2016年河北省名师俱乐部高考数学模拟试卷(理科)

2016 年河北省名师俱乐部高考数学模拟试卷(理科)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一个是符合题目要求的. 2 1. (5 分) (2016?泉州校级模拟) 已知集合 A={x|2x ﹣3x﹣9≤0}, B={x|x≥m}. 若 (?RA) ∩B=B,则实数 m 的值可以是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 2. (5 分) (2016?河北模拟)已知复数 z 满足 ,且 z 的实部与虚部之和为 0,则实

数 m 等于( ) A.﹣3 B.﹣1 C.1 D.3 3. (5 分) (2016?河北模拟)已知函数 f(x)=sin(ωx+φ) (ω>0)图象的两条相邻的对称 轴的距离为 A. .若角 φ 的终边经过点 P(1,﹣2) ,则 f( B. C.﹣ D.﹣ )等于( )

4. (5 分) (2016?衡阳县模拟)已知双曲线



=1(a>0,b>0)的右焦点为 F,直线

x=a 与双曲线的渐近线在第一象限的交点为 A,且直线 AF 与双曲线的一条渐近线关于直线 y=b 对称,则双曲线的离心率为( ) A. B.3 C.2 D. 5. (5 分) (2016?河北模拟)如图是一个程序框图,则输出的 S 的值是( )

A.0 B.1 C.2 D.4 6. (5 分) (2016?河北模拟) 在四棱锥 P﹣ABCD 中, 底面 ABCD 是一直角梯形, BA⊥AD, AD∥BC, AB=BC=2, PA=3, PA⊥底面 ABCD, E 是棱 PD 上异于 P, D 的动点. 设 则“0<m<2”是三棱锥 C﹣ABE 的体积不小于 1 的( ) =m,

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A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 7. (5 分) (2016?河北模拟)从装有若干个大小相同的红球、白球和黄球的袋中随机摸出 1 个球,摸到红球、白球和黄球的概率分别为 , , ,从袋中随机摸出一个球,记下颜色 后放回,连续摸 3 次,则记下的颜色中有红有白但没有黄的概率为( A. B. C. D. ) ,且 sinθ﹣cosθ=﹣ ,则 )

8. (5 分) (2016?河北模拟)已知 θ∈(0, 等于( A. ) B. C. D.

9. (5 分) (2016?河北模拟)已知向量 , 满足,| |=2,| |=5, ? =6,λ∈R,则| ﹣ λ |的取值范围是( A.[ ,+∞) ) C.[ ,+∞) D.[1,4]

B.[ ,+∞)

10. (5 分) (2016?浦城县模拟)某几何体的三视图如图所示,记 A 为此几何体所有棱的长 度构成的集合,则( )

A.3∈A B.5∈A C.2 ∈A D.4 ∈A 2 2 11. (5 分) (2016?河北模拟)如图所示,已知点 S(0,3) ,SA,SB 与圆 C:x +y ﹣my=0 2 (m>0)和抛物线 x =﹣2py(p>0)都相切,切点分别为 M,N 和 A,B,SA∥ON,则点 A 到抛物线准线的距离为( )

A.4 B.2 C.3 D.3 12. (5 分) (2016?河北模拟)已知函数 f(x)=(x﹣x1) (x﹣x2) (x﹣x3) (其中 x1<x2< x3) ,g(x)=3x+sin(2x+1) ,且函数 f(x)的两个极值点为 α,β(α<β) .设 λ= μ= ,则( )
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A.g(a)<g(λ)<g(β)<g(μ) B.g(λ)<g(a)<g(β)<g(μ) <g(a)<g(μ)<g(β) D.g(a)<g(λ)<g(μ)<g(β)

C. g (λ)

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在答题卡的横线上. n 2 n * 13. (5 分) (2016?河北模拟)设(1﹣2x) =a0+a1x+a2x +…+anx (x∈N ) ,若 a1+a2=30,则 n= .
2

14. (5 分) (2016?河北模拟)如果实数 x,y 满足条件
2

,则 z=(x﹣1) +

(y+1) 的最小值为 . 2 15. (5 分) (2016?河北模拟)已知 a>0 且 a≠1,若函数 f(x)=loga[ax ﹣(2﹣a)x+3] 在[ ,2]上是增函数,则 a 的取值范围是 .

