新编(人教A版)高中数学必修一-课件:第二章 2.1 2.1.2 第1课时 指数函数图象及其性质_图文

2.1.2 指数函数及其性质 第1课时 指数函数图象及其性质 考 纲 定 位 重 难 突 破 1.理解指数函数的概念和意义,能 重点:1.指数函数的概念和意义. 借助计算器或计算机画出指数函 数的图象. 2.指数函数的图象和性质. 难点:指数函数的图象和性质的 2.初步掌握指数函数的有关性质. 应用. 01 课前 自主梳理 02 课堂 合作探究 03 课后 巩固提升 课时作业 [自主梳理] 一、指数函数的定义 x 函数 y=a (a>0 且 a≠1)叫作指数函数,其中 x 是自变量,函数的定义域是 R. 二、指数函数的图象和性质 a>1 0<a<1 图象 a> 1 定义域 值域 性质 过定点 函数值 的变化 单调性 过点 (0,1) 当 x>0 时, y>1 当 x<0 时,0<y<1 是 R 上的 增函数 R (0,+∞) 0<a<1 ,即 x= 0 时,y= 1 0<y<1 ; ; 当 x>0 时, 当 x<0 时, y>1 是 R 上的 减函数 a>1 对称关系 底数 a 性质 对函数 图象的 影响 函数 y=a 与函数 x 0<a<1 ? y=? ? 1? x ? 的图象关于 y 轴 对称 a? 当 a>1 时,a 的值越大,图象越靠近 y 轴,递增速 度越快. 当 0<a<1 时,a 的值越小,图象越靠近 y 轴,递减 的速度越快. [双基自测] 1.函数 y=2x 的图象是( ) 答案:D 2.函数 f(x)=ax 的图象经过点(1,2),则 f(0)的值是________,a=________. 答案:1 2 3.函数 f(x)=2x 与 y 轴的交点坐标为________. 答案:(0,1) 4.函数 y=(a-2)x 在 R 上是增函数,则实数 a 的取值范围是________. 答案:a>3 探究一 [典例 1] 指数函数的概念 下列函数中,哪些是指数函数? + (1)y=10x;(2)y=10x 1;(3)y=-4x;(4)y=xx;(5)y=xα(α 是常数). [解析] (1)y=10x 符合定义,是指数函数; (2)y=10x+1 中指数是 x+1 而非 x,不是指数函数; (3)y=-4x 中系数为-1 而非 1,不是指数函数; (4)y=xx 中底数和指数均是自变量 x,不符合指数函数定义,不是指数函数; (5)y=xα 中底数是自变量,不是指数函数. 判断一个函数是否是指数函数,关键是看解析式是否符合 ax(a>0,a≠1)这一结 构形式.指数函数具有以下特征: (1)底数 a 为大于 0 且不等于 1 的常数,不含有自变量 x; (2)指数位置是自变量 x,且 x 的系数是 1; (3)ax 的系数是 1. 1.函数 f(x)=(a2-3a+3)ax 是指数函数,则有( A.a=1 或 a=2 C.a=2 解析:由指数函数的定义知: 2 ? ?a -3a+3=1 ? ? ?a>0且a≠1 ) B.a=1 D.a>0 且 a≠1 ∴a=2(a=1 舍去). 答案:C 探究二 利用指数函数单调性比较大小 [典例 2] 比较下列各组数的大小: (1)1.52.5 和 1.53.2; (2)0.6-1.2 和 0.6-1.5; (3)1.50.3 和 0.81.2. [解析] (1)函数 y=1.5x 在 R 上是增函数, ∵2.5<3.2,∴1.52.5<1.53.2. (2)函数 y=0.6x 在 R 上是减函数, ∵-1.2>-1.5,∴0.6-1.2<0.6-1.5. (3)由指数函数的性质知 1.50.3>1.50=1, 而 0.81.2<0.80=1, ∴1.50.3>0.81.2. 三类指数式的大小比较问题: (1)底数相同、指数不同:利用指数函数的单调性解决. (2)底数不同、指数相同:利用指数函数的图象解决.在同一平面直角坐标系中画 出各个函数的图象,依据底数 a 对指数函数图象的影响,按照逆时针方向观察, 底数在逐渐增大,然后观察指数所取值对应的函数值即可. (3)底数不同、指数也不同:采用介值法(中间量法).取中间量 1,其中一个大于 1, 另一个小于 1;或者以其中一个指数式的底数为底数,以另一个指数式的指数为 指数.比如,要比较 ac 与 bd 的大小,可取 ad 为中间量,ac 与 ad 利用函数的单调 性比较大小,bd 与 ad 利用函数的图象比较大小. 2.比较下列各数的大小: (1) 3.6-2 和 3.62; (2)0.5-1.5 和 0.5-1.8; (3)2.10.1 和 0.90.1. 解析:(1)函数 y=3.6x 在 R 上是增函数,-2<2, ∴3.6-2<3.62. (2)函数 y=0.5x 在 R 上是减函数,-1.5>-1.8, ∴0.5-1.5<0.5-1.8. (3)2.10.1>2.10=1,0.90.1<0.90=1, ∴2.10.1>0.90.1. 探究三 [典例 3] [解析] 利用指数函数单调性解不等式 如果 a-5x>ax+7(a>0,a≠1),求 x 的取值范围. x 7 (1)当 0<a<1 时,y=a 为减函数,则-5x<x+7,解得 x>- . 6 (2)当 a>1 时,y=ax 为增函数, 则-5x>x+7, 7 ∴x<- , 6 7 综上,当 0<a<1 时,x∈(- ,+∞), 6 7 当 a>1 时,x∈(-∞,- ). 6 解指数不等式应注意的问题: (1)形如 ax>ab 的不等式,借助于函数 y=ax 的单调性求解,如果 a 的取值不确定, 需分 a>1 与 0<a<1 两种情况讨论; (2)形如 ax>b 的不等式, 注意将 b 转化为以 a 为底数的指数幂的形式, 再借助于函 数 y=ax 的单调性求解; (3)形如 ax>bx 的不等

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