标题-2017-2018学年高中数学三维设计北师大选修1-1:阶段质量检测(四) 导数应用

阶段质量检测(四) 导数应用 [考试时间:90 分钟 试卷总分:120 分] 题 得 号 分 一 二 15 16 三 17 18 总 分

第Ⅰ卷 (选择题) 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的) 1.函数 f(x)=2x-cos x 在(-∞,+∞)上( A.无最值 C.有最大值 2.函数 f(x)=2x2-ln x 的递增区间是( 1? A.? ?0,2? 1 ? C.? ?2,+∞? )

B.有极值 D.有最小值 ) B.?0,

?

2? 4?

1 ? ? 1? D.? ?-2,0?和?0,2? )

3.已知对任意实数 x,有 f(-x)=f(x),且 x>0 时,f′(x)>0,则 x<0 时( A.f′(x)>0 C.f′(x)=0 B.f′(x)<0 D.无法确定

4.设函数 f(x)=ax3+bx2+cx+d(a>0),则 f(x)在 R 上为增加的充要条件是( A.b2-4ac>0 C.b=0,c>0 B.b>0,c>0 D.b2-3ac≤0 )

)

5.若函数 f(x)在(0,+∞)上可导,且满足 f(x)>-xf′(x),则一定有( f?x? A.函数 F(x)= 在(0,+∞)上为增加的 x f?x? B.函数 F(x)= 在(0,+∞)上为减少的 x C.函数 G(x)=xf(x)在(0,+∞)上为增加的 D.函数 G(x)=xf(x)在(0,+∞)上为减少的 6.函数 y=2x3-3x2-12x+5 在[0,3]上的最大值与最小值分别是( A.5,-15 C.-4,-15 B.5,4 D.5,-16 )

7.函数 f(x)=x3+ax2+3x-9,已知 f(x)在 x=-3 处取得极值,则 a=( A.2 C.4 B.3 D.5

)

8.把长为 12 cm 的细铁丝锯成两段,各自围成一个正三角形,那么这两个正三角形的 面积之和的最小值是( 3 3 A. cm2 2 C.3 2 cm2 ) B.4 cm2 D.2 3 cm2

9.设函数 f(x)=ax2+bx+c(a,b,c∈R).若 x=-1 为函数 f(x)ex 的一个极值点,则下 列图像不可能为 y=f(x)的图像的是( )

10.某商场从生产厂家以每件 20 元购进一批商品,若该商品零售价定为 p 元,销售量 为 Q,则销售量 Q(单位:件)与零售价 p(单位:元)有如下关系:Q=8 300-170p-p2,则最 大毛利润(毛利润=销售收入-进货支出)为( A.30 元 C.28 000 元 答 ) B.60 元 D.23 000 元 题 栏

题号 答案

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

第Ⅱ卷 (非选择题) 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,请把正确的答案填在题中的横线 上) 2 a- ? x + 1 有极大值和极小值,则 a 的取值范围是 11 .已知函数 f(x) = x3 + ax2 + ? ? 3? ________________________________________________________________________. 1 12.若函数 f(x)= ax2+2x-ln x(a≠0)在区间[1,2]上是增加的,则实数 a 的最小值为 2 ________. 2 13. 某厂生产产品 x 件的总成本 c(x)=1 200+ x3(万元), 已知产品单价 P(万元)与产品 75 500 件数 x 满足:P= ,则产量定为________件时,总利润最大. x a 14.已知函数 f(x)=2ln x+ 2(a>0).若当 x∈(0,+∞)时,f(x)≥2 恒成立,则实数 a x 的取值范围是________________________.

三、解答题(本大题共 4 小题,共 50 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算 步骤) 15.(本小题满分 12 分)设函数 f(x)=6x3+3(a+2)x2+2ax. (1)若 f(x)的两个极值点为 x1,x2,且 x1x2=1,求实数 a 的值; (2)是否存在实数 a,使得 f(x)是(-∞,+∞)上的单调函数?若存在,求出 a 的值;若 不存在,说明理由.

16.(本小题满分 12 分)已知 f(x)=ax3+bx2-2x+c 在 x=-2 时有极大值 6,在 x=1 时 有极小值,求 a,b,c 的值;并求 f(x)在区间[-3,3]上的最大值和最小值.

17.已知函数 f(x)=x3+3ax2+3x+1. (1)当 a=- 2时,讨论 f(x)的单调性; (2)若 x∈[2,+∞)时,f(x)≥0,求 a 的取值范围.

1 18.已知函数 f(x)= x2-aln x,a∈R. 2 (1)若 a=2,求这个函数的图像在点(1,f(1))处的切线方程; (2)求 f(x)在区间[1,e]上的最小值.