16. (5 分) (2016?河北模拟) 在△ABC 中, 内角 A, B, C 的对边分别是 a, b, c, 已知 c=6, sinA﹣sinC=sin(A﹣B) .若 1≤a≤6,则 sinC 的取值范围是 . 三、解答题:本大题共 5 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (12 分) (2016?河北模拟)已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,a1=a.当 n≥2 时, 2 2 2 * Sn =3n an+Sn﹣1 ,an≠0,n∈N . (1)求 a 的值; (2)设数列{cn}的前 n 项和为 Tn,且 cn=3 +a5,求使不等式 4Tn>Sn 成立的最小正整数 n 的值. 18. (12 分) (2016?河北模拟)雾霾影响人们的身体健康,越来越多的人开始关心如何少产 生雾霾,春节前夕,某市健康协会为了了解公众对“适当甚至不燃放烟花爆竹”的态度,随机 采访了 50 人,将凋查情况进行整理后制成下表: 年龄(岁) [15, 25) [25, 35) [35, 45) [45, 55) [55, 65) [65, 75] 5 10 15 10 5 5 频数 4 6 12 7 3 3 赞成人数 (1)以赞同人数的频率为概率,若再随机采访 3 人,求至少有 1 人持赞同态度的概率; (2)若从年龄在[15,25) ,[25,35)的被调查者中各随机选取两人进行追踪调查,记选中 的 4 人中不赞同“适当甚至不燃放烟花爆竹”的人数为 X, 求随机变量 X 的分布列和数学期望. 19. (12 分) (2016?衡阳县模拟) 如图所示, 在直角梯形 ABCD 中, AB∥CD, ∠BCD=90°, BC=CD=2,AF=BF,EC∥FD,FD⊥底面 ABCD,M 是 AB 的中点. (1)求证:平面 CFM⊥平面 BDF; (2)若 EC=2,FD=3,求平面 ADF 与平面 BEF 所成角的正弦值.
n﹣1

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20. (12 分) (2016?河北模拟)已知椭圆 C:

+

=1(a>b>0)的右焦点为 F,上顶点

为 A,短轴长为 2,O 为原点,直线 AF 与椭圆 C 的另一个交点为 B,且△AOF 的面积是△ BOF 的面积的 3 倍. (1)求椭圆 C 的方程; (2)如图,直线 l:y=kx+m 与椭圆 C 相交于 P,Q 两点,若在椭圆 C 上存在点 R,使 OPRQ 为平行四边形,求 m 的取值范围.

21. (12 分) (2016?衡阳县模拟)已知函数 f(x)=(3﹣a)x﹣2+a﹣2lnx(a∈R) (1)若函数 y=f(x)在区间(1,3)上单调,求 a 的取值范围; (2)若函数 g(x)=f(x)﹣x 在(0, )上无零点,求 a 的最小值.

选修 4-1:几何证明选讲 22. (10 分) (2016?衡阳县模拟)选修 4﹣1:几何证明选讲 如图,已知 PA 是⊙O 的切线,A 是切点,直线 PO 交⊙O 于 B、C 两点,D 是 OC 的中点, 连接 AD 并延长交⊙O 于点 E,若 PA=2 ,∠APB=30°. (Ⅰ)求∠AEC 的大小; (Ⅱ)求 AE 的长.

选修 4-4:坐标系与参数方程 23. (2016?湖南模拟)选修 4﹣4:坐标系与参数方程 在平面直角坐标系 x0y 中,动点 A 的坐标为(2﹣3sinα,3cosα﹣2) ,其中 α∈R.在极坐标 系(以原点 O 为极点,以 x 轴非负半轴为极轴)中,直线 C 的方程为 ρcos(θ﹣ (Ⅰ)判断动点 A 的轨迹的形状; (Ⅱ)若直线 C 与动点 A 的轨迹有且仅有一个公共点,求实数 a 的值. 选修 4-5:不等式选讲 24. (2016?衡阳县模拟)设函数 f(x)=|x+2|+|x﹣2|,x∈R,不等式 f(x)≤6 的解集为 M.
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)=a.

