圆锥曲线测试题


《圆锥曲线》综合测试题
1、设定点 F ? 0, ?3? , F2 ? 0,3? ,动点 P ? x, y ? 满足条件 PF ? PF2 ? a ?a > 0? ,则动点 P 的轨迹是 1 1 ( ). A. 椭圆 2、抛物线 y ? B. 线段 C. 不存在 ) . D.椭圆或线段或不存在

1 2 x 的焦点坐标为( m
B.

A. ?

? 1 ? ,0 ? ?4m ?

? 1 ? ? 0, ? ? 4m ?

C.

?m ? ? ,0 ? ?4 ?
). D.

D. ? 0,

? ?

m? ? 4?

3、双曲线 mx 2 ? y 2 ? 1 的虚轴长是实轴长的 2 倍,则 m 的值为( A. ?

1 4

B. ?4

C. 4

1 4 7 ,则这 2

4、椭圆的中心为点 E (?1 0) ,它的一个焦点为 F (?3 0) ,相应于焦点 F 的准线方程为 x ? ? , , 个椭圆的方程是( A. ). B.

2( x ? 1)2 2 y 2 ? ?1 21 3 ( x ? 1) 2 ? y2 ? 1 5

2( x ? 1)2 2 y 2 ? ?1 21 3 ( x ? 1) 2 ? y2 ? 1 5

C.

D.

x2 y 2 9 F 的椭圆 ) ? ?1 上 三 个 不 同 的 点 , 则 5 、 设 A( x , y ) , B ( 4 , C, 2x ( 2y, 右 焦 点 为 是 ) 1 1 5 25 9
“ AF , BF , CF A.充要条件 6、P 是双曲线 成等差数列”是“ x1 ? x2 ? 8 ”的( C.充分不必要条件 ). D.既非充分也非必要

B.必要不充分条件

x 2 y2 - =1 的右支上一点,M、N 分别是圆(x+5)2+y2=4 和(x-5)2+y2=1 上的点, 9 16
). B.7 C.8 D.9

则|PM|-|PN|的最大值为( A. 6 7、设直线 l1 :

y ? 2 x ,直线 l 2 经过点(2,1),抛物线 C: y 2 ? 4 x ,已知 l1 、 l 2 与 C 共有三个交点,
). C.3 D.4

则满足条件的直线 l 2 的条数为( A. 1 B.2

8、如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,P 是侧面 BB1C1C 内一动点,若 P 到直线 BC 与直线 C1D1 的距离相 等,则动点 P 的轨迹所在的曲线是( A.直线
2

). D. 圆

B. 抛物线

C.双曲线

D1 B1 P D

C1

y2 9、 过双曲线 M: x ? 2 ? 1的左顶点 A 作斜率为 1 的直线 l ,若 l 与双曲线 M 的 A 1 b
两 条渐近 线分 别相交于 B 、 C, 且|AB|=|BC|,则 双曲线 M 的 离心率 是 ( A. 10 ). B. 5 C.

C

A

B

10 3

D.

5 2
).

10、若抛物线 y ? ax 2 ? 1 上总存在两点关于直线 x ? y ? 0 对称,则实数 a 的取值范围是(

1 A.( , ??) 4

3 B.( , ??) 4

1 C.(0, ) 4

1 3 D.( , ) 4 4

11、已知双曲线的渐近线方程为 y=±

3 x ,则此双曲线的离心率为________. 4

12、 F , F2 是椭圆 1

x2 y 2 ? ? 1 的两个焦点,点 P 是椭圆上任意一点,从 F1 引∠ F1PF2 的外角平分线的 a 2 b2
.

垂线,交 F2 P 的延长线于 M,则点 M 的轨迹是

13、椭圆

4 14 x2 y 2 ? 2 ? 1(a, b ? 0) 的两个焦点为 F1、F2,点 P 在椭圆 C 上,且 |P F1|= ,| P F2|= , 2 3 3 a b

P F1⊥PF2. (1)求椭圆 C 的方程; (2)若直线 L 过圆 x +y +4x-2y=0 的圆心 M 交椭圆于 A、B 两点且 A、B 关于点 M 对称,求直线 L 的方 程.
2 2

14、 (本小题满分 12 分) 已知两定点 F1 ? 2, 0 , F2

?

? ?