答 案 1.选 A ∵f(x)=2x-cos x, ∴f′(x)=2+sin x>0 恒成立. 故 f(x)=2x-cos x 在(-∞,+∞)上是增加的, 既没有最大值也没有最小值. 2.选 C
2 1 4x -1 1 f′(x)=4x- = (x>0),令 f′(x)>0,得 x> . x x 2

1 ? ∴f(x)的单调递增区间为? ?2,+∞?. 3.选 B 因为 f(-x)=f(x),所以 f(x)为偶函数.又 x>0 时,f′(x)>0,故 f(x)在 x>0 时为增加的,由偶函数在对称区间上单调性相反,可知当 x<0 时,f(x)为减少的. 4. 选 D 要使 f(x)在 R 上为增加的, 则 f′(x)=3ax2+2bx+c≥0 在 R 上恒成立(但 f′(x) 不恒等于零),故只需 Δ=4b2-12ac≤0,即 b2-3ac≤0. 5.选 C 设 y=xf(x),则 y′=xf′(x)+f(x)>0,故 y=xf(x)在(0,+∞)上为增加的. 6.选 A y′=6x2-6x-12,令 y′=0,得 x=-1,2, 又 f(2)=-15,f(0)=5,f(3)=-4, ∴最大值、最小值分别是 5,-15. 7.选 D ∵f′(x)=3x2+2ax+3, 又 f(x)在 x=-3 处取得极值,∴f′(-3)=30-6a=0.得 a=5. 8.选 D 设一个三角形的边长为 x cm,则另一个三角形的边长为(4-x) cm,两个三角 形的面积和为 S= 3 2 3 3 x + (4-x)2= x2-2 3x+4 3(0<x<4). 4 4 2

令 S′= 3x-2 3=0, 则 x=2,且 x<2 时,S′<0,2<x<4 时,S′>0. 所以 x=2 时,S 取最小值 2 3. 9.选 D ∵[f(x)ex]′=f′(x)ex+f(x)(ex)′=[f′(x)+f(x)]ex,又 x=-1 为函数 f(x)ex 的一 个极值点, ∴f′(-1)+f(-1)=0, 而选项 D 中 f′(-1)>0, f(-1)>0, 故 D 中图像不可能为 y=f(x) 的图像. 10.选 D 设毛利润为 L(p), 由题意知 L(p)=pQ-20Q=Q(p-20) =(8 300-170p-p2)(p-20) =-p3-150p2+11 700p-166 000, 所以 L′(p)=-3p2-300p+11 700. 令 L′(p)=0,

解得 p=30 或 p=-130(舍去). 此时,L(30)=23 000. 因为在 p=30 附近的左侧 L′(p)>0, 右侧 L′(p)<0, 所以 L(30)是最大值,即零售价定为每件 30 元时,最大毛利润为 23 000 元. 2 a- ?=0, 11. 解析: 令 f′(x)=3x2+2ax+? 此方程应有两个不相等的实数根, 所以 Δ>0. ? 3? 2 a- ?>0, 即 4a2-12? ? 3? ∴a2-3a+2>0,∴a>2 或 a<1. 答案:(-∞,1)∪(2,+∞)
2 1 ax +2x-1 12.解析:易知 x>0,且 f′(x)=ax+2- = ,∵函数 f(x)在区间[1,2]上是增 x x

加的, ∴f′(x)≥0 对 x∈[1,2]恒成立, 即不等式 ax2+2x-1≥0 对 x∈[1,2]恒成立, 即 a≥ 1-2x x2

1 1 1 2 1 ?2 -1 -1 恒成立,故 a≥?? -1?2-1?max,而当 x=2 时,? -1?2-1 取到最大值 = 2- =? ? ?x ? ?x ? x x ?x 3 - , 4 3 3 ∴实数 a 的取值范围为 a≥- ,即实数 a 的最小值为- . 4 4 3 答案:- 4 500 2x3 2x3 13.解析:总利润 L(x)=x· -1 200- =- +500 x-1 200(x >0).由 L′(x) 75 75 x 2 250 =- x2+ =0 得 x=25; 令 L′(x)>0 得 0<x<25; 令 L′(x)<0 得 x>25.故 L(x)在(0,25) 25 x 上是增加的,在(25,+∞)上是减少的,所以当产量定为 25 件时,总利润最大. 答案:25 14.解析:f(x)≥2,即 a≥2x2-2x2ln x, 令 g(x)=2x2-2x2ln x,则 g′(x)=2x(1-2ln x). 1 由 g′(x)=0,得 x=e ,0(舍去), 2 1 1 且 0<x<e 时,g′(x)>0,当 x>e 时,g′(x)<0, 2 2 1 1 ∴x=e 时,g(x)取最大值 g(e )=e,∴a≥e. 2 2 答案:[e,+∞)