(1)求 M; (2)当 a,b∈M 时,证明:3|a+b|≤|ab+9|.

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2016 年河北省名师俱乐部高考数学模拟试卷(理科)
参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一个是符合题目要求的. 1. (5 分) (2016?泉州校级模拟) 已知集合 A={x|2x ﹣3x﹣9≤0}, B={x|x≥m}. 若 (?RA) ∩B=B,则实数 m 的值可以是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 【分析】 求出 A 中不等式的解集确定出 A, 进而求出 A 的补集, 由 A 补集与 B 的交集为 B, 得到 B 为 A 补集的子集,确定出实数 m 的范围,即可作出判断. 【解答】解:由 A 中不等式变形得: (2x+3) (x﹣3)≤0, 解得:﹣ ≤x≤3,即 A=[﹣ ,3], ∴?RA=(﹣∞,﹣ )∪(3,+∞) , ∵B=[m,+∞) ,且(?RA)∩B=B, ∴B? ?RA,即 m>3, 则实数 m 的值可以是 4, 故选:D. 【点评】此题考查了交、并、补集的混合运算,熟练掌握各自的定义是解本题的关键. 2. (5 分) (2016?河北模拟)已知复数 z 满足 数 m 等于( ) A.﹣3 B.﹣1 C.1 【分析】由 ,得 z= ,且 z 的实部与虚部之和为 0,则实
2

D.3 ,再由复数代数形式的乘除运算化简复数 z,又 z 的实部

与虚部之和为 0,列出等式求解 m 即可得答案. 【解答】解:由 得 又 z 的实部与虚部之和为 0, 则 , , = ,

解得 m=﹣1. 故选:B. 【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算,考查了复数的基本概念,是基础题. 3. (5 分) (2016?河北模拟)已知函数 f(x)=sin(ωx+φ) (ω>0)图象的两条相邻的对称 轴的距离为 .若角 φ 的终边经过点 P(1,﹣2) ,则 f( )等于( )

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A.

B.

C.﹣

D.﹣

【分析】有条件得出 f(x)的周期和 φ 的正弦,代入数值计算即可. 【解答】解:∵f(x)的图象的两条相邻的对称轴的距离为 ∴f(x)的周期 T=2× = ,解得 ω=3. .

∵角 φ 的终边经过点 P(1,﹣2) , ∴φ 为第四象限角,且 sinφ= ∴f( =﹣ . .

)=sin(7π+φ)=sin(π+φ)=﹣sinφ=

故选:A. 【点评】本题考查了正弦函数的图象与性质,三角函数的定义,属于中档题.

4. (5 分) (2016?衡阳县模拟)已知双曲线



=1(a>0,b>0)的右焦点为 F,直线

x=a 与双曲线的渐近线在第一象限的交点为 A,且直线 AF 与双曲线的一条渐近线关于直线 y=b 对称,则双曲线的离心率为( ) A. B.3 C.2 D. 【分析】由题意可得 F(c,0) ,求出双曲线的一条渐近线方程,解得 A(a,b) ,求得直线 AF 的斜率,由对称思想可得直线 AF 的斜率和渐近线的斜率互为相反数.再由离心率公式 计算即可得到所求值. 【解答】解:由题意可得 F(c,0) , 双曲线 ﹣ =1 的一条渐近线方程为 y= x,

令 x=a,可得 A(a,b) , 可得直线 AF 的方程为 y= (x﹣c) ,

由于直线 y=b 经过 A,且斜率为 0, 由对称性可得直线 AF 的斜率和渐近线的斜率互为相反数. 即有 =﹣ ,

即为 a=c﹣a,可得 c=2a, 离心率 e= =2. 故选:C. 【点评】 本题考查双曲线的离心率的求法, 注意运用渐近线方程和直线关于直线对称的思想, 考查化简整理的运算能力,属于中档题. 5. (5 分) (2016?河北模拟)如图是一个程序框图,则输出的 S 的值是( )