???? ???? ? 2, 0 ,满足条件 PF2 ? PF1 ? 2 的点 P 的轨迹是曲线 E ,直线

?

y ? kx ? 1 与曲线 E 交于 A, B 两点.如果 AB ? 6 3 ,求直线 AB 的方程。

15、(本小题满分 12 分)

x2 y 2 5 ? 2 ? 1 (a ? 0,b ? 0) 的离心率为 . F1,F2 分别为左、右焦点, M 为左准 2 a b 2 ????? ????? 1 线与渐近线在第二象限内的交点,且 F1M ? F2 M ? ? . 4
如图,双曲线 (1)求双曲线的方程; (2)设 A(m, 和 B ? 0)

?1 ? ,? (0 ? m ? 1) 是 x 轴上的两点,过点 A 作斜率不为 0 的直线 l ,使得 l 交 0 ?m ?

双曲线于 C,D 两点,作直线 BC 交双曲线于另一点 E .证明直线 DE 垂直于 x 轴.

答案详解
1. D. 2. D. 3. A. 4. C. 5. A. 6. D.

7. C. 解:∵点 P(2,1)在抛物线内部,且直线 l1 与抛物线 C 相交于 A,B 两点,∴过点 P 的直线 l 2 再过 点 A 或点 B 或与 x 轴平行时符合题意,∴满足条件的直线 l 2 共有 3 条. 8. B. 解:易知点 P 到直线 C1D1 的距离为 PC1 .由 C1 是定点, BC 是定直线.据题意,动点 P 到定点 C1 的距离等于到定直线 BC 的距离.由抛物线的定义,知轨迹为抛物线.故选 B. 9. A.
2 解 : 据 题 意 , 直 线 l 的 方 程 为 y=x - 1, 代 入 双 曲 线 M 的 渐 近 线 x ?

y2 ? 0 方程得 b2

(b ?1) x ? 2 x ?1 ? 0 , 设 两 交 点 为 B( x , y ) , C ( x , y , 1 1 2 2 )
2 2



2 ? ? x1 ? x2 ? 1 ? b 2 , ∴ x1+x2=2x1x2. 又 ? ? ? x ?x ? 1 ? 1 2 1 ? b2 ?

1 ? 2 ? x1 ? 4 ? ,∴ b =9,∴ c ? 10 ,∴双曲线 M 的 | AB |?| BC | ,∴点 B 为 AC 的中点,∴2x1=1+x2,解得 ? ?x ? ? 1 ?2 2 ?

离心率 e= 10.

c ? 10 ,选 A. a

B. 提示:设 P、Q 关于 x ? y ? 0 对称,则可设直线 PQ 的方程为: y ? x ? b,由y ? x ? b 和
2

消去 y 得 , ax y ? ax2 ? 1 联立,

? x ? b ? 1 ? 0 .?△=1+4 a(b ? 1) ? 0 ,??① 又 PQ 中点 M ( 1 , 1 ? b)
2a 2b

在 x ? y ? 0 上,得 b ? ?

1 ??② a

联立①②,解得 a

?

3 ,故选 B. 4

11. 答案:

5 5 a 3 4 5 5 或 . 解:据题意, ? 或 ,∴ e ? 或 . 3 4 b 4 3 3 4

12. 答案:

1 1 (a ? p) .提示:当线段 AB 过焦点时,点 M 到准线的距离最小,其值为 (a ? p) . 2 2

15. 答案:以点 F2 为圆心,以 2a 为半径的圆. 提示:∵|MP|=|F1P|,∴|PF1|+|PF2|=|MF2|=2a,∴ 点 M 到点 F2 的距离为定值 2a,∴点 M 的轨迹是以点 F2 为圆心,以 2a 为半径的圆.

13. 解 : (1) ∵ 点 P 在 椭 圆 C 上 , ∴ 2a ? PF ? PF2 ? 6 , a=3. 在 Rt △ PF1F2 中 , 1

F1 F2 ?

PF2 ? PF1
2

2

? 2 5, 故椭圆的半焦距 c= 5 ,从而 b2=a2 -c2=4, ∴椭圆 C 的方程为

x2 y2 ? =1. 9 4
(2)已知圆的方程为(x+2) +(y-1) =5,
2 2

∴圆心 M 的坐标为(-2,1). 由题意 x1 ? x2 且

设 A,B 的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2).

x1 y ? 1 ? 1, ??① 9 4
由①-②得

2

2

x2 y ? 2 ? 1, ??② 9 4
??③

2

2

( x1 ? x2 )(x1 ? x2 ) ( y1 ? y 2 )( y1 ? y 2 ) ? ? 0. 9 4

又∵A、B 关于点 M 对称,∴x1+ x2=-4, y1+ y2=2, 代入③得

y1 ? y 2 8 8 = ,即直线 l 的斜率为 , 9 9 x1 ? x2

∴直线 l 的方程为 y-1= (x+2) ,即 8x-9y+25=0. 此时方程(*)的 ? ? 0 ,故所求的直线方 程为 8x-9y+25=0.

