2018年高中数学北师大版选修4-4课件:直线和圆的的极坐标方程_图文

直线和圆的的极坐标方程 【课标要求】 1.了解极坐标方程的意义. 2.掌握直线和圆的极坐标方程. 3.能够根据极坐标方程研究有关数学问题. 【核心扫描】 1.极坐标方程与直角坐标方程的互化.(重点) 2.能用曲线的极坐标方程解决相关问题.(难点) 自学导引 1.曲线的极坐标方程 一般地,在极坐标系中,如果平面曲线C上任意一点 的极坐标中至少有一个满足方程_____________ f(ρ,θ)=0 ,并且 坐标适合方程_____________ 的点都在曲线C上,那么 f(ρ,θ)=0 方程f(ρ,θ)=0叫做曲线C的极坐标方程. 2.常见曲线的极坐标方程 曲线 圆心在极点, 半径为 r 的圆 圆心为(r,0),半径 为 r 的圆 图形 极坐标方程 ρ=r (0≤θ<2π ) ________ ρ=2rcos θ ? π π? ? ? - ≤ θ ≤ ? 2 2? ? ? ? π ? 圆心为?r, 2 ? ? ? 半径 ?, ? 为 r 的圆 ρ=2rsin θ (0≤θ<π ) 过极点,倾斜角为 α 的直线 (1)________ θ=α (ρ∈R)或 θ =π+α (ρ∈R) ___________ (2)θ=α(ρ≥0)和 θ=π +α(ρ≥0) ρcos θ =a ? π π? ? ? - < θ < ? 2 2? ? ? ρsin θ =a (0<θ<π ) 过点(a, 0), 与极轴 垂直的直线 ? π ? 过点?a, 2 ? ? ? ?,与极 ? 轴平行的直线 名师点睛 1.曲线的极坐标方程与直角坐标方程的区别 由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一,即(ρ, θ),(ρ, 2π + θ),(- ρ,π +θ),(- ρ,-π + θ)都表示同一点的坐 标,这与点的直角坐标的唯一性明显不同.所以对于曲线 上的点的极坐标的多种表示形式,只要求至少有一个能满 足极坐标方程即可.例如对于极坐标方程 ρ= θ,点 ? ? ? ? π? π π ?π ? ?π ? ? ?π ? M? , ?可以表示为? , + 2π ?或? , - 2π ?或 ?4 4? ?4 4 ? ?4 4 ? ? ? 5π ? π? ? π ? ?π ? 其中, 只有? , ?的极坐标满足 ?- , ?等多种形式, ? 4 4 ? ?4 4? 方程 ρ= θ. ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2.求曲线的极坐标方程,就是在曲线上任找一点M(ρ,θ),探 求ρ,θ的关系,经常利用三角形和正弦定理. 3.在进行两种坐标间的互化时,我们要注意: (1)互化公式是有三个前提条件的,极点与直角坐标系的原 点重合;极轴与直角坐标系的横轴的正半轴重合;两种坐 标系的单位长度相同. (2)由直角坐标求极坐标时,理论上不是唯一的,但这里约定 在0≤θ<2π,ρ>0范围内求值. (3)由直角坐标方程化为极坐标方程,最后要化简. (4)由极坐标方程化为直角坐标方程时要注意变形的等价性, 通常要用ρ去乘方程的两端,应该检查极点是否在曲线上, 若在,是等价变形;否则,不是等价变形. 【思维导图】 题型一 圆的极坐标方程 ? 3π ? C?r, ? 2 ? ? ?的圆的极 ? 【例1】 在极坐标系中,求半径为 r,圆心为 坐标方程. [思维启迪] 解答本题先设圆上任意一点M(ρ,θ),建立等式转化为ρ,θ的极坐标方程,化简即可. 解 由题意知,圆经过极点O,OA为其一条直径,设M(ρ,θ)为圆上除点O,A以外的任 意一点,则|OA|=2r,连接AM,则OM⊥MA,在Rt△OAM中, |OM|=|OA|cos∠AOM, 即 ?3π ρ=2rcos? ? ? 2 经验证,点 ? ? -θ?,∴ρ=-2rsin θ , ? ? 3π ? ? ? O(0,0),A?2r, ?的坐标满足上式. ? 2 ? 所以满足条件的圆的极坐标方程为 ρ=-2rsin θ . 【反思感悟】 求轨迹方程时,我们常在三角形中利用正弦定 理找到变量ρ,θ的关系.在圆的问题中,经常用到直角三角 形中的边角关系. 【变式1】 在圆心的极坐标为A(4,0),半径为4的圆中,求过极点O的弦的中点的轨迹. 解 设M(ρ,θ)是轨迹上任意一点.连接 OM并延长交圆A于点P(ρ0,θ0),则有θ0= θ,ρ0=2ρ. 由圆心为(4,0),半径为4的圆的极坐标 方程为ρ=8cos θ, 得ρ0=8cos θ0.所以2ρ=8cos θ, 即ρ=4cos θ. 故所求轨迹方程是ρ=4cos θ.它表示以(2, 0)为圆心,2为半径的圆. 题型二 射线或直线的极坐标方程 π 【例2】 求过点 A(1,0)且倾斜角为 的直线的极坐标方程. 4 [思维启迪] 解答本题先设直线上任意一点M(ρ,θ),建立等式转化为关于ρ,θ的方程,再化简即可. 设 M(ρ, θ)为直线上除点 A π 以外的任意一点,则∠ xAM= , 4 3π ∠ OAM= , 4 π ∠ OMA= - θ, 4 在△ OAM 中,由正弦定理得 |OM| |OA| = , sin∠ OAM sin∠ OMA 解 法一 ?π ? ρ 1 2 ? ? 即 = ? ,∴ρsin? - θ?= , ? 2 3π π ?4 ? ? ? sin? -θ? sin 4 ?4 ? π π 2 ρ (sin cos θ - cos sin θ )= , 4 4 2 化简得 ρ(cos θ - sin θ )= 1, 经检验点 A(1, 0)的坐标适合上述方程, 所以满足条件的直线的极坐标方程为 ρ(cos θ -sin θ )= 1, π 5π 其中,0≤θ< (ρ≥0)和 <θ <2π (ρ≥0). 4 4 法二 以极点 O 为直角坐标原点,极轴为 x 轴,建立平面直角 π 坐标系 xOy,直线的斜率 k=tan = 1, 4 直线方程为 y

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