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A.0 B.1 C.2 D.4 【分析】 由已知中的程序框图可知: 该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 S 的值, 模拟程序的运行过程,分析循环中各变量值的变化情况,可得答案. 【解答】解:当 S=27 时,S 能被 3 整除,故 S=26,i=2,不满足退出循环的条件; 当 S=26 时,S 不能被 3 整除,故 S=15,i=3,不满足退出循环的条件; 当 S=15 时,S 能被 3 整除,故 S=10,i=4,不满足退出循环的条件; 当 S=10 时,S 不能被 3 整除,故 S=9,i=5,不满足退出循环的条件; 当 S=9 时,S 能被 3 整除,故 S=0,i=6,满足退出循环的条件, 故输出的 S 值为 0, 故选:A 【点评】本题考查的知识点是程序框图,当循环的次数不多,或有规律时,常采用模拟循环 的方法解答. 6. (5 分) (2016?河北模拟) 在四棱锥 P﹣ABCD 中, 底面 ABCD 是一直角梯形, BA⊥AD, AD∥BC, AB=BC=2, PA=3, PA⊥底面 ABCD, E 是棱 PD 上异于 P, D 的动点. 设 则“0<m<2”是三棱锥 C﹣ABE 的体积不小于 1 的( ) =m,

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【分析】经过点 E 作 EH⊥AD,垂足为 H,可得 EH⊥平面 ABCD,利用三棱锥条件计算公 式可得:VC﹣ABE= ≥1,即 EH ,又 PA=3,可得 =m≤1,即可判断出结论.

【解答】解:经过点 E 作 EH⊥AD,垂足为 H, ∵PA⊥底面 ABCD,∴平面 PAD⊥平面 ABCD. 则 EH⊥平面 ABCD, ∵VC﹣ABE=VE﹣ABC, ∴VC﹣ABE= = ×EH= ≥1,

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则 EH 又 PA=3,

, ,∴ ,∴ =m≤2﹣1=1,

∴“0<m<2”是三棱锥 C﹣ABE 的体积不小于 1 的必要不充分条件. 故选:B.

【点评】本题考查了空间位置关系的判定、体积的计算、简易逻辑的判定方法,考查了推理 能力与计算能力,属于中档题. 7. (5 分) (2016?河北模拟)从装有若干个大小相同的红球、白球和黄球的袋中随机摸出 1 个球,摸到红球、白球和黄球的概率分别为 , , ,从袋中随机摸出一个球,记下颜色 后放回,连续摸 3 次,则记下的颜色中有红有白但没有黄的概率为( A. B. C. D. )

【分析】记下的颜色中有红有白但没有黄的情况有两种:2 红 1 白,1 红 2 白,由此能求出 所求概率. 【解答】解:∵从装有若干个大小相同的红球、白球和黄球的袋中随机摸出 1 个球, 摸到红球、白球和黄球的概率分别为 , , , 从袋中随机摸出一个球,记下颜色后放回,连续摸 3 次, ∴记下的颜色中有红有白但没有黄的情况有两种:2 红 1 白,1 红 2 白, 则所求概率: p= = .

故选:C. 【点评】本题考查概率的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意 n 次独立重复试验中事 件 A 恰好发生 k 次的概率计算公式的合理运用.

8. (5 分) (2016?河北模拟)已知 θ∈(0, 等于( A. ) B. C. D.

) ,且 sinθ﹣cosθ=﹣

,则

【分析】法 1:由已知的等式记作①,利用同角三角函数间的基本关系列出关系式,记作 ②,再根据 θ 为锐角,联立①②求出 sinθ 和 cosθ 的值,进而利用二倍角的余弦函数公式 及两角和与差的正弦函数公式分别求出所求式子的分子与分母, 代入即可求出所求式子的值.

