处理高中数学恒成立问题的几种方法

[ 教学交流 处理高中数学恒成立问题的几种方法
汝州市第五高级中学/陈振杰 ◇◇
新课标形势下的高考越来越注重对学生的综合素质和 应用能力的考查,数学中的恒成立问题便是一个考查学生 各方面能力的典型问题。由于恒成立问题没有一个固定的 处理模式及思维方法,因此在各类考试中,给我们带来许 多的麻烦。这些试题一般综合性强,在考查学生基础知识 的同时,也考查学生对问题的分析能力及对综合知识的驾 驭能力。如何快速、准确地解答好这类问题,我通过潜心 研究,常常用以下几种方法来处理。
一、化归二次函数法

解得a≥3或a≤-1 所以a的取值范围是a≥3或a≤-1
三、应用导数法

对于含有高次幂的函数及含有 e x或㏑ x 形式的函数, 很难应用基本的初等函数知识来解决恒成立问题,不妨我 们通过函数的求导、利用函数的单调性、极值(最值)来解 决,从而求的参数的取值范围。 例3.设函数f(x)=x3-6x+5 (x∈R),若关于x的方程f(x)=a 恒有三个不等的实根,求实数a的取值范围。 解:f(x)=x3-6x+5 (x∈R) 则f'(x)=3x2-6 令f'(x)=0 解得:x1=
2

我们高中生对二次函数不陌生,但对二次函数能真正 做到灵活应用,还存在一定的难度。在综合试题中,构造 二次函数,运用二次方程的实根分布、对称轴、存在性等 相关知识,求得参数的取值范围。 例1:已知命题p:指数函数f(x)=(2a-6) 在R上单调递 减,命题q:关于x的方程x2-3ax+2a2+1=0的两个实数根恒 大于3。若p或q为真,p且q为假,求实数a的取值范围。 解:若p为真,则f(x)在R上单调递减。则0<2a-6<1 若q为真,则令f(x)= x2-3ax+2a2+1,应满足:
?? = (?3a) 2 ? 4(2a 2 + 1) ≥ 0 ? 3a ? ? (? ) ? 3 ? 2 ? ? f (3) = 9 ? 9a + 2a 2 + 1 ? 0 ?
x

x2=2

2

当x> 当 -

2 2

或x<<x<
2 2

时f'(x)>0

时f'(x)<0
2

则:当x=当x= 当5-4
2 2

时 f(x)max=5+4
2

7 得到3<a< 2

时f(x)min= 5-4 <a<5+4
2

时,直线y=a和y= f(x)的图像恒有

三个不同的交点。
四、数形结合法

所以a> 2 又由题意可知:应有p真q假或p假q真两种情况: ①若p真q假, ? ?
7 ? 3 ?a ? 2 5 ? a≤ 2 ?

5

数形结合是解决函数问题的一种常见方法,在解决数 学的恒成立问题中也经常用到,巧妙地应用数形结合可以 达到事半功倍的良好效果。 例4.已知函数f(x)= ?? 1 x + 3
? ? 2 ? ? 2
x ?1

得a无解
5 7 ?a≤3 得2 或a ≥

( x ≤ 2) ( x > 2)

7 ? a ≤ 3 或a ≥ 2 ②若p假q真,则 ? ? 5 ? a? 2 ?
5

,若互不相等的

2

实数a、b、c满足a<b<c且恒有f(a)= f(b)= f(c),求a+b+c的取 值范围。
1 ? x+3 解:由于f(x)= ? ? ? 2 ? ? 2
x ?1

则 实数的取值范围是: 2 ? a ≤ 3 或a ≥
二、分类讨论法

7 2

( x ≤ 2) ( x > 2)
? ? 1 ? x ?1 ( x ≤ 1) ? ? ? ? ?2? ? x ?1 (1 < x ≤ 2) ?2 ? 1 ( x > 2) ?? 2 x + 3 ? ?

针对于含有绝对值运算符号的恒成立问题,去掉绝对 值运算符号是解决此类题型的关键,要根据试题的要求进 行适当的分类讨论。 例2.设函数f(x)=︱x-1︱+︱x-a︱若对于任何实数x恒 有f(x) ≥2成立,求实数a的取值范围。 解:对于 ? x∈R恒有f(x) ≥2成立,只需f(x)min ≥2即 可 ①当a≥1时,f(x)=︱x-1︱+︱x-a︱= 有f(x)min=a-1 ②当a<1时,同理可得f(x)min=1-a 所以有
? a ≥1 ? ?a ? 1 ≥ 2

由分类讨论可知f(x)= 数f(x)的图像
y (0,2) (2,2)

根据解析式得到函

则根据图像得到a+b+c的取值范围:4<a+b+c<6.
(1,1) (4,1)

x O

? 2 x ? a ? 1 ( x ≥ a) ? ? a ? 1 (1 ≤ x < a) ?? 2 x + a + 1 ( x < 1) ?

针对高中数学的恒成立问题,不一定只有上述的几种 方法,解决此类问题的关键是要抓住恒成立的实质,具体 问题具体分析。同时要想解决好此类问题,掌握基础知识 是关键,我们只有把基础知识牢固掌握然后灵活应用,才 能从中找出更多更巧妙的解题方法。



? a <1 ? ?1 ? a ≥ 2

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