曲线的离心率为 ( A.

3 2

B.2

C. 3

D.3

12. 已知函数 f ? x ? ?

ln x ? ln x, f ? x ? 在 x ? x0 处取得最大值,以下各式中:① f ? x0 ? ? x0 ② 1? x
1 1 ⑤ f ? x0 ? ? 正确的序号是( 2 2,
D. ③⑤ )

f ? x0 ? ? x0 ③ f ? x0 ? ? x0 ④ f ? x0 ? ?
A. ②④ B. ②⑤ C. ①④

二.填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分) 13. n 为正奇数时,求证:x +y 被 x+y 整除,当第二步假设 n=2k-1 命题为真时,进而需证 n =________,命题为真. 14.某四棱锥的三视图所示,该四棱锥的体积为________. 1 1 1 1 1 1 1 15.观察下列等式:1- = ,1- + - = + 2 2 2 3 4 3 4 1 1 1 1 1 1 1 1 1- + - + - = + + ,?? 2 3 4 5 6 4 5 6
2
n n

据此规律,第 n 个等式可为________. 16. 在平面上,我们如果用一条直线去截正方形的一个角,那么截下的一个直角三角形,按图所标 边长,由勾股定理有: c ? a ? b . 设想正方形换成正方体,把截线换成如图的截面,这时从正方
2 2 2

体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥 O—LMN, 如果用 s1 , s2 , s3 表示三个侧面面积,s4 表示截面面积, 那么你类比得到的结论是 .

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 75 分,解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤。 17.(本小题满分 10 分)以直角坐标系的原点 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知 曲线 C 的极坐标方程是 ? ? 4cos ? ,点 P 的直角坐标为 (3,1) ,直线 l 过点 P ,且倾斜角为 求曲线 C 的直角坐标方程; (2)若直线 l 与曲线 C 相交于 A, B 两点,求 PA ? PB 的值.

? , (1) 6

18.(本小题满分 12 分) 当 n 是正整数时,比较并证明 n 与 2 的大小

2

n

19. (本小题满分 12 分)如图所示的多面体 ABCDEF ,四边形 ABCD 是边长为 2 的正方形,面

BDFE ? 面 ABCD ,四边形 BDFE 为矩形, BE 长为 a , M 为 AE 的中点, AC ? BD ? O .(1)
求证: OM / / 平面 ADF ; (2)若 BF ? AE ,求三棱锥 E ? BOM 的
F

体积.
E

D

M C O

A

B

3

20. (本小题满分 12 分)已知三棱锥 P—ABC 中,PC ? 底面 ABC,AB=BC,D、F 分别为 AC、PC 的中点, DE ? AP 于 E。 (1)求证:AP ? 平面 BDE; (2)求证:平面 BDE ? 平面 BDF; (3)若 AE:EP=1:2,求 截面 BEF 分三棱锥 P—ABC 所成上、下两部分的体积比。

21.(本小题满分 12 分)已知函数 f ? x ? ?

p 2 x ? ln x ? p ? R ? . 2

(1)当 p ? 2 时,求曲线 y ? f ? x ? 在 1, f ?1? 处的切线方程; (2)当 p ? 1 时,求证: ? p ? 1? x ? f ? x ? ?

?

?

3e p ?3 . 2 p ?1

4

22.(本小题满分 12 分)如图,过点 P(0, 2) 的直线 l 与椭圆 C :

x2 ? y 2 ? 1 相交于 A, B 两点,过点 B 4

作 x 轴的平行线交椭圆于 D 点。 (1) 求证: 直线 AD 过定点 M 并求点 M 的坐标; (2) 求三角形 ABM 面积的最大值。
A y P

O B D

x

5

高二数学答案 一、选择题(本大题共 12 小 题,每小题 5 分,满分 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项 符合题目要求) 1、下列图形中不一定是平面图形的是(B ) A,三角形 B.四边相等的四边形 C.梯形 D.平行四边形
0

2.用反证法证明命题: “三角形内角和至少有一个不大于 60 ”时,应假设(B.) A. 三个内角都不大于 60
0

B. 三个内角都大于 60
0

0

C. 三个内角至多有一个大于 60 D. 三个内角至多有两个大于 60

0

1 1 1 * 3.(理科)1.设 f(n)=1+ + +?+ (n∈N ),那么 f(n+1)-f(n)等于( 2 3 3n-1 A. 1 3n+2 答案 D 4.下列命题正确的是(D ) A.平行于同一平面的两条直线平行 C.与某一平面成等角的两条直线平行 B.垂直于同一直线的两条直线平行 D.垂直于同一平面的两条直线平行 1 1 B. + 3n 3n+1 1 1 C. + 3n+1 3n+2 1 1 1 D. + + 3n 3n+1 3n+2