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法 2:利用两角和与差的三角函数化简已知条件以及所求表达式,通过同角三角函数基本关 系式求解即可. 【解答】解:法 1:由 sinθ﹣cosθ=﹣
2 2

,①, , cosθ= = . ,

又 sin θ+cos θ=1②, 且 θ∈ (0, ) , 联立①②解得: sinθ= ∴ 故选:D. 法 2: θ∈ (0, = , ∈( ) , ) , 且 sinθ﹣cosθ=﹣ , 可得 cos ( ) = = (sinθ+cosθ)=

, 即: cos (





=

=

=2sin(

)=2

= . 故选:D. 【点评】此题考查了二倍角的余弦函数公式,两角和与差的正弦函数公式,以及同角三角函 数间的基本关系,熟练掌握公式是解本题的关键.

9. (5 分) (2016?河北模拟)已知向量 , 满足,| |=2,| |=5, ? =6,λ∈R,则| ﹣ λ |的取值范围是( A.[ ,+∞) ) C.[ ,+∞) D.[1,4] ,而配方 的取值范围. =4﹣12λ+25λ = ; ∴ ;
2

B.[ ,+∞)

【分析】由已知条件进行数量积的运算可以得到 即可得出 【解答】解:根据条件, ,从而便可得出

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∴ 故选:C.

的取值范围是



【点评】考查向量数量积的运算,掌握本题要求

的范围,而求



范围的方法,配方法求二次函数的值域,以及不等式的性质. 10. (5 分) (2016?浦城县模拟)某几何体的三视图如图所示,记 A 为此几何体所有棱的长 度构成的集合,则( )

A.3∈A B.5∈A C.2 ∈A D.4 ∈A 【分析】 由三视图知该几何体一个直三棱柱切去一个三棱锥所得的几何体, 由三视图求出几 何元素的长度,判断出线面的位置关系,由勾股定理求出几何体的棱长,即可得到答案. 【解答】解:根据三视图可知几何体是一个三棱柱截去一个三棱锥, 四边形 ABCD 是一个边长为 4 的正方形, 且 AF⊥面 ABCD,DE∥AF,DE=4,AF=2, ∴AF⊥AB、DE⊥DC、DE⊥BD, ∴EC= BE= = =4 ,EF=FB= =4 , =2 ,

∵A 为此几何体所有棱的长度构成的集合, ∴A={2,4,4 ,4 ,4 }, 故选:D.

【点评】本题考查三视图求几何体的棱长,以及线面垂直的定义和勾股定理的应用,由三视 图正确复原几何体是解题的关键,考查空间想象能力. 11. (5 分) (2016?河北模拟)如图所示,已知点 S(0,3) ,SA,SB 与圆 C:x +y ﹣my=0 2 (m>0)和抛物线 x =﹣2py(p>0)都相切,切点分别为 M,N 和 A,B,SA∥ON,则点 A 到抛物线准线的距离为( )
2 2

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A.4 B.2 C.3 D.3 【分析】根据切线的性质可得△SMN 是等边三角形,故切线 SA 的斜率为 ,利用斜率公 式及切线的几何意义列方程即可解出 A 点坐标和 p,从而得出答案. 【解答】解:∵SM,SN 是圆 C 的切线,SA∥ON,∴SM=SN,SN∥OM. ∴四边形 SMON 是菱形,又∠SMN=∠MON, ∴△SMN 是等边三角形. 设 A(x0,y0) ,由 x =﹣2py 得 y=
2

,∴y′A=﹣

=





=

,x0 =﹣2py0,

2

∴y0=﹣3,p=2. ∴点 A 到抛物线的准线的距离 d=﹣y0+ =4. 故选 A. 【点评】本题考查了抛物线的性质,切线的性质与几何意义,属于中档题. 12. (5 分) (2016?河北模拟)已知函数 f(x)=(x﹣x1) (x﹣x2) (x﹣x3) (其中 x1<x2< x3) ,g(x)=3x+sin(2x+1) ,且函数 f(x)的两个极值点为 α,β(α<β) .设 λ= μ= ,则( ) ,

