2019学年高二数学下学期期末考试试题 理(新版)新人教版(1)

2019 学年高二数学下学期期末考试试题 理
一、选择题
1.在极坐标系中,圆 ? ? ?2sin? 的圆心的极坐标是( )

A.

???1,

? 2

? ??

B.

???1,

?

? 2

? ??

C. ?1,0? D. (1,? )

x ?1?1,

2.曲线的参数方程是{

t ( t 是参数, t ? 0 ),它的普通方程是( )

y ?1?t2

A. (x ?1)2 ( y ?1) ? 1( y ? 1)

B.

y

?

x(x ? 2) (1? x)2

(y

? 1)

C.

y ? 1 ?1( y ? 1) (1? x)2

D.

y ? 1 ?1( y ? 1) (1? x)2

3.点 P(x, y) 是椭圆 2x2 ? 3y2 ? 12 上的一个动点,则 x ? 2y 的最大值为( )

A. 22 B. 22 C. 6 D. 4
4.设曲线 y ? ax ? ln ? x ?1? 在点 ?0, 0? 处的切线方程为 y ? 2x ,则 a ? ( )

A.0

B.1

C.2

D.3

5.函数 f ? x? ? ? x ? 3?ex 的单调递增区间是( ) A. ???, 2? B. (0,3) C. ?1,4? D. ?2, ???
6.如图所示,阴影部分的面积是( )

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A. 2 3
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B. 2 ? 2 3

C. 32 D. 35

3

3

7.函数 f ? x? ? 1 x2 ? ln x 的单调递减区间为(

)

2

A. ??1,1? B. ???,1? C. ?0,1? D. ?1, ???

精品试卷

1

? 8.定积分 (2x ? ex )dx 的值为(

)

0

A. e ? 2 B. e ?1 C. e D. e ?1

9.若复数 z 满足 (3? 4i)z ? 4 ? 3i ,则 z 的虚部为( )

A. ?4 B. ? 4 C. 4 D. 4

5

5

10.已知 ?1-i?2 ? 1? i ( i 为虚数单位),则复数 z ? (

)

z

A. 1? i B. 1? i C. ?1? i D. ?1? i

11.设 f ? x?, g ? x? 分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数,当 x ? 0 时, f '? x? g ?x? ? f ?x? g '?x? ? 0 ,且 g ??3? ? 0 ,

则不等式 f ? x? g ?x? ? 0 的解集是( )

A. ??3,0? ??3, ??? B. (?3,0) ?(0,3) C. ???, ?3? ??3, ??? D. (??, ?3) ?(0,3)

12.已知函数 y ? x f ?? x? 的图象如图所示(其中 f '? x? 是函数 f ? x? 的导函数),下面四个图象中, y ? f ? x? 的图象
大致是( )

二、填空题

13.若复数

z

?1?

2i

,其中 i

是虚数单位,则

? ??

z

?

1 z

? ??

?

z

?

__________.

14.已知函数 f ? x? ? ax ln x , x ??0, ??? ,其中 a 为实数, f '(x) 为 f (x) 的导函数,若 f ?(1) ? 3,则 a 的值为

__________
15.已知函数 f ? x? ? 1 x3 ? ax2 ? x ?1有两个极值点,则实数 a 的取值范围是__________.
3

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x ? t ? 3,

x ? 2 cos? ,

16.在平面直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程为{y ? 3 ? t,

(参数 t

?R

),圆 C

的参数方程为{ y

?

2 sin ?

?

2,

? ? (参数? ? 0, 2? ),则圆 C 的圆心坐标为___________,圆心到直线 l 的距离为_____________.

三、解答题

17.已知曲线 C :

x2 4

?

y2 9

x ? 2 ? t, ? 1 ,直线 l :{y ? 2 ? 2t

( t 为参数).

1.写出曲线 C 的参数方程,直线 l 的普通方程;

2.过曲线 C 上任意一点 P 作与 l 夹角为 30 的直线,交 l 于点 A ,求 PA 的最大值与最小值.

x ?1? 2 t,

18.在平面直角坐标系 xOy 中,已知直线 l 的参数方程为{

2 ( t 为参数),直线 l 与抛物线 y2 ? 4x 相交于

y ?2? 2t

2

A, B 两点,求线段 AB 的长.