)

5.如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为 45°,腰和上底均为 1 的等腰梯形,那 么原平面图形的面积是( A.2+ 2 ) 2+ 2 C. 2 D.1+ 2

1+ 2 B. 2

1 【答案】选 A。 【解析】恢复后的原图形为一直角梯形 S= (1+ 2+1)×2=2+ 2.按照斜二测画法 2 得到的平面图形的直观图,其面积与原图形的面积有以下关系:

S 直观图=

2 S 原图形,S 原图形=2 2S 直观图. 4 )

6.设 m, n 是空间中两条不同的直线, ? , ? 是两个不同的平面,则下列命题中错误的是( A.若 m ? ? , n ? ? ,则 m / / n C.若 m ? ? , n ? ? , m ? n ,则 ? ? ? B.若 m ? ? , m ? ? ,则 ? / / ? D.若 m ? ? , m ? n ,则 n / /?

答案:D.解析:选项 D 正确为:若 m ? ? , m ? n ,则 n / /? 或 n ? ? . 7.老师带甲乙丙丁四名学生去参加自主招生考试,考试结束后老师向四名学生了解考试情况,四名 学生回答如下:甲说: “我们四人都没考好” ;乙说: “我们四人中有人考 的好” ; 丙说: “乙

6

和丁至少有一人没考好” ; 丁说: “我没考好” . 结果, 四名学生中有两人说对了, 则四名学生中 ( 两人说对了 . A.甲 丙 B.乙 丁 C.丙 丁 D.乙 丙



【答案】D【解析】试题分析:如果甲对,则丙、丁都对,与题意不符, 错,乙对,如果丙错,则丁错,因此只能是丙对,丁错,故选 D.考点: 推理. 8. 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问

故甲 合情

题 :

“今有委米依垣内角,下周八尺,高五尺。问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如 图,米堆为一个圆锥的四分之一),米堆为一个圆锥的四分之一),米堆底部的弧长为 8 尺,米堆的 高为 5 尺,问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知 1 斛米的体积约为 1.62 立方尺,圆周率约为 3,估算出堆放斛的米约有 A.14 斛 B.22 斛 C.36 斛 D.66 斛

【答案】B。 【解析】设圆锥底面半径为 r,则

1 16 ? 2 ? 3r ? 8 , r ? ,所以米堆的体积为 4 3

1 1 16 320 320 ? ? 3 ? ( )2 ? 5 = ,故堆放的米约为 ÷1.62≈22,故选 B. 4 3 3 9 9
9.如图,网格纸上正方形小格的边长为 1,图中粗线画出的是某几何体的三视图,则几何体的外接 球体积为(D. ) A.

4 3

B.

4? 3

C. 3 3?

D. 4 3?

答案 D.. 【解析】依题意,用正方体做依托,可知原几何体为三棱锥,如图所示. 10. 已知四 棱锥 S-ABCD 的底面是边长为 2 的正方形,AC 、BD 相交于点 O , SO ? 面ABCD ,
SO ? 2 , E 是 BC 的中点,

动点 P 在该棱锥表面上运动,并且总保持 PE ? AC , 则动点 P 的轨迹的周长为 ( C A. )

2?2

B. 2 ? 3

C. 2 ? 6

D.

2? 6 2

11.已知双曲线

x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的两条渐近线与抛物线 y 2 ? 4x 的准线分别交于 A, B 两 2 a b
)

点,O 为坐标原点.若△AOB 的面积为 3,则双曲线的离心率为 ( A.

3 2

B.2

C. 3 2

D.3

11.B

【解析】A 点坐标为 ( ?1, ) ,则由题意,得 S△AOB= 3.得

b a

b ? 3 ,所以双曲线的离心率 a
7

e ? 1?

b2 ?2 . a2
ln x ? ln x, f ? x ? 在 x ? x0 处取得最大值, 以下各式中: ① f ? x0 ? ? x0 1? x

12. (理科) 已知函数 f ? x ? ?