A.g(a)<g(λ)<g(β)<g(μ) B.g(λ)<g(a)<g(β)<g(μ) C. g (λ) <g(a)<g(μ)<g(β) D.g(a)<g(λ)<g(μ)<g(β) 【分析】化简 f(x) ,求函数 g(x)的导数,判断函数 g(x)的单调性,结合一元二次函 数的性质判断 α<λ<μ<β,结合函数单调性的性质进行判断即可. 3 2 【解答】 解: 由( f x) = (x﹣x1) (x﹣x2) (x﹣x3) 可得 ( f x) =x ﹣ (x1+x2+x3) x+ (x1x2+x1x3+x2x3) x﹣x1x2x3, 2 ∴f′(x)=3x ﹣2(x1+x2+x3)x+(x1x2+x1x3+x2x3)=0, 2 2 2 2 ∵△=4(x1+x2+x3) ﹣12(x1x2+x1x3+x2x3)=2[(x1﹣x2) +(x2﹣x3) +(x3﹣x1) ], ∵x1<x2<x3.∴△>0,∴方程 f′(x)=0 有两个不相等的实数根; g′(x)=3+2cos(2x+1)>0, 则 g(x)为增函数, 下面证明 α<
2

<β,

由 f′(x)=3x ﹣2(x1+x2+x3)x+(x1x2+x1x3+x2x3)=0 可得

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f′ ( <0 即 f′(

) =

﹣ (x1+x2+x3) (x1+x2) +x1x2+x1x3+x2x3﹣x1x2=﹣

)=3(

﹣α) ( <β,

﹣β)<0,

由 α<β 可得 α< 同理可知 α< ∵ ∴α< < <

<β, , <β,

即 α<λ<μ<β, ∵g(x)为增函数,∴g(a)<g(λ)<g(μ)<g(β) , 故选:D 【点评】本题主要考查函数值的大小比较,根据条件判断函数的单调性,以及 α<λ<μ<β 是解决本题的关键.综合性较强,难度较大. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在答题卡的横线上. n 2 n * 13. (5 分) (2016?河北模拟)设(1﹣2x) =a0+a1x+a2x +…+anx (x∈N ) ,若 a1+a2=30,则 n= 5 . 【分析】 (1﹣2x) =a0+a1x+a2x +…+anx = × =30,化简解出即可得出.
n 2 n n 2 n

+

+…,可得 a1+a2=﹣2+4

【解答】解: (1﹣2x) =a0+a1x+a2x +…+anx = ∴a1+a2=﹣2n+4×
2

+
*

+… ,

=30,化为 n ﹣2n﹣15=0,n∈N .

解得 n=5. 故答案为:5. 【点评】本题考查了二项式定理的应用,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.

14. (5 分) (2016?河北模拟)如果实数 x,y 满足条件

,则 z=(x﹣1) +

2

(y+1) 的最小值为

2


2 2

【分析】先根据条件画出可行域,z=x +(y+2) ,再利用几何意义求最值,只需求出可行 域内的点到点 B(0,﹣2)距离的最值,从而得到 z 最值即可. 【解答】解:先根据约束条件画出可行域,
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z=(x﹣1) +(y+1) 表示可行域内点到 B(1,﹣1)距离的平方, 当 z 是点 B 到直线 x+2y﹣2=0 的距离的平方时,z 最小, 最小值为 d = 故答案为: .
2

2

2

= .

【点评】本题主要考查了简单的线性规划,以及利用几何意义求最值,属中档题. 15. (5 分) (2016?河北模拟)已知 a>0 且 a≠1,若函数 f(x)=loga[ax ﹣(2﹣a)x+3] 在[ ,2]上是增函数,则 a 的取值范围是 {a| <a≤ 或 a≥ } .
2

【分析】利用复合函数的单调性,二次函数、对数函数的性质,分类讨论,求得 a 的范围. 【解答】解:∵a>0 且 a≠1,若函数 f(x)=loga[ax ﹣(2﹣a)x+3]在[ ,2]上是增函数, 设 g(x)=ax ﹣(2﹣a)x+3, 当 a∈(0,1)时,则 = ﹣ > ,
2 2



,求得 <a≤ .

当 a>1 时,则

,求得 a≥ .

