[第37讲]三角恒等变换(二)(恒等变换公式灵活应用、三角函数化简求值)(上)讲义浏览

第 13 讲 三角恒等变换(二) (恒等变换公式 灵活应用、三角函数化简求值)
满分晋级
三角函数 9 级

三角函数 8 级 三角恒等变换公 式综合运用
三角函数 7 级 三角恒等变换公 式简单运用

解三角形

新课标剖析
当前 形势

三角函数、三角恒等变换、解三角形在近五年北京卷(理)考查 5~13 分
内容 A 两角和与差的正弦、余 弦、正切公式 要求层次 B C 经历用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过 程,进一步体会向量方法的作用. 能从两角差的余弦公式导出两角和与差的正弦、余 弦、正切公式 能从两角和的正弦、余弦、正切公式导出二倍角的正 弦、余弦、正切公式,了解它们的内在联系. 能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括引导导出 积化和差、和差化积、半角公式,但不要求记忆) . 2008 年 2009 年 2010 年 (新课标) 具体要求

高考 要求



二倍角的正弦、余弦、 正切 简单的恒等变换 北京 高考 √



2006 年

2007 年

三角函数(下) ·第 4 讲·提高-尖子-目标·教师版

1

解读

第 15 题 12 分

第 13 题 5 分

第 15 题 第⑴问 6分

第 15 题第⑴问 6分

第 15 题 13 分

4.1 三角公式灵活运用

知识点睛
1.两角和与差的余弦公式 C? ? ?∶ ?? ? ? ? ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? cos

C? ? ?∶ ?? ? ? ? ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? cos

2.两角和与差的正弦公式 S? ? ?∶ ?? ? ? ? ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? sin

S? ? ?∶ ?? ? ? ? ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? sin

3. 两角和与差的正切公式 tan ? ? tan ? . T? ? ?∶tan ?? ? ? ? ? 1 ? tan ? ? tan ? tan ? ? tan ? . T? ? ?∶tan ?? ? ? ? ? 1 ? tan ? ? tan ? 4.二倍角公式 S2? : sin 2? ? 2sin ? cos ? .

C2? : cos 2? ? cos2 ? ? sin 2 ? ? 2cos2 ? ? 1 ? 1 ? 2sin 2 ? . 2 tan ? . T2? : tan 2? ? 1 ? tan 2 ? <教师备案>三角变换中常用的数学思想方法技巧有: ⑴角的变换: 30? 比如: 15? ? 45? ? 30? ? 60? ? 45? ? 2 ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? 2 ? 2
?π ? ?π ? 2? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?4 ? ?4 ?

?? ? 2? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2? ?

2

三角函数(下) ·第 4 讲·提高-尖子-目标·教师版

? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?2 ? ?4 ? ?4 ? ?3 ? ?6 ? 2
?π ? ? 3π ? ?π ? ? 2π ? ?π ? ? 5π ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? π ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ?4 ? ? 4 ? ?3 ? ? 3 ? ?6 ? ? 6 ? ⑵函数名称的变换:三角变形中,常常需要变函数名称为同名函数,在三角函数中正余弦 是基础,通常化切为弦,变异名为同名; ⑶常数代换:在三角函数运算、求值、证明中,有时需要将常数转化为三角函数值, π π π π 例如: 1 ? sin 2 ? ? cos2 ? ? sin ? tan ? 2sin ? 2 sin ; 2 4 6 4 ⑷幂的变换:降幂是三角变换时常用的方法,常用的降幂公式有: 1 ? cos 2? cos2 ? ? , sin 2? ? 1 ? cos 2? 2 2 但降幂并非绝对,有时也需要对某些式子进行升幂处理,比如: 1 ? cos 2? ? 2cos2 ? , ? cos 2? ? 2sin 2 ? ; 1 ? sin 2? ? (sin ? ? cos ? )2 ; 1



? ?π

? ?π

? ?π

? ?π

?

π

⑸公式变形:三角公式是变换的依据,应熟练掌握三角公式的顺用,逆用及变形应用, 例如: tan ? ? tan ? ? tan(? ? ? ) ? (1 ? tan ? ? tan ? ) ;

经典精讲

考点 1: 【例1】

角的代换
π? 5 ? ⑴ 已知 ? 为锐角,且 cos ? ? ? ? ? ,则 cos? 的值为 . 6 ? 13 ? 1 5 ⑵ 已知 ? 、 ? 均为钝角,且 cos ?? ? ? ? ? ? , cos 2? ? ? ,则 sin ?? ? ? ? ? _____ . 13 4 1 2 ⑶ 已知 tan ? ? , tan ?? ? ? ? ? ? ,则 tan ? ? ? 2? ? 等于( ) 2 5 1 1 1 1 A. ? B. C. ? D. 12 4 12 8

π? 3 π? π 3π ? ? 【拓3】 已知 cos ? ? ? ? ? , ≤ ? ≤ ,则 cos ? 2? ? ? ? 4? 5 4? 2 2 ? ?