19.设函数 f ? x? ? x3 ? ax2 ? bx 在点 x ?1处有极值 ?2 .
1.求常数 a, b 的值;
2. 求曲线 y ? f ? x? 与 x 轴所围成的图形的面积.
20.已知函数 f (x) ? ax3 ? x2 (a ? R) 在 x ? ? 4 处取得极值. 3
1.确定 a 的值; 2.若 g(x) ? f (x)ex ,讨论 g(x) 的单调性.

21.已知 z1 ? (3x ? y) ? (?y ? 4x)i , z2 ? (4 y ? 2x) ? (5x ? 3y)i(x, y ? R) ,设 z ? z1 ? z2 ,且 z ?13? 2i ,求复数 z1 , z2 .
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22.如图,棱锥 P ? ABCD 的地面 ABCD是矩形, PA ?平面 ABCD , PA ? AD ? 2 , BD ? 2 2 .

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1.求证: BD ? 平面 PAC ; 2.求二面角 P ?CD ? B 的大小; 3.求点 C 到平面 PBD 的距离.

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参考答案

精品试卷

一、选择题 1.答案:B
解析:因为该圆的直角坐标方程为 x2 ? y2 ? ?2 y ,即为 x2 ? ? y ?1?2 ? 1,圆心的直角坐标为 ?0, ?1? ,化为极坐标为

???1,

?

? 2

? ??

,故选

B

.

2.答案:B

解析:由 x

? 1? 1 ,得 t t

?1 1? x

,故

y

?

1 (1? x)2

?

x(x ? 2) (1? x)2

,



y

?1?t2

,t

? 0,故

y

? 1,因此所求的普通方程为

y

?

x( (1

x ? 2) ? x)2

(

y

? 1) .

3.答案:A

解析:椭圆方程为 x2 ? y2 ? 1,设 P( 6 cos? , 2sin? ) ,则 x ? 2 y ? 6 cos? ? 4sin? ? 22 sin(? ? ?) (其中 64

tan? ? 6 ),故 x ? 2 y ? 22 . x ? 2y 的最大值为 22 . 4
4.答案:D

解析:∵ y ? ax ? ln ? x ?1? , y ' ? a ? 1 ,
x ?1

由题意得 y ' |x?0 ? 2 ,即 a ?1 ? 2 ,∴ a ? 3.

5.答案:D
? ? 解析: f '? x? ? ? x ? 3?'ex ? ? x ? 3? ex ' ? ? x ? 2?ex ,
求 f ? x? 的单调递增区间,令 f '? x? ? 0 ,解得 x ? 2 ,故选 D .
6.答案:C
解析:由题意得,直线 y ? 2x 与抛物线 y ? 3 ? x2 ,解得交点分别为 (?3, ?6) 和 ?1, 2? ,
? ? 抛物线 y ? 3 ? x2 与 x 轴负半轴交点 ? 3, 0 ,设阴影部分的面积为 S ,

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? ? ? ? 1
则 S ? (3 ? x2 ? 2x)dx ?

0

0

(3 ? x2 )dx ? 2xdx ?

3
(3

?

x2 )dx

?

5

?

2

3?9?2

3 ? 32 .

0

?3

?3

?3

3

3

7.答案:C

解析: 函数 f ? x? ? 1 x2 ? ln x 的定义域是 ?0, ??? , f '? x? ? x ? 1 ,令 f '? x? ? 0 ,即 x ? 1 ? 0 ,解得 0 ? x ?1,

2

x

x

故选 C.

8.答案:C

? 解析:因为

(x2

?

ex ) '

?

2x

?

ex

,所以

1
(2x

?

ex )dx

?

(x2

? ex)

|

1

?

(1 ?

e1)

?(0

?

e0)

?

e

.

0

0

9.答案:D

解析:∵ (3? 4i)z ? 4 ? 3i ,

∴ z ? 4 ? 3i ? 42 ? 32 ? 5(3 ? 4i) ? 3 ? 4 i .

3 ? 4i 3 ? 4i

25 5 5

∴ z 的虚部为 4 . 5
10.答案:D

解析:由题根据所给复数式子进行化简即可得到复数的代数式;

由题 ?1? i?2 ? 1? i ,∴ z ? ?1? i?2 ? ?2i ? ?2i ?1? i? ? ?1? i ,故选 D.

z

1?i 1?i

2

11.答案:D

12.答案:C

解析:由函数 y ? x f ?? x? 的图象可知: 当 x ? ?1时, xf '? x? 0, f '? x? 0,此时 f ? x? 单调递增 当 ?1? x ? 0时, xf '? x? ? 0, f '? x? ? 0 ,此时 f ? x? 单调递减 当 0 ? x ?1时, xf '? x? ? 0, f '?x? ? 0 ,此时 f ? x? 单调递减 当 x ?1时, xf '? x? ? 0, f '? x? ? 0 ,此时 f ? x? 单调递增.
综上所述,故选 C.