综上可得,a 的范围为{a| <a≤ 故答案为:{a| <a≤

或 a≥ },

或 a≥ }.

【点评】本题主要考查复合函数的单调性,二次函数、对数函数的性质,属于中档题.

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16. (5 分) (2016?河北模拟) 在△ABC 中, 内角 A, B, C 的对边分别是 a, b, c, 已知 c=6, sinA﹣sinC=sin(A﹣B) .若 1≤a≤6,则 sinC 的取值范围是 [ ,1] .

【分析】由两角和与差的余弦函数公式化简已知可得 cosB= ,利用余弦定理求得 b,进而 根据正弦定理求得 sinC 的表达式,根据 a 范围即可确定 sinC 的范围. 【解答】解:∵sinA﹣sinC=sin(A﹣B) . ∴sinA=sin(A﹣B)+sinC=sin(A﹣B)+sin(A+B)=2sinAcosB, ∴由 sinA≠0,可得:cosB= , ∵c=6, ∴由余弦定理可得:b =a +c ﹣2accosB=a ﹣6a+36, ∴b= ,
2 2 2 2

于是由正弦定理可得 sinC=

=

=



∵1≤a≤6,

∈[3

,6], ,1].

从而得到 sinC 的取值范围是:[ 故答案为:[ ,1].

【点评】 本题主要考查了两角和与差的余弦函数公式, 考查了余弦定理和正弦定理的综合应 用,属于基本知识的考查. 三、解答题:本大题共 5 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (12 分) (2016?河北模拟)已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,a1=a.当 n≥2 时, 2 2 2 * Sn =3n an+Sn﹣1 ,an≠0,n∈N . (1)求 a 的值; (2)设数列{cn}的前 n 项和为 Tn,且 cn=3 的值.
2 2 2 n﹣1

+a5,求使不等式 4Tn>Sn 成立的最小正整数 n

【分析】 (1) 通过在 Sn =3n an+Sn﹣1 中令 n=2、 3, 结合 a1=a 计算可知 a2=12﹣2a、 a3=3+2a, 利用 a1+a3=2a2 计算可知 a=3,验证其是否成立即可; (2)通过(1)可知 cn=3
n﹣1

+15,进而利用分组求和法计算可知 Tn=

+15n,问题转

化为解不等式 4(

+15n)>
2 2

,计算即得结论.
2

【解答】解: (1)∵a1=a,当 n≥2 时 Sn =3n an+Sn﹣1 , ∴(a+a2) =12a2+a ,
2 2

=27a3﹣(a+a2) ,
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2

∵an≠0, ∴a2=12﹣2a,a3=3+2a, ∵a1+a3=2a2, ∴2(12﹣2a)=a+3+2a,解得 a=3, 经检验,当 a=3 时 an=3n,Sn= (2)由(1)可知 cn=3 ∴Tn= ∵4Tn>Sn, ∴4(
n n﹣1

、Sn﹣1=

满足 Sn =3n an+Sn﹣1 ;

2

2

2

+15,

+15n,

+15n)>


n

整理得:2?3 +60n﹣2>165,即 2?3 +60n>167, n ∵f(n)=2?3 +60n 为增函数,且 f(2)<167、f(3)>167, ∴满足条件的 n 的最小值为 3. 【点评】本题考查数列的通项及前 n 项和,考查运算求解能力,注意解题方法的积累,属于 中档题. 18. (12 分) (2016?河北模拟)雾霾影响人们的身体健康,越来越多的人开始关心如何少产 生雾霾,春节前夕,某市健康协会为了了解公众对“适当甚至不燃放烟花爆竹”的态度,随机 采访了 50 人,将凋查情况进行整理后制成下表: 年龄(岁) [15, 25) [25, 35) [35, 45) [45, 55) [55, 65) [65, 75] 5 10 15 10 5 5 频数 4 6 12 7 3 3 赞成人数 (1)以赞同人数的频率为概率,若再随机采访 3 人,求至少有 1 人持赞同态度的概率; (2)若从年龄在[15,25) ,[25,35)的被调查者中各随机选取两人进行追踪调查,记选中 的 4 人中不赞同“适当甚至不燃放烟花爆竹”的人数为 X, 求随机变量 X 的分布列和数学期望. 【分析】 (1)先求出赞同人数的概率,由此能求出至少有 1 人持赞同态度的概率. (2)依题意得 X=0,1,2,3,分别求出相应的概率,由此能求出 X 的分布列和 X 的数学 期望 EX. 【解答】解: (1)随机采访的 50 人中,赞成人数有:4+6+12+7+3+3=35 人, ∵以赞同人数的频率为概率,∴赞同人数的概率 p1= ∴至少有 1 人持赞同态度的概率 p=1﹣(1﹣
3