【例2】

π? 2 ? ? π 3π ? 已知 cos ? x ? ? ? , x ?? , ? . 4 ? 10 ? ?2 4 ? ⑴ 求 sin x 的值;

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3

π? ? ⑵ 求 sin ? 2 x ? ? 的值. 3? ?

4

三角函数(下) ·第 4 讲·提高-尖子-目标·教师版

考点 2:

给值求角问题
1 ?π ? , x ? ? ,π ? ,则 x 等于( ) . 2 2 ? ? π 5π 2π B. C. D. 3 6 3

【铺1】 若 sin x ? A.
π 6

【铺1】 已知 ? 是三角形的内角,且 sin ? ? A.
π 4

B.

3π 4

2 则角 ? 等于( 2 π 3π 5π C. 或 D. 4 4 6

) .

π? 1 ? ? π π? 【铺2】 已知 cos ? 2 x ? ? ? ? , x ? ? ? , ? ,求角 x . 3? 2 ? ? 6 3?

3 ? 3π ? ? π 5π ? 【铺3】 已知 tan ? ? x ? ? ? 且 x ? ? , ? ,求角 x . 3 ? 4 ? ?4 4 ?

【例3】

⑴ 已知 ? 、 ? 均为锐角,且 sin ? ?

1 5

, cos ? ?

3 10

,则 ? ? ? ?



4 ⑵ 已知 ? , 均为锐角,且 tan ? ? , ? ? 7 ,则 ? ? ? ? . ? tan 3 2 3 【拓1】 已知 ? 、 ? ? ? 0 ,π ? ,且 cos ? ? ,则 ? ? ? 的大小为( , cos ? ? 5 10 π 7π π 3π 3π A. B. C. 或 D. 4 4 4 4 4

) .

【拓2】 已知 ? 、 ? ? ? 0 ,π ? ,且 cos ? ? ? A.
π 4

2 5

, cos ? ? ?

3 10

,则 ? ? ? 的大小为(

) .

B.

7π 4

C.

π 3π 或 4 4

D.

3π 4

【拓3】 已知 tan ?? ? ? ? ?

1 1 , tan ? ? ? , ? , ? ? ? 0 , π ? ,求 2? ? ? 的值. 2 7

三角函数(下) ·第 4 讲·提高-尖子-目标·教师版

5

【例4】 (2010 崇文二模理 15) 如图,在平面直角坐标系 xOy 中,以 x 轴为始边作两个锐角 它们的终边分别与单位圆交于 A , B 两点. 已知 A , 的 ?, ? , B
5 7 2 . , 5 10 ⑴ 求 tan ?? ? ? ? 的值;

y A

横坐标分别为

?
O

?

B x

⑵ 求 2? ? ? 的值.

4.2 三角函数的化简与求值
辅助角公式的运用:在求值问题中,要注意辅助角公式
y ? a sin ? ? b cos ? ? a 2 ? b 2 sin ?? ? ? ? 的应用,其中 tan ? ?
b , ? 所在的象限由 a , 的符号确定. b a

经典精讲
【铺1】
1 3 ) cos ? ? sin ? 可以化为( 2 2 ?π ? ?π ? A. sin ? ? ? ? B. sin ? ? α ? 6 3 ? ? ? ?

?π ? C. sin ? ? ? ? 6 ? ?

?π ? D. sin ? ? α ? 3 ? ?

【铺2】 化简:

cos 2? 2sin 2

?
2

? 2sin

?
2

cos

?
2

.

?1

π? π? ? ? 【铺3】 化简: 2cos ? x ? ? cos ? x ? ? ? 3 sin 2 x . 4? 4? ? ?

【例5】 ⑴(2010 西城一模理 2)函数 y ? sin x ? cos x 的最小值和最小正周期分别是(

).

2π A. ? 2 , B. ?2 , C. ? 2 ,π D. ?2 , 2π π ⑵(2010 石景山一模理 13) 函数 y ? cos2 x ? sin 2 x ? 2sin x ? cos x 的最小正周期为_______, 此函数的值域为_______. ⑶ (2008 湖南理 6) ?π π? 函数 f ( x) ? sin 2 x ? 3 sin x cos x 在区间 ? , ? 上的最大值是( ) ?4 2?

A. 1

B.

1? 3 2

C.

3 2

D. 1 ? 3

⑷ (2008 山东理 5) π? 4 3 7π ? ? ? 已知 cos ? ? ? ? ? sin ? ? ,则 sin ? α ? ? 的值为 6? 5 6 ? ? ? 6
三角函数(下) ·第 4 讲·提高-尖子-目标·教师版



【拓3】 已知函数 f ? x ? ? a sin x ? b cos x ( a , b 为常数, a ? 0 , x ? R )在 x ?
?π ? 则函数 f ? ? x ? ? ______. 3 ? ?