8 9

19. 解 : 由 双 曲 线 的 定 义 可 知 , 曲 线 E 是 以 F1 ? 2, 0 , F2

?

? ?

2, 0 为 焦 点 的 双 曲 线 的 左 支 , 且

?

c ? 2, a ? 1 ,∴ b ? 1 , 故曲线 E 的方程为 x2 ? y 2 ? 1? x ? 0? .
设 A? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? ,由题意建立方程组 ?

? y ? kx ? 1, 2 2 消去 y ,得 ?1 ? k ? x ? 2kx ? 2 ? 0 . x 2 ? y 2 ? 1, ?

? 1 ? k 2 ? 0, ? 2 2 ?? ? ? 2k ? ? 8 ?1 ? k ? ? 0, ? 已知直线与双曲线左支交于两点 A, B ,∴ ? ? ? x ? x ? ?2k ? 0, 1 2 ? 1? k 2 ? ?2 ? x1 x2 ? ? 0, ? 1? k 2 ?
2 又∵ AB ? 1 ? k ? x1 ? x2 ? 1 ? k ?
2

∴ ? 2 ? k ? ?1 .

? x1 ? x2 ?
2 2 2

2

? 4 x1 x2

?2 ? ?2k ? ?2 ? 1? k 2 ? ? ? ? 4? 1? k 2 ? 1? k 2 ?
2

?1 ? k ?? 2 ? k ? ?1 ? k ? ,
2

依题意得 2

?1 ? k ?? 2 ? k ? ? 6 ?1 ? k ?
2 2 2 2

3 ,

4 2 整理后得 28k ? 55k ? 25 ? 0 ,

2 ∴k ?

5 5 2 或k ? 7 4

但 ? 2 ? k ? ?1

∴k ? ?

5 , 2

故直线 AB 的方程为

5 x ? y ?1 ? 0 . 2

20. 解:(1)根据题设条件, F (?c,0), F2 (c,0). 设点 M ( x, y ), 则 x 、 y 满足 1

? a2 x?? . ? ? c ? e ? c ? 5 , ∴可解得 M (? 2a , 2b ) ? a 2 5 5 ? y ? ? b x. ? a ?
????? ????? 2a 2b 2a 2b 4 4 1 故F1M .F2 M ? (? ? c, ) ? (? ? c, ) ? a 2 ? c 2 ? b 2 ? ? . 5 5 4 5 5 5 5
2 由 a 2 ? b2 ? c 2 , 得 c ?

5 1 , 于是 a 2 ? 1 , b 2 ? . 因此,所求双曲线方程为 x2 ? 4 y 2 ? 1. 4 4

(2)设点 C( x1 , y1 ), D( x2 , y2 ), E( x3 , y3 ), 则直线 l 的方程为

y?

y1 ( x ? m). x1 ? m ① ②

y1 ? ? y ? x ? m ( x ? m) 于是 C ( x1 , y1 ) 、 D( x2 , y2 ) 两点坐标满足 ? 1 ? x2 ? 4 y2 ? 1 ?

将①代入②得 ( x12 ? 2x1m ? m2 ? 4 y12 ) x2 ? 8my12 x ? 4 y12m2 ? x12 ? 2mx1 ? m2 ? 0. 由已知,显然 m2 ? 2 x1m ? 1 ? 0. 于是 x1 x2 ? ?

x12 ? 2mx1 ? m2 x12 . m2 ? 2 x1m ? 1

? x1 ? 0,

x1 ? 2m ? m2 x1 ∴ x2 ? ? 2 . m ? 2 x1m ? 1
y1 1 ? ( x ? ), ?y ? 1 m ? x1 ? ? m ? 2 2 ? x ? 4 y ? 1, ?

同理, C ( x1 , y1 ) 、 E ( x3 , y3 ) 两点坐标满足

1 1 ? ( ) 2 x1 m2 x1 ? 2m ? x1 m m 可解得 x3 ? ? ?? . 1 2 1 ? 2 x1m ? m2 ( ) ? 2 x1m ? 1 m x1 ? 2

所以 x2 ? x3 ,故直线 DE 垂直于 x 轴.


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