二、填空题 13.答案:6
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解析:∵ z ?1? 2i , ∴ z ?1? 2i .



? ??

z

?

1 z

? ??

?

z

?

z?

z

?1?

5?1?

6

.

14.答案: 3?

15.答案: ???, ?1? ??1, ???

解析: f '? x? ? x2 ? 2ax ?1,

因为函数 f ? x? 有两个极值点,

所以方程 f '? x? ? x2 ? 2ax ?1? 0

有两个不相等的实数根,

∴ ? ? 4a2 ? 4 ? 0, 解得 a ? ?1 或 a ?1.
16.答案: ?0, 2? ; 2 2

x ? t ? 3,

解析:由{

( t 为参数)消去参数,得普通方程为 x ? y ? 6 ? 0 ,

y ? 3?t,

x ? 2 cos? , 由{
y ? 2sin? ? 2,

(参数?

?

? ??

0,

? 2

? ??

)消去参数,

利用 sin2 ? ? cos2 ? ? 1,得普通方程为 x2 ? ( y ? 2)2 ? 4 .

∴圆心坐标为 ?0, 2? ,圆心到直线距离 d ? 2 ? 6 ? 2 2 .
2
三、解答题
x ? 2 cos? , 17.答案:1.曲线 C 的参数方程为{ y ? 3sin? (? 为参数).

直线 l 的普通方程为 2x ? y ? 6 ? 0

2.曲线 C 上任意一点 P(2cos? ,3sin? ) 到 l 的距离 d ? 5 4 cos? ? 3sin? ? 6 . 5

则 PA ? d ? 2 5 5sin(? ? ? ) ? 6 ,其中? 为锐角,且 tan? ? 4 .

sin 30? 5

3

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当 sin(? ?? ) ? ?1时, PA 取得最大值,最大值为 22 5 . 5

当 sin(? ?? ) ? 1时, PA 取得最小值,最小值为 2 5 . 5

18.答案: 8 2

x ?1? 2 t,

解析:将直线 l 的参数方程{

2 代入抛物线方程 y2 ? 4x ,

y ?2? 2t

2

? 得 ??? 2 ?

2 2

t

?2 ???

?

? 4 ???1 ?

2 2

t

? ???

,解得

t1

?

0, t2

?

?8

2.

所以 AB ? t1 ? t2 ? 8 2 .

19.答案:1.由题意知 f '? x? ? 3x2 ? 2ax ? b ,

f ?1? ? ?2且 f '?1? ? 0 ,

1? a ? b ? ?2,

即{

,解得 a ? 0, b ? ?3 .

3 ? 2a ? b ? 0,

2.如图,由 1 问知 f ? x? ? x3 ?3x .作出曲线 y ? x3 ? 3x 的草图,所求面积为阴影部分的面积.

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? ? ? ? 由 x3 ? 3x ? 0 得曲线 y ? x3 ? 3x 与 x 轴的交点坐标是 ? 3, 0 , ?0,0? 和 3, 0 ,

而 y ? x3 ? 3x 是 R 上的奇函数,函数图象关于原点中心对称.

所以 y 轴右侧阴影面积与 y 轴左侧阴影面积相等.

? ? ? 3
所以所求图形的面积为 S ? 2 ??1 0

x3 ? 3x

?? dx

?

?2

? ??

1 4

x4

?

3 2

x2

? ??

|

3 ? 9. 02

20.答案:1.对 f (x) 求导得 f '(x) ? 3ax2 ? 2x .

因为

f

(x)

在?

4 3

处取得极值,所以

f

?

? ??

?

4 3

? ??

?

0

,即 3a ?16 9

?

2

?

? ??

?

4 3

? ??

?

16 3

a

?

8 3

?

0

,

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解得 a ? 1 . 2

2.由

1



g

?

x

?

?

? ??

1 2

x3

?

x2

? ??

ex

,

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g??x?

?

? ??

3 2

x2

?

2

x

? ??

e

x

?

? ??

1 2

x3

?

x2

? ??

e

x

?

1 2

x?x

?1?? x

?