π 处取得最小值 ?2 , 3

【例6】 (2010 天津理 17)已知函数 f ? x ? ? 2 3 sin x cos x ? 2cos 2 x ? 1? x ? R ?
π? ? ⑴ 求函数 f ( x) 的最小正周期及在区间 ?0 , ? 上的最大值和最小值; 2? ? 6 ?π π? ⑵ 若 f ? x0 ? ? , x0 ? ? , ? ,求 cos 2x0 的值. 5 ?4 2?

π? ? (2010 宣武一模理 15)已知函数 f ? x ? ? cos ? 2 x ? ? ? sin 2 x ? cos 2 x . 3? ? ⑴ 求函数 f ? x ? 的最小正周期及图象的对称轴方程;

⑵ 设函数 g ? x ? ? ? f ? x ? ? ? f ? x ? ,求 g ? x ? 的值域. ? ?
2

实战演练

2 π? 1 π? ? ? 【演练 1】已知 tan ?? ? ? ? ? , ? ? ? ? ? ,则 tan ? ? ? ? ? tan 4? 5 4? 4 ? ?



3 1 【演练 2】已知 ? , 均为锐角,且 tan ? ? , ? ? ,则 ? ? ? ? ? tan 4 7



π? ? 【演练 3】设函数 f ? x ? ? cos ? 2 x ? ? ? sin 2 x .求函数 f ? x ? 的最大值和最小正周期. 3? ?

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7

π? ? 【演练 4】若 cos ? ? 2sin ? ? ? 5 ,求 tan ? ? ? ? 的值. 4? ?

【演练 5】(2007 四川理 17) 1 13 π 已知 cos ? ? , cos ?? ? ? ? ? ,且 0 ? ? ? ? ? . 7 14 2 ⑴ 求 tan 2? 的值. ⑵ 求? .

大千世界
(第 22 届全国希望杯数学邀请赛高一 1 试) x ? x? 已知 f ( x) ? 2sin sin ? ? ? ? ? 1 . 2 ? 2? ? ⑴若 f ( x) 是偶函数,则 cos ? __________; 2 1 ⑵若 f ( x) 的最大值是 ,则 cos 2? ? ______. 2

参考答案 例1 5 3 12 1 5 3 ? 12 ⑴? ? . ? ? ? 13 2 13 2 26 12 ? 5 15 ⑵? 52 8
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⑶A [拓 3] ? ?
31 2 50

例2
4 . 5 π? π π 24 ? 7 3 ? ⑵ sin ? 2 x ? ? ? sin 2 x cos ? cos 2 x sin ? ? . 3? 3 3 50 ?

⑴ sin x ?

考点 2 [铺 1] C [铺 1] C
π 6 11π [铺 3] x ? . 12

[铺 2] x ?

例3 π ⑴ 4 3π ⑵ 4 [拓一] A [拓二] B [拓三] 2? ? ? ? ?
3π 4

例4
1 2? tan ? ? tan ? 7 ?3. ? ⑴ tan(? ? ? ) ? 1 ? tan ? ? tan ? 1 ? 2 ? 1 7 3π ⑵ 2? ? ? ? . 4 [铺 1] A π? ? [铺 2] ? ? 2 sin ? ? ? ? 4? ? π? ? [铺 3] ? 2sin ? 2 x ? ? 6? ?

例5 ⑴A
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9

⑵ π , ?? 2 , 2 ? . ? ? ⑶C ⑷ ?
4 5

[拓 3] ?2cos x 例6 ⑴最大值为 2,最小值为 ?1 .
?? π ? π? π? π π? π 3? 4 3 ? ? ⑵ cos 2 x0 ? cos ?? 2 x0 ? 6 ? ? 6 ? ? cos ? 2 x0 ? 6 ? cos 6 ? sin ? 2 x0 ? 6 ? sin 6 ? 10 ? ? ? ? ? ?? ?

华山论剑 ⑴函数图象的对称轴方程为 x ?
? 1 ? 2 ⑵ g ? x ? 的值域为 ? ? 4 , ? . ? ?

kπ π ? (k ?Z) . 2 3

[演练 1]

3 22
π 4

[演练 2] ? ? ? ?

1? 3 ,最小正周期为 π . 2 π ? 1 ? tan ? 1 ? 2 ? [演练 4] tan ? ? ? ? ? ? ? ?3 4 ? 1 ? tan ? 1 ? 2 ?

[演练 3] 函数 f ( x) 的最大值为

[演练 5] (1) tan 2? ? (2) ? ?
π 3
2 tan ? 2?4 3 8 3 ? ?? 2 2 1 ? tan ? 1 ? 4 3 47

?

?

大千世界 ⑴ 0 或 1 或 ?1 ; 1 ⑵ ? 2

10 三角函数(下) 4 讲·提高-尖子-目标·教师版 ·第


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