2018-2019学年最新高中数学苏教版选修2-3教学案:3.2 回归分析-含解析

1.线性回归模型 (1)随机误差 具有线性相关关系的两个变量的取值 x、y,y 的值不能由 x 完全确定,可将 x,y 之间 的关系表示为 y=a+bx+ε,其中 a+bx 是确定性函数,ε 称为随机误差. (2)随机误差产生的主要原因 ①所用的确定性函数不恰当引起的误差; ②忽略了某些因素的影响; ③存在观测误差. (3)线性回归模型中 a,b 值的求法 y=a+bx+ε 称为线性回归模型. a,b 的估计值为 a ∧,b ∧,则 ? ?b ∧= ∑x -n(x) ? ? ?a ∧=y-b ∧ - x i 1 n i=1 2 i n -- ∑ xiyi-n x y = 2 (4)回归直线和线性回归方程 直线 y_∧=a_∧+b_∧x 称为回归直线,此直线方程即为线性回归方程,a ∧称为回归 截距,b ∧称为回归系数,y ∧称为回归值. 2.样本相关系数 r 及其性质 i 1 n -- ∑ xiyi-n x y = (1)r= . n 2 2 2 2 (∑ x - n ( x ) )(∑ y - n ( y ) ) i i = = n i 1 i 1 (2)r 具有以下性质 ①|r|≤1. ②|r|越接近于 1,x,y 的线性相关程度越强. ③|r|越接近于 0,x,y 的线性相关程度越弱. 3.对相关系数 r 进行显著性检验的基本步骤 (1)提出统计假设 H0:变量 x,y 不具有线性相关关系. (2)如果以 95%的把握作出判断,那么可以根据 1-0.95=0.05 与 n-2 在教材附录 2 中 查出一个 r 的临界值 r0.05(其中 1-0.95=0.05 称为检验水平). (3)计算样本相关系数 r. (4)作出统计推断:若|r|>r0.05,则否定 H0,表明有 95%的把握认为 x 与 y 之间具有线性 相关关系;若|r|≤r0.05,则没有理由拒绝原来的假设 H0,即就目前数据而言,没有充分理由 认为 y 与 x 之间有线性相关关系. 1.在线性回归方程中,b 既表示回归直线的斜率,又表示自变量 x 的取值增加一个单 位时,函数值 y 的改变量. 2.通过回归方程 y ∧=a ∧+b ∧x 可求出相应变量的估计值. 3.判断变量之间的线性相关关系,一般用散点图,但在作图中,由于存在误差,有时 很难判断这些点是否分布在一条直线的附近,从而就很难判断两个变量之间是否具有线性 相关关系,此时就必须利用线性相关系数来判断. [例 1] 假设关于某设备的使用年限 x(年)和所支出的维修费用 y(万元)有如下的统计资料: x y 2 2.2 3 3.8 4 5.5 5 6.5 6 7.0 若由数据可知,y 对 x 呈现线性相关关系. (1)求线性回归方程; (2)估计使用年限为 10 年时,维修费用是多少? [思路点拨] 代入数值求线性回归方程,然后把 x=10 代入,估计维修费用. [精解详析] (1)列表如下: i xi yi xiyi x2 i 1 2 2.2 4.4 4 2 3 3.8 11.4 9 3 4 5.5 22.0 16 4 5 6.5 32.5 25 5 6 7.0 42.0 36 经计算得:x=4,y=5,∑5,i=1x2 i =90,∑5,i=1xiyi=112.3, a ∧=y-b ∧· x=0.08, 所以线性回归方程为 y ∧=a ∧+b ∧x=0.08+1.23x. (2)当 x=10 时,y ∧=0.08+1.23×10=12.38(万元), 即若估计使用年限为 10 年时,维修费用为 12.38 万元. [一点通] 线性回归分析的步骤: (1)列出散点图,从直观上分析数据间是否存在线性相关关系; 2 (2)计算 x,y,∑n,i=1x2 i ,∑n,i=1yi ,∑n,i=1xiyi; (3)代入公式求出 y ∧=b ∧x+a ∧中参数 b ∧,a ∧的值; (4)写出线性回归方程,并对实际问题作出估计. 1. 某研究机构对高三学生的记忆力 x 和判断力 y 进行统计分析,所得数据如下表: x y 6 2 8 3 10 5 12 6 则 y 对 x 的线性回归方程为_________________________________________________. - 6+8+10+12 - 2+3+5+6 解析:∵ x = =9, y = =4, 4 4 故 y 对 x 的线性回归方程为 y ∧=0.7x-2.3. 答案:y ∧=0.7x-2.3 2.某班 5 名学生的数学和物理成绩如表: 学生学科 数学成绩(x) 物理成绩(y) A 88 78 B 76 65 C 73 71 D 66 64 E 63 61 (1)画出散点图; (2)求物理成绩 y 对数学成绩 x 的线性回归方程; (3)一名学生的数学成绩是 96,试预测他的物理成绩. 解:(1)散点图如图. 1 (2)∵x= × (88+76+73+66+63)=73.2. 5 1 y= ×(78+65+71+64+61)=67.8. 5 i ∑ x y =88×78+76×65+73×71+66×64+63×61=25 054. = i i 1 5 i 1 5 又∑ x2=882+762+732+662+632=27 174. = i ∴y 对 x 的线性回归方程是 y ∧=0.625x+22.05. (3)当 x=96 时,y ∧=0.625×96+22.05≈82. 可以预测他的物理成绩是 82. [例 2] 现随机抽取了某中学高一 10 名在校学生,他们入学时的数学成绩(x)与入学后第一 次考试的数学成绩(y)如下: 学生号 x y 1 120 84 2 108 64 3 117 84 4 104 68 5 103 69 6 110 68 7 104 69 8 105 46 9 99 57 10 108 71 请问:这 10 名学生的两次数学成绩是否

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