最新2018-2019学年苏教版高中数学必修4章末综合检测02 Word版含解析

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章末综合测评(二) 平面向量

(时间 120 分钟,满分 160 分)

一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.请把答案填写在题

中横线上)

1.已知作用在点 A(1,1)的三个力 F1=(3,4),F2=(2,-5),F3=(3,1),则合 力 F=F1+F2+F3 的终点坐标是________.
【解析】 ∵F=(8,0),∴终点坐标为(8,0)+(1,1)=(9,1).

【答案】 (9,1)

2.B→A-B→C+A→B+A→C=________.

【解析】 原式=C→A+A→C+A→B=0+A→B=A→B .

【答案】

→ AB

3.若向量 a=(1,1),b=(1,-1),c=(-1,2),若 c=λa+μb,则 λ,μ 的值

分别是________.

【解析】 ∵c=λa+μb,

∴(-1,2)=(λ,λ)+(μ,-μ),

∴???-2=1=λ-λ+μ,μ,

??λ=12, ∴???μ=-32.

【答案】 12,-32

4.已知两点 A(4,1),B(7,-3),则与向量A→B同向的单位向量的坐标是

________.



【解析】

A→B=(3,-4),|A→B|=5,∴e=

AB →

=15(3,-4)=???35,-45???.

|AB|

【答案】 ???35,-45???

5.(2016·镇江高一检测)已知向量 a=(3x,1),b=(2,-5),若 a∥b,则 x=

________.

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【解析】 ∵a∥b,∴-15x=2,x=-125. 【答案】 -125 6.若|a|=1,|b|=2,a·b=-1,则|a-b|=________. 【解析】 ∵|a|=1,|b|=2,a·b=-1 ∴|a-b|= a2-2a·b+b2= 1+2+4= 7. 【答案】 7 7.平面向量 a,b 中,若 a=(4,-3),|b|=1,且 a·b=5,则向量 b=________.
?x2+y2=1, 【解析】 设 b=(x,y),则??4x-3y=5,

??x=45, ∴???y=-35,

即 b=???45,-35???.

【答案】 ???45,-35??? 8.(2016·扬州高一检测)下列 5 个说法: ①共线的单位向量是相等向量; ②若 a,b,c 满足 a+b=c 时,则以|a|,|b|,|c|为边一定能构成三角形; ③对任意的向量,必有|a+b|≤|a|+|b|; ④(a·b)c=c(b·c); ⑤(a+b)·c=a·c+b·c.其中正确的是________. 【解析】 共线也有可能反向,故①不正确;若|a|=0,显然不能构成三角 形,故②不正确;由数量积的性质知④不正确;由向量加法的三角形法则知③正 确;由数量积的性质知⑤正确. 【答案】 ③⑤ 9.(2016·南京高一检测)已知 a=(1,n),b=(-1,n),且 2a-b 与 b 垂直, 则|a|等于________. 【解析】 2a-b=(3,n),∵(2a-b)·b=0,∴n2-3=0,∴n2=3,∴|a|2 =1+n2=4,∴|a|=2. 【答案】 2

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10.已知向量 a=(2,-1),b=(x,-2),c=(3,y),若 a∥b,(a+b)⊥(b

→ -c),M(x,y),N(y,x),则向量MN的模为________.

【解析】 ∵a∥b,∴2×(-2)-(-1)x=0,解得 x=4,

∴b=(4,-2),∴a+b=(6,-3),b-c=(1,-2-y).

∵(a+b)⊥(b-c),∴(a+b)·(b-c)=0,

即 6-3(-2-y)=0,解得 y=-4,

∴M→N=(y-x,x-y)=(-8,8),∴|M→N|=8 2.

【答案】 8 2

11.(2016·泰州高一检测)△ABC 是边长为 2 的等边三角形,已知向量 a,b

满足A→B=2a,A→C=2a+b,则下列结论正确的是________.