15.解:f′(x)=18x2+6(a+2)x+2a. 2a (1)由已知有 f′(x1)=f′(x2)=0,从而 x1x2= =1,所以 a=9. 18 (2)因为 Δ=36(a+2)2-4×18×2a=36(a2+4)>0, 所以不存在实数 a,使得 f(x)是(-∞,+∞)上的单调函数. 16.解:(1)f′(x)=3ax2+2bx-2,由条件知 f′?-2?=12a-4b-2=0, ? ? ?f′?1?=3a+2b-2=0, ? ?f?-2?=-8a+4b+4+c=6. 1 1 8 解得 a= ,b= ,c= . 3 2 3 1 1 8 (2)f(x)= x3+ x2-2x+ , 3 2 3 f′(x)=x2+x-2=(x-1)(x+2). 列表如下: x f′(x) f(x) 26 6 -3 (-3,-2) + -2 0 6 (-2,1) - 1 0 3 2 (1,3) + 61 6 3

61 3 由上表知,在区间[-3,3]上,当 x=3 时,f(x)取最大值 ,x=1 时,f(x)取最小值 . 6 2 17.解:(1)当 a=- 2时,f(x)=x3-3 2x2+3x+1.f′(x)=3x2-6 2x+3. 令 f′(x)=0,得 x1= 2-1,x2= 2+1. 当 x∈(- ∞, 2-1)时,f′(x)>0,f(x)在(-∞, 2-1)上是增加的;

当 x∈( 2-1, 2+1)时,f′(x)<0,f(x)在( 2-1, 2+1)上是减少的; 当 x∈( 2+1,+∞)时,f′(x)>0,f(x)在( 2+1,+∞)上是增加的. (2)要使 x∈[2,+∞)时,f(x)≥0 恒成立,只需 x∈[2,+∞)时,f(x)min≥0 即可. 由于 f′(x)=3(x2+2ax+1)=3[(x+a)2+1-a2], ①当 a2≤1 时,f′(x)≥0 且不恒为零,所以 f(x)在[2,+∞)上的最小值为 f(2); ②当 a2>1 时, 由 f′(x)=0 可得 x=-a± a2-1, 记 x1=-a- a2-1, x2=-a+ a2-1. 结合二次函数的性质易知, 当 x∈(-∞, x1)∪(x2, +∞)时, f′(x)>0, 当 x∈(x1, x2)时, f′(x) <0.所以 f(x)在(-∞,x1)和(x2,+∞)上是增加的,在(x1,x2)上是减少的.而由 x1<x2<0 知 x2<2,即 f(x)在[2,+∞)上是增加的,故此时也有 f(x)min=f(2). 5 综上可知,f(x)在[2,+∞)上的最小值为 f(2)=3(4a+5),由 f(2)≥0,得 a≥- ,故 a 4

5 ? 的取值范围为? ?-4,+∞?. 1 1 2 18.解:(1)a=2 时,f(x)= x2-2ln x,f(1)= ,f′(x)=x- ,f′(1)=-1, 2 2 x 1 所以切线方程为 y- =-(x-1),即 2x+2y-3=0. 2 a 1 (2)依题意,x>0,f′(x)=x- = (x2-a), x x ①当 a≤1 时,因为 x∈[1,e],1≤x2≤e2, ,所以 f′(x)≥0(当且仅当 x=a=1 时等号成 1 立),所以 f(x)在区间[1,e]上是增加的,最小值为 f(1)= . 2 ②当 a≥e2 时,因为 1≤x2≤e2,所以 f′(x)≤0(当且仅当 x=e,a=e2 时等号成立),所 1 以 f(x)在区间[1,e]上是减少的,最小值为 f(e)= e2-a. 2 1 ③当 1<a<e2 时,解 f′(x)= (x2-a)=0 得 x=± a(负值舍去),f′(x)的符号和 f(x)的 x 单调性如下表: x f′(x) f(x) [1, a) - a 0 最小值 ( a,e] +

1 1 故 f(x)在区间[1,e]上的最小值为 f( a)= a- a ln a. 2 2 1 1 综上所述,a≤1 时,f(x)的最小值为 f(1)= ;1<a<e2 时,f(x)的最小值为 f( a)= a- 2 2 1 1 aln a;a≥e2 时,f(x)的最小值为 f(e)= e2-a. 2 2


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