② f ? x0 ? ? x0 ③ f ? x0 ? ? x0 ④ f ? x0 ? ? A. ②④ 【答案】A B. ②⑤ C. ①④

1 1 ⑤ f ? x0 ? ? 正确的序号是( 2 2,
D. ③⑤



二.填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分) 13. (理科)n 为正奇数时,求证:x +y 被 x+y 整除,当第二步假设 n=2k-1 命题为真时,进而 需证 n=________,命题为真. 答案 2k+1
n n

14.某四棱锥的三视图所示,该四棱锥的体积为________. 14 答案.3 [解析] 正视图的长为 3,侧视图的长为 3,因此,该 1 锥底面是边长为 3 的正方形,且高为 1,因此 V= ×(3×3)×1=3. 3 1 1 1 1 1 1 1 15.观察下列等式:1- = ,1- + - = + 2 2 2 3 4 3 4 1 1 1 1 1 1 1 1 1- + - + - = + + ,?? 2 3 4 5 6 4 5 6 据此规律,第 n 个等式可为________. 1 1 1 1 1 1 1 1 答案 1- + - +?+ - = + +?+ 2 3 4 2n-1 2n n+1 n+2 2n 解析 观察等式知:第 n 个等式的左边有 2n 个数相加减,奇数项为正,偶数项为负,且分子为 1, 1 1 1 1 1 1 1 分母是 1 到 2n 的连续正整数, 等式的右边是 + +?+ .故答案为 1- + - +?+ n+1 n+2 2n 2 3 4 2n-1
8

四棱



1 1 1 1 = + +?+ . 2n n+1 n+2 2n

16. 在平面上,我们如果用一条直线去截正方形的一个角,那么截下的一个直角三角形, 按图所标边长,由勾股定理有: c ? a ? b . 设想正方形换成正方体,把截线换成如图的截面,这
2 2 2

时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥 O—LMN,如果用 s1 , s2 , s3 表示三个侧面面积, s4 表示 截面面积,那么你类比得到的结论是 .

2 2 2 解: S12 ? S 2 。 ? S3 ? S4

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 75 分,解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤。 17.(本小题满分 10 分)以直角坐标系的原点 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知 曲线 C 的极坐标方程是 ? ? 4cos ? ,点 P 的直角坐标为 (3,1) ,直线 l 过点 P ,且倾斜角为 求曲线 C 的直角坐标方程; (2)若直线 l 与曲线 C 相交于 A, B 两点,求 PA ? PB 的值. 【解析】 : (1)由 ? ? 4cos ? 得 ? 2 ? 4? cos? . ∵ x ? y ? ? , x ? ? cos? , y ? ? sin ? ,
2 2 2

? , (1) 6

∴曲线 C 的直角坐标方程为 x2 ? y 2 ? 4 x ? 0 ,即 ? x ? 2? ? y 2 ? 4 .
2

? 3 x ? 3? t, ? ? 2 代入曲线 C 的方程化简得 t 2 ? ( 3 ?1)t ? 2 ? 0 . (2)将 ? ? y ? 1? 1 t ? ? 2
设 A, B 两点对应的参数分别为 t1 、 t 2 ,则 t1t2 ? ?2.
2

PA ? PB ? t1t2 ? 2
n

18.(理科) (本小题满分 12 分) 比较并证明 n 与 2 的大小 [解析] 当 n=1 时, n < 2 ; 当 n=2 时, n = 2 ; 当 n=3 时, n > 2 ;
2
n

2

n

2

n

9

当 n=4 时, n = 2 ; 当 n=5 时, n < 2 ; 当 n=6 时, n < 2n ,?, 猜想:当 n ? 5 时, n < 2 ??????????????????????6
2
n

2

n

2

n

2

下面下面用数学归纳法证明: (1)当 n=5 时,由上面的探求可知猜想成立??????????????..7 分
k 2 (2)假设 n=k( k ? 5 )时猜想成立,即 2 ? k ????????????..8 分 k 2 则 2 ? 2 ? 2k ,? 2k 2 ? (k ? 1)2 ? k 2 ? 2k ? 1 ? (k ? 1)2 ? 2 ,当 k ? 5 时 (k ? 1)2 ? 2 ? 0

? 2k 2 ? (k ? 1)2 ,从而 2k ?1 ? (k ? 1)2
所以当 n=k+1 时,猜想也成立??????????????????????11 分 综合(1) (2) ,对 n ? N 猜想都成立???????????????????12 分 19. (本小题满分 12 分)如图所示的多面体 ABCDEF ,四边形 ABCD 是边长为 2 的正方形,面
?

