第1章 含有一个量词的命题的否定


第1章 §1.3

全称量词与存在量词

1.3.2 含有一个量词的命题的否定

学习目标
1.理解含有一个量词的命题的否定的意义.
2.会对含有一个量词的命题进行否定.

3.掌握全称命题的否定是存在性命题,存在性命题的否定是全
称命题.

内容索引

问题导学

题型探究
达标检测

问题导学

知识点一

全称命题与存在性命题的否定

思考1 写出下列命题的否定: ①所有的矩形都是平行四边形; ②有些平行四边形是菱形. 答案 ①并非所有的矩形都是平行四边形. ②每一个平行四边形都不是菱形. 思考2 对①的否定能否写成:所有的矩形都不是平行四边形? 答案 不能.

思考3 对②的否定能否写成:有些平行四边形不是菱形?
答案 不能.

梳理 (1) 命题 全称命题p 全称命题的否定綈p 存在性命题p 存在性命题的否定綈p 命题的表述 ?x∈M,p(x) ?x∈M,綈p(x) _______________ ?x∈M,p(x) ?x∈M,綈p(x) _______________

(2)常见的命题的否定形式 原语句 否定 形式 是 都是 至少有 一个 一个也 _______ 没有 _______ 至多有一个 对任意x∈A使p(x)为真 至少有两个 ___________________ 存在x∈A使p(x)为假 __________

>

不是 不都是 _____ ______ ≤ __

知识点二

含有一个量词的命题p的否定真假性判断

对“含有一个量词的命题p的否定”的真假判断一般有两种思路:一是直 接判断綈p的真假,二是用p与綈p的真假性相反来判断.

[思考辨析 判断正误] 1.命题綈p的否定是p.( √ ) 2.?x∈M,p(x)与?x∈M,綈p(x)的真假性相反.( √ ) 3.从存在性命题的否定看,是对“量词”和“p(x)”同时否定.( × )

题型探究

类型一

全称命题的否定

例1 写出下列命题的否定,并判断其真假: (1)p:任意n∈Z,则n∈Q; 解 解 解 綈p:存在n∈Z,使n?Q,这是假命题. 綈p:存在等圆,其面积不相等或周长不相等,这是假命题. 綈p:存在偶数的平方不是正数,这是真命题. (2)p:等圆的面积相等,周长相等; (3)p:偶数的平方是正数.

解答

反思与感悟 (1)写出全称命题的否定的关键是找出全称命题的全称量词和结

论,把全称量词改为存在量词,结论变为否定的形式就得到命题的否定.
(2)有些全称命题省略了量词,在这种情况下,千万不要将否定简单的写

成“是”或“不是”.全称命题的否定的真假性与全称命题相反.

跟踪训练1 写出下列全称命题的否定:
(1)p:所有能被3整除的整数都是奇数;

解 綈p:存在一个能被3整除的整数不是奇数.
(2)p:对任意x∈Z,x2的个位数字都不等于3;

解 綈p:?x∈Z,x2的个位数字等于3.
(3)p:在数列{1,2,3,4,5}中的每一项都是偶数;

解 綈p:在数列{1,2,3,4,5}中至少有一项不是偶数.
(4)p:可以被5整除的整数,末位是0.

解 綈p:存在被5整除的整数,末位不是0.
解答

类型二

存在性命题的否定

例2 写出下列存在性命题的否定,并判断其否定的真假:
(1)有些实数的绝对值是正数;



命题的否定是“不存在一个实数,它的绝对值是正数”,即“所有

实数的绝对值都不是正数”.命题的否定是假命题.

(2)某些平行四边形是菱形;
解 命题的否定是“没有一个平行四边形是菱形 ”,即“每一个平行四

边形都不是菱形”.由于菱形是平行四边形,因此命题的否定是假命题.

解答

(3)?x∈R,x2+1<0; 解 命 题 的 否 定 是 “ 不 存 在 x∈R , 使 x2 + 1<0” , 即 “?x∈R , x2 + 1≥0”.由于x2+1≥1>0,因此命题的否定是真命题.
(4)?x,y∈Z,使得 2x+y=3.
解 命题的否定是“?x,y∈Z, 2x+y≠3”.

当 x=0,y=3 时, 2x+y=3,因此命题的否定是假命题.

解答

引申探究

若本例(2)改为“某些平行四边形是正方形”,写出该命题的否定并判断
真假.



命题的否定是“没有一个平行四边形是正方形 ”,即“每一个平行

四边形都不是正方形”,假命题.

