3.3.3点到直线的距离教案


3.3.3 点到直线的距离
一、教材分析 点到直线的距离是直线方程的一个应用。从知识体系上看,是在研究平面上两点之间距 离的基础上来进一步研究点线距离,是对距离度量的完善;从知识结构上看,点到直线 的距离是前面讨论两点间距离的深入、后续研究直线和圆的位置关系的准备。继前面学 习了两直线平行与垂直后,教材安排讲述了平面上两点间距离,学生已经基本掌握如何 判断四边形形状(包括三角形) ,以及求四边形边长等方法;为求四边形面积,我们还需 探讨点到直线的距离(因为要求四边形中顶点到对边的距离,也包括三角形) 。为此,本 课学习方法为接受学习与发现学习相结合,在教师引导之下探讨,教师提供必要的时间 和空间给学生展示自己思维过程,使学生在教师和其他学生的帮助下,充分体验作为学 习主体进行探索、发现和创造的乐趣。 二、教学目标 1.掌握点到直线的距离公式,能应用公式解决一些简单问题; 2.引导学生构思距离公式的推导方案,培养学生观察、分析、转化、探索问题的能力, 学会合作 3、通过对数学公式的推导过程,体会数学中常用的数形结合和化归思想; 三、教学重难点 教学重点:点到直线的距离公式及其应用 教学难点:点到直线距离公式的推导 四、教学过程 (一)开门见山,引出课题 点到直线距离的定义 如图,P 到直线 l 的距离,就是指从点 P 到直线 l 的垂线段 PQ 的长度,其中 Q 是垂足.
Qy

P l

o

x

(二)数形结合,解决问题 思考:如何求解点到直线的距离 问题 1: (特殊情况)已知点 P0(x0,y0)和直线 l:Ax+By+C=0, 怎样求点 P 到直线 l 的距离 呢? 当 A=0 或 B=0 时,直线方程为 y=y1 或 x=x1 的形式. (强调把点到直线的距离转化为了点到点的距离,强调了转化思想,引导学生用学过的旧 知解决新问题)
y P (x0,y0 ) y=y1 o x Q(x0,y1)
1

PQ = y0 - y1
y Q(x1,y1) P(x0,y0)

o x=x1

x

PQ = x 0 - x1
练习 1: (1)点 P(-1,2)到直线 3x=2 的距离是______. (2)点 P(-1,2)到直线 3y=2 的距离是______. 问题 2:设 A≠0,B ≠0, 我们进一步探求点到直线的距离公式:(引导学生把一个新 问题转化为 一个曾今解决过的问题,一个自己熟悉的问题。学生自由讨论 ,教师总结得 出两种思路,将学生分为 4 个小组,1、3 组按照[思路一]解决问题,2、4 组按照[思路 二]解决问题,1、3 组和 2、4 组分别推选一名学生将在黑板上演示) ) [思路一]利用两点间距离公式:
y

设点 P 到直线 l 的垂线段为 PQ,垂足为 Q,由 PQ⊥ l 可知,直线 PQ 的斜 率为

R d Q o S

P(x0,y0)

B (A≠0) ,根据点斜式写出直线 PQ 的方程,并由 l 与 PQ 的方程求出点 A
新疆 学案

Q 的坐标;由此根据两点距离公式求出|PQ|,得到点 P 到直线 l 的距离为 d
此方法虽思路自然,但运算较繁.下面我们探讨别一种方法
新疆 学案

x l

王新敞

王新敞

[思路二]构造直角三角形求其高
设 A≠0,B≠0,这时 l 与 x 轴、 y 轴都相交,过点 P 作 x 轴的平行线,交 l 于点 R( x1 , y 0 ) ;作 y 轴的平行线,交 l 于点 S ( x0 , y 2 ) , 由?

? A1 x1 ? By0 ? C ? 0 ? By0 ? C ? Ax0 ? C , y2 ? 得 x1 ? . A B ? Ax0 ? By2 ? C ? 0
Ax0 ? By0 ? C A

所以,|PR|=| x0 ? x1 |=

|PS|=| y 0 ? y 2 |=

Ax0 ? By0 ? C B

2

|RS|= PR ? PS
2

2

?

A2 ? B 2 ×| Ax0 ? By0 ? C |由三角形面积公式可知: d ·|R AB

S|=|PR|·|PS|
所以 d ?

新疆 学案

王新敞

Ax0 ? By0 ? C A2 ? B 2

(注:计算两点间距离的过程中注意技巧,通分的重要性,没必要展开的尽量别展开)

(三)得出结论:点到直线的距离公式 P0(x0,y0)到直线 l:Ax+By+C=0 的距离:

d?

| Ax0 ? By0 ? C | A2 ? B 2

思考:当 A=0 或 B=0 时,是否满足上述公式?(用此公式计算刚刚的练习 1,得出同样结果,因此
得出结论当 A=0 或 B=0 时,公式仍然成立)

练习 2:
1、求点 A(-2,3)到直线 3x+4y+3=0 的距离.. 2. 求点 B(-5,7)到直线 12x+5y+3=0 的距离. 3、求点 P0(-1,2)到直线 2x+y-10=0 的距离. (在黑板板书一道题,剩下 2 道抽学生上黑板解答,注意学生的解题格式,并且在班上分析其解题过 程,发现错误提醒全班学生)

练习 3: 书上例 6:已知点 A(1,3),B(3,1),C(-1,0),求的 ?ABC 的面积

练习4: 1、点 A(a,6)到直线 x+y+1=0 的距离为 4,求 a 的值. (四)课堂小结 平面内一点 P(x0,y0) 到直线 Ax+By+C=0 的距离公式是
d= Ax0 + By 0 + C A 2 + B2

再次强调:当 A=0 或 B=0 时,公式仍然成立. (五)作业布置 P108 2(2)(3)

3

4


相关文档

  • 上海市洋泾中学2017-2018学年高二上学期期中考
  • 江西省临川一中2014-2015学年高一下学期期末考
  • 高中数学第二章参数方程4平摆线和渐开线学案北
  • 必修4第一章三角函数单元测试卷(含详细解答)
  • 高中数学第一章集合3.1交集与并集课件北师大版
  • 高中数学(人教A版)选修2-2同步课件 3.2.2 复数
  • 湖北省宜昌市高中数学第二章基本初等函数Ⅰ221
  • 许昌高中2017届高三复习生物选择题36分练(11~15
  • 【数学】3.1.1《数系的扩充与复数的概念》课件(
  • 黑龙江省伊春二中2014-2015学年高二上学期期中
  • 2017-2018学年安徽省淮北实验高级中学高一上学
  • 电脑版