(1)|b|=1;(2)a⊥b;(3)a·b=1;(4)(4a+b)⊥B→C.

【解析】 如图△ABC 是边长为 2 的等边三角形.

由已知 b=A→C-2a=A→C-A→B=B→C,

显然(1)(2)(3)错,(4a+b)·B→C=2A→B·B→C+|B→C|2=2×2×2×cos23π+22=0,∴

→ (4a+b)⊥BC.

【答案】 (4)







12.如图 1,非零向量OA=a,OB=b,且 BC⊥OA,C 为垂足,若OC=λa,

则 λ=________.

图1

【解析】 B→C=O→C-O→B=λa-b,∵B→C⊥O→A,∴a·(λa-b)=0,则 λ=a|a·|b2.

【答案】

a·b |a|2

13.已知向量 a=(6,2),b=???-4,12???,直线 l 过点 A(3,-1)且与向量 a+2b

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垂直,则直线 l 的方程为________. 【解析】 ∵a+2b=(-2,3), 在 l 上任取一点 P(x,y),则有A→P⊥(a+2b), → ∴AP·(a+2b)=0, ∴(x-3,y+1)·(-2,3)=0, ∴2x-3y-9=0. 【答案】 2x-3y-9=0 14.已知O→A=(2,2),O→B=(4,1),O 为坐标原点,在 x 轴上求一点 P,使A→P·B→P
有最小值,则 P 点坐标为________. 【解析】 设 P(x,0),∴A→P·B→P=(x-2,-2)·(x-4,-1)=(x-2)(x-4)+2
=x2-6x+10=(x-3)2+1,当 x=3 时,A→P·B→P有最小值,∴P(3,0). 【答案】 (3,0) 二、解答题(本大题共 6 小题,共 90 分.解答时应写出文字说明、证明过程
或演算步骤) 15.(本小题满分 14 分)在平行四边形 ABCD 中,A→B=a,A→D=b, (1)如图①,如果 E,F 分别是 BC,DC 的中点,试用 a,b 分别表示B→F,D→E. (2)如图②,如果 O 是 AC 与 BD 的交点,G 是 DO 的中点,试用 a,b 表示A→G.
图2 【解】 (1)B→F=B→C+C→F=A→D+12C→D=A→D-12A→B=-12a+b. D→E=D→C+C→E=A→B-12A→D=a-12b. (2)B→D=A→D-A→B=b-a, ∵O 是 BD 的中点,G 是 DO 的中点,
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∴B→G=34B→D=34(b-a),

∴A→G=A→B+B→G=a+34(b-a)

=14a+34b. 16.(本小题满分 14 分)已知平面向量 a=(1,x),b=(2x+3,-x),x∈R. (1)若 a⊥b,求 x 的值; (2)若 a∥b,求|a-b|. 【解】 (1)若 a⊥b,则 a·b=(1,x)·(2x+3,-x)=1×(2x+3)+x(-x)=0. 整理得 x2-2x-3=0,解得 x=-1 或 x=3. (2)若 a∥b,则有 1×(-x)-x(2x+3)=0,即 x(2x+4)=0,解得 x=0 或 x= -2. 当 x=0 时,a=(1,0),b=(3,0), ∴a-b=(-2,0),|a-b|=2.

当 x=-2 时,a=(1,-2),b=(-1,2),a-b=(2,-4),|a-b|= 22+?-4?2

=2 5. 17.(本小题满分 14 分)(2016·无锡高一检测)在平面直角坐标系 xOy 中,已
知点 A(-1,-2),B(2,3),C(-2,-1). (1)求以线段 AB,AC 为邻边的平行四边形的两条对角线的长;

(2)设实数 t 满足(A→B-tO→C)·O→C=0,求 t 的值.





→→

→→

【解】 (1)由题设,知AB=(3,5),AC=(-1,1),则AB+AC=(2,6),AB-AC

=(4,4).