解答

反思与感悟 (1)对存在性命题否定的两个步骤 ①改变量词:把存在量词换为恰当的全称量词. ②否定性质:原命题中的“有”“存在”等更改为“没有”“不存在”等. (2)存在性命题否定后的真假判断 存在性命题的否定是全称命题,其真假性与存在性命题相反;要说明一 个存在性命题是真命题,只需要找到一个实例即可.

跟踪训练2 写出下列存在性命题的否定: (1)p:?x∈R,x2+2x+2≤0; 解 解 解 綈p:?x∈R,x2+2x+2>0. 綈p:所有的三角形都不是等边三角形. 綈p:所有一元二次方程都有实数根. (2)p:有的三角形是等边三角形; (3)p:存在一元二次方程无实数根.

解答

类型三 含量词命题的否定的应用

例3 对于任意实数x,不等式sin x+cos x>m恒成立.求实数m的取值范围.
解 令y=sin x+cos x,x∈R,
? ? π ? x + 2sin? ? ?≥- 4 ? ?

∵y=sin x+cos x=

2,

又∵?x∈R,sin x+cos x>m恒成立,
∴只要 m<- 2即可,

∴所求 m 的取值范围是(-∞,- 2).

解答

反思与感悟

若全称命题为假命题,通常转化为其否定——存在性命题

为真命题解决.同理,若存在性命题为假命题,通常转化为其否定——全 称命题为真命题解决.

跟踪训练3 解

若本例条件变为:“存在实数x,使不等式sin x+cos x>m有

解”,求实数m的取值范围. 令y=sin x+cos x,x∈R,
? π? ? ? 2sin?x+4?∈[- ? ?

∵y=sin x+cos x=

2, 2].

又∵?x∈R,sin x+cos x>m有解,
∴只要 m< 2即可,

∴所求 m 的取值范围是(-∞, 2).
解答

达标检测

1.命题p : “ 存在实数 m ,使方程 x2 + mx+ 1 = 0 有实数根 ” ,则 “ 綈 p”
2+mx+1=0无实根 对任意的实数 m ,方程 x 形式的命题是_________________________________________.

解析

命题p是存在性命题,其否定形式为全称命题,即綈p:对任意的

实数m,方程x2+mx+1=0无实根.

1

2

3

4

5

解析

答案

2.设x∈Z,集合A是奇数集,集合B是偶数集.若命题p:?x∈A,2x∈B,则 ?x∈A,2x?B 綈p为_____________.

1

2

3

4

5

答案

③ 填序号). 3.对下列命题的否定说法错误的是____( ①p:能被2整除的数是偶数;綈p:存在一个能被2整除的数不是偶数;

②p:有些矩形是正方形; 綈p:所有的矩形都不是正方形;③p:有的
三角形为正三角形;綈p:所有的三角形不都是正三角形;④p:?x∈R,

x2+x+2≤0;綈p:?x∈R,x2+x+2>0.
解析 “有的三角形为正三角形”为存在性命题,其否定为全称命题:

“所有的三角形都不是正三角形”,故③错误.

1

2

3

4

5

解析

答案

4. 命题 “ 至少有一个正实数 x 满足方程 x2 + 2(a - 1)x + 2a + 6 = 0” 的否定 所有正实数x都不满足方程x2+2(a-1)x+2a+6=0 是_____________________________________________. 解析 把量词 “ 至少有一个 ” 改为 “ 所有 ” , “ 满足 ” 改为 “ 都不满 足”,得命题的否定.

1

2

3

4

5

解析

答案

5.已知命题“存在x∈R,使2x2+(a-1)x+
(-1,3) 取值范围为_______.
解析
2

1 ≤0”是假命题,则实数a的 2

1 由题意知,“?x∈R,都有 2x +(a-1)x+2>0”是真命题,可得 Δ
2

1 =(a-1) -4×2×2<0,∴-1<a<3.

1

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3

4

5

解析

答案

规律与方法
对含有一个量词的命题的否定要注意以下问题: (1)确定命题类型,是全称命题还是存在性命题. (2) 改变量词:把全称量词改为恰当的存在量词;把存在量词改为恰当的 全称量词. (3) 否定结论:原命题中的 “ 是 ”“ 有 ”“ 存在 ”“ 成立 ” 等改为 “ 不 是”“没有”“不存在”“不成立”等. (4)无量词的全称命题要先补回量词再否定.


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