4?ex

令 g?(x) ? 0 ,解得 x ? 0 或 x ? ?1 或 x ? ?4 .

当 x ? ?4 时, g '(x) ? 0 ,故 g(x) 为减函数;

当 ?4 ? x ? ?1时, g '(x) ? 0 ,故 g(x) 为增函数;

当 ?1? x ? 0 时, g '(x) ? 0 ,故 g(x) 为减函数;

当 x ? 0 时, g '(x) ? 0 ,故 g(x) 为增函数;

综上可知 g(x) 在 (??, 4) 和 (?1, 0) 上为减函数,在 (?4, ?1) 和 (0, ??) 上为增函数.
21.答案:
∵ z ? z1 ? z2 ? ?3x ? y? ? ? y ? 4x?i ??4y ? 2x? ? ?5x ? 3y?i ? ???3x ? y? ? ?4y ? 2x??? ? ??? y ? 4x? ? ?5x ? 3y??? i ? ?5x ?3y? ??x ? 4y?i .

∴ z ? ?5x ?3y? ??x ? 4y?i .

5x ? 3y ? 13

又∵

z

? 13

?

2i

∴{ x

?

4

y

?

?2

x?2 ∴{
y ? ?1

∴ z1 ? ?3?2 ?1? ? ??1? 4?2?i ? 5 ? 9i, ∴ z2 ? ??4???1? ? 2? 2?? ? ??5? 2 ? 3???1??? i ? ?8 ? 7i.
22.答案:1.解法一:在 Rt?BAD 中, AD ? 2 , BD ? 2 2 ,

∴ AB ? 2 ,∴ ABCD为正方形, 因此 BD ? AC ,
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∵ PA ?平面 ABCD, BD ? 平面 ABCD, ∴ BD ? PA .又∵ PA? AC ? A, ∴ BD ? 平面 PAC .
解法二:简历如图所示的空间直角坐标系,
则 A?0,0,0? , D?0,2,0? , P?0,0,2? ,
在 Rt?BAD 中, AD ? 2 , BD ? 2 2 ,
∴ AB ? 2 ,∴ B?2,0,0? , c?2, 2,0? , ∴ AP ? (0, 0, 2) , AC ? (2, 2, 0) , BD ? ??2, 2,0? .
∵ BD ? AP ? 0 , BD ? AC ? 0 , 即 BD ? AP , BD ? AC .又 AP ? AC ? A , ∴ BD ? 平面 PAC .
2.解法一:由 PA ?平面 ABCD,
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知 AD 为 PD 在平面 ABCD上的射影. 又 CD ? AD ,∴ CD ? PD , ∴ ?PDA为二面角 P ?CD ? B 的平面角. 又∵ PA ? AD ,∴ ?PDA ? 45?.
解法二:由 1 题得 PD ? ?0, 2, ?2? , CD ? ??2,0,0? .

设平面 PCD的法向量为 n1 ? ? x, y, z? ,

则 n1 ? PD ? 0, n1 ?CD ? 0,

0? 2y ? 2z ? 0 x ? 0

即{

,∴{ ,

?2x ? 0 ? 0 ? 0 y ? z

故平面 PCD的法向量可取为 n1 ? ?0,1,1? ,
∵ PA ?平面 ABCD, ∴ AP ? (0, 0, 2) 为平面 ABCD的法向量.

设二面角 P ?CD ? B 的大小为? ,

依题意可得 cos? ? n1 ? AP ? 2 , n1 ? AP 2
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∴? ? 45? .
3.解法一:∵ PA ? AB ? AD ? 2 ,

∴ PB ? PD ? BD ? 2 2 ,

设 C 到平面 PBD 的距离为 d ,

由VP?BCD ? VC?PBD ,



1 3

?

S?BCD

?

PA

?

1 3

?

S?PBD

?

d

,

得d ? 2 3. 3

解法二:由 1 题得 PB ? ?2,0, ?2? , PD ? ?0, 2, ?2? ,

设平面 PBD 的法向量为 n2 ? ? x, y, z? ,

则 n2 ? PB ? 0, n2 ? PD ? 0 ,

2x ? 0? 2z ? 0

即{

,

0? 2y ? 2z ? 0

∴x? y?z.

故平面 PBD 的法向量可取为 n2 ? ?1,1,1? .

∵ PC ? (2, 2, ?2) ,
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∴ C 到平面 PBD 的距离为 d ? n2 ? PC ? 2 3 .

n2

3

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