BDFE ? 面 ABCD ,四边形 BDFE 为矩形, BE 长为 a , M 为 AE 的中点, AC ? BD ? O .(1)
求证: OM / / 平面 ADF ; (2)若 BF ? AE ,求三棱锥 E ? BOM 的体积.

F E
N

F E

D

M C O
A

M D O C

A

B

B

解: (1)证明:取 AF 中点 N ,连接 MN , DN ,

MN / / EF , MN ?

1 1 EF , OD / / EF , OD ? EF ,? MN / /OD, MN ? OD , 2 2

四边形 MNDO 为平行四边形,?OM / / ND, ND ? 平面 ADF , OM ? 平面 ADF , OM / / 平 面 ADF (Ⅱ)面 BDEF ? 面 ABCD ,正方形 ABCD 中 AC ? BD ,所以 AC ? 平面 BDEF ,所以

10

AC ? BF ,若 BF ? AE ,则 BF ? 平面 ACE , BF ? OE ,在矩形 BDEF 中,得 a ? 2

1 1 BE 1 VE ? BOM ? VA? BOM ? VM ? AOB ? ? ? AO ? BO ? ? 3 2 2 3
解法二:补形成正方体。 20. (本小题满分 12 分)已知三棱锥 P—ABC 中,PC ? 底面 ABC,AB=BC,D、F 分别为 AC、PC 的中点, DE ? AP 于 E。 (1)求证:AP ? 平面 BDE; (2)求证:平面 BDE ? 平面 BDF; (3)若 AE:EP =1:2,求 截面 BEF 分三棱锥 P—ABC 所成上、下两部分的体积比。 20. (1)证明:? PC ? 平面 ABC,

BD ? 平面ABC, ? PC ? BD ,由 AB=BC,D 为 AC 的
点,得 BD ? AC, 又



PC ? AC ? C,? BD ? 平面PAC, 又 PA ? 平面PAC,? BD ? PA. 由已知
DE ? PA, DE ? BD ? D, ? AP ? 平面BDE. ???5 分
(2) (方法一)由 BD ? 平面PAC, DE ? 平面PAC, 得BD ? DE, 由 D、F 分别为 AC、PC 的中 点,得 DF//AP, 由已知: DE ? AP,? DE ? DF, BD ? DF ? D,? DE ? 平面BDF, 又

DE ? 平面BDE,? 平面BDE ? 平面BDF.
(方法二)由(1)? BD ? 平面PAC, DE, DF ? 平面PAC

? BD ? DE, BD ? DF, ? ?EDF 为二面角 E—BD—F 的平面角
由 D、F 分别为 AC、PC 的中 点,得 DF//AP 由已知: DE ? AP,? DE ? DF,

? ?EDF ? 90?,? 平面BDE ? 平面BDF. ???10 分
(3)设点 E 和点 A 到平面 PBC 的距离分别为 h1和h2 , 则 h1 : h2 ? EP : AP ? 2 : 3,

1 ?h S VP ? EBF VE ? PBF 3 1 ?PBF 2 1 ? ? ? ? ? . VP ? ABC V A? PBC 1 3? 2 3 ? h2 S ?PBC 3
故截面 BEF 分三棱锥 P—ABC 所成上、下两部分体积的比为 1:2。??14 分 21.(理科) (本小题满分 12 分)已知函数 f ? x ? ?

p 2 x ? ln x ? p ? R ? . 2
11

(1)当 p ? 2 时,求曲线 y ? f ? x ? 在 1, f ?1? 处的切线方程; (2)当 p ? 1 时,求证: ? p ? 1? x ? f ? x ? ?

?

?

3e p ?3 . 2 p ?1
1 ,因为 f ' ?1? ? 1, f ?1? ? 1,故所求切线方 x

21.解: (1)依题意, f ? x ? ? x2 ? ln x ,故 f ' ? x ? ? 2 x ? 程为 y ? x . (2)? p ? 1 ,令 g ? x ? ? ? p ? 1? x ? f ? x ? ? ? p ? 1? x ?

p 2 x ? ln x ,故 2

g ' ? x ? ? p ? 1 ? px ?