→→

→→

所以|AB+AC|=2 10,|AB-AC|=4 2.故所求的两条对角线长分别为 4 2,

2 10.



→→

(2)由题设,知OC=(-2,-1),AB-tOC=(3+2t,5+t).

→ →→ 由(AB-tOC)·OC=0,得(3+2t,5+t)·(-2,-1)=0, 从而 5t=-11,所以 t=-151.

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18.(本小题满分 16 分)设两个向量 e1,e2 满足|e1|=2,|e2|=1,e1,e2 的夹 角为 60°,若向量 2te1+7e2 与 e1+te2 的夹角为钝角,求实数 t 的取值范围.
【解】 由向量 2te1+7e2 与 e1+te2 的夹角为钝角, 得?|22ttee11++77ee22?|··?|ee11++ttee22|?<0,

即(2te1+7e2)·(e1+te2)<0. 整理得:2te12+(2t2+7)e1·e2+7te22<0.(*) ∵|e1|=2,|e2|=1,〈e1,e2〉=60°. ∴e1·e2=2×1×cos 60°=1 ∴(*)式化简得:2t2+15t+7<0.

解得:-7<t<-12.

当向量 2te1+7e2 与 e1+te2 夹角为 180°时,

设 2te1+7e2=λ(e1+te2)(λ<0).

图3

?2t=λ 对比系数得?7=λt ,
?λ<0

?λ=- 14

∴??t=-

14 2

∴所求实数 t 的取值范围是

???-7,- 214???∪???- 214,-12???. 19.(本小题满分 16 分)设作用于同一点 O 的三个力 F1,F2,F3 处于平衡状 态,若|F1|=1,|F2|=2,F1 与 F2 的夹角为23π,如图 3 所示. 求:(1)F3 的大小; (2)∠F3OF2 的大小. 【解】 (1)F1、F2、F3 三个力处于平衡状态, 故 F1+F2+F3=0. 即 F3=-(F1+F2).

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∴|F3|=|F1+F2|= ?F1+F2?2 = F21+F22+2F1·F2 = 1+4+2×1×2cos 23π= 3. (2)如图所示,以 F2 所在直线为 x 轴,合力作用点为坐标 原点,建立直角坐标系,将向量 F1,F3 正交分解,设∠MOF3 =θ, 由受力平衡知

??|F3|·cos θ+|F1|cos???π-23π???=|-F2|,

? ??|F3|·sin

θ=|-F1|cos???23π-2π???,

??|F3|·cos θ=|-F2|-|F1|·cos π3,

即? ??|F3|sin

θ=|-F1|cosπ6.

?? 3cos θ=2-12,

将数值代入得? ??

3sin θ= 23,

∴θ=6π.

于是得∠F3OF2=π-π6=56π.

20.(本小题满分 16 分)在平面直角坐标系中,O 为坐标原点,已知向量 a

=(-1,2),且点 A(8,0),B(n,t),C(ksin θ,t),θ∈???0,2π???.

(1)若A→B⊥a,且|A→B|= 5|O→A|,求向量O→B;

(2)若向量A→C与向量 a 共线,当 k>4,且 tsin θ 取最大值 4 时,求O→A·O→C.





【解】 (1)因为AB=(n-8,t),且AB⊥a,

所以 8-n+2t=0,即 n=8+2t.





又|AB|= 5|OA|,

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所以 5×64=(n-8)2+t2=5t2,解得 t=±8.

则 n=24 或-8,

所以O→B=(24,8)或(-8,-8).





(2)因为AC=(ksin θ-8,t),AC与 a 共线,

所以 t=-2ksin θ+16.

又 tsin θ=(-2ksin θ+16)sin θ

=-2k???sin θ-4k???2+3k2,

当 k>4 时,1>4k>0,

所以当 sin θ=4k时,tsin θ 取得最大值3k2;

由3k2=4,得 k=8,此时 θ=π6,

→ 故OC=(4,8),

→→ 所以OA·OC=8×4+8×0=32.

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