1 ? px ? 1??1 ? x ? ? ,可得函数 g ? x ? 的单调递增区间为 ? 0,1? ,单调递减区间 x x
1 p ? 1 .又 2

为 ?1, ??? ,? g ? x ? 在 x ? 1 时取得的极大值,并且也是最大值,即 g ? x ? max ?

p ? ? ?1 ? 2 p ? 1 ? 0,? ? 2 p ? 1? ?? p ? 1? ? x 2 ? ln x ? ? ? 2 p ? 1? ? p ? 1? .设 2 ? ? ?2 ?

h ? p? ?

? 2 p ? 1? ? ?
e

p ?3

1 ? p ? 1? 2 ? ?

? p ? 1? ,则 h ' ? p ?

?2 p ??

2

? 9 p ? 7?
p ?3

2e

??

? p ?1?? 2 p ? 7 ? ,
2e p ?3

所以 h ? p ?

的单调递增区间为 ?1, ? ,单调递减区间为 ?

? 7? ? 2?

?7 ? , ?? ? ,所以 ?2 ?

?7? h ? p? ? h ? ? ? ?2?

6? e

3 4 ? 9 ,? 2 e ? 3,? 9 ? 9 ? 3,? h ? p ? ? 3 ,又 1 2 e 2 e 3 2

p 3e p ?3 ? ? . ? e p ?3 ? 0,? ? 2 p ? 1? ?? p ? 1? x ? x 2 ? ln x ? ? 3e p ?3 ,即 ? p ? 1? x ? f ? x ? ? 2 2 p ?1 ? ?

22.(本小题满分 12 分)如图,过点 P(0, 2) 的直线 l 与椭圆 C :

x2 ? y 2 ? 1 相交于 A, B 两点,过点 B 4

作 x 轴的 平行线交椭圆于 D 点。 (1) 求证: 直线 AD 过定点 M 并求点 M 的坐标; (2) 求三角形 ABM 面积的最大值。

12

y P A

O B D

x

22.【解】 (1)显然直线 l 不垂直 x 轴,设 l 的方程为 y ? kx ? 2 ,

? y ? kx ? 2 ? 由 ? x2 得 (1 ? 4k 2 ) x2 ? 16kx ? 12 ? 0 . 2 ? ? y ?1 ?4
由△ ? 256k 2 ? 48(1 ? 4k 2 ) ? 64k 2 ? 48 ? 0 得 k ?
2

3 3 3 或k ? ,? k ? ? 4 2 2
x1 x2 ? 12 ② 1 ? 4k 2

设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) , D(? x2 , y2 ) ,则 x1 ? x2 ?

k AD

?16k ,① 1 ? 4k 2 y ?y kx ? 2 ? (kx1 ? 2) k ( x2 ? x1 ) k ( x1 ? x2 ) ? 2 1 ? 2 ? ? ? x2 ? x1 ? x2 ? x1 ? x2 ? x1 x2 ? x1

直线 AD 方程为, y ? y1 ? 化简得: y ?

k ( x1 ? x2 ) k ( x1 ? x2 ) kx 2 ? kx2 x1 ( x ? x1 ), y ? x? 1 ? kx1 ? 2 x2 ? x1 x2 ? x1 x2 ? x1

k ( x1 ? x2 ) 2kx1 x2 k ( x1 ? x2 ) 1 x? ? 2 ,将①②代入得 y ? x? x2 ? x1 x2 ? x1 x2 ? x1 2
1 2

直线 AD 过定点 M (0, ) (2) S ? ABM ? S ? PBM ? S ? PAM ?

1 3 PM ? | x2 ? x1 |? | x1 ? x2 | 2 4

?

3 3 256k 2 48 3 64k 2 ? 48 ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ? ? ? 4 4 (1 ? 4k 2 ) 2 1 ? 4k 2 4 (1 ? 4k 2 ) 2

?

3 64k 2 ? 48 4k 2 ? 3 1 ? 3 ?3 2 2 2 2 2 16 4 (1 ? 4k ) (4k ? 3) ? 8(4k ? 3) ? 16 4k 2 ? 3 ? 2 ?8 4k ? 3
1 4k 2 ? 3 ?
2

=3

16 ?8 4k 2 ? 3

?3

1 3 ? 8?8 4

当且仅当 4k ? 3 ?

16 7 2 即 k ? 时取等号。 2 4k ? 3 4

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