=



) =0.973.

(2)从年龄在[15,25) ,[25,35)的被调查者中各随机选取两人进行追踪调查, 记选中的 4 人中不赞同“适当甚至不燃放烟花爆竹”的人数为 X, 依题意得 X=0,1,2,3, P(X=0)= = ,

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P(X=1)=

+

=



P(X=2)=

?

=



P(X=3)=

?

=



∴X 的分布列是: X 0 P ∴X 的数学期望 EX=

1

2

3

+3×

= .

【点评】 本题考查概率的求法, 考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法, 是中档题, 解题时要认真审题,注意排列组合知识的合理运用. 19. (12 分) (2016?衡阳县模拟) 如图所示, 在直角梯形 ABCD 中, AB∥CD, ∠BCD=90°, BC=CD=2,AF=BF,EC∥FD,FD⊥底面 ABCD,M 是 AB 的中点. (1)求证:平面 CFM⊥平面 BDF; (2)若 EC=2,FD=3,求平面 ADF 与平面 BEF 所成角的正弦值.

【分析】 (1)推导出四边形 BCDM 是正方形,从而 BD⊥CM,又 DF⊥CM,由此能证明 CM⊥平面 BDF. (2)建立以 C 为坐标原点,CB,CD,CE 分别为 x,y,z 轴的空间直角坐标系,求出两个 平面的法向量,利用向量法进行求解即可. 【解答】证明: (1)∵FD⊥底面 ABCD,∴FD⊥AD,FD⊥BD, ∵AF=BF,∴△ADF≌△BDF,∴AD=BD, 连接 DM,则 DM⊥AB, ∵AB∥CD,∠BCD=90°, ∴四边形 BCDM 是正方形,∴BD⊥CM, ∵DF⊥CM,∴CM⊥平面 BDF. ∵CM? 平面 CFM. ∴平面 CFM⊥平面 BDF; (2)建立以 C 为坐标原点,CB,CD,CE 分别为 x,y,z 轴的空间直角坐标系如图: ∵EC=2,FD=3,BC=CD=2, ∴B(2,0,0) ,D(0,2,0) ,E(0,0,2) ,F(0,2,3) , 则 =(﹣2,2,0) , =(2,0,﹣2) , =(0,2,1) ,

设平面 BEF 的一个法向量为 =(x,y,z) ,
第 17 页(共 24 页)







令 x=1,则 y=﹣ ,z=1,则 =(1,﹣ ,1) , 由(1)知 AD=BD,∠ABD=45°,则,∠ADB=90°,即 AD⊥BD, ∵DF⊥BD,∴BD⊥平面 ADF, 则 =(﹣2,2,0)是平面 ADF 的一个法向量, , >= = ,

则 cos<

则 sin<

, >=

, .

即平面 ADF 与平面 BEF 所成角的正弦值是

【点评】 本题考查线面垂直的证明以及二面角的求解, 考查满足线面平行的点的位置的确定, 建立空间坐标系,求出平面的法向量,利用向量法是解决本题的关键.

20. (12 分) (2016?河北模拟)已知椭圆 C:

+

=1(a>b>0)的右焦点为 F,上顶点

为 A,短轴长为 2,O 为原点,直线 AF 与椭圆 C 的另一个交点为 B,且△AOF 的面积是△ BOF 的面积的 3 倍. (1)求椭圆 C 的方程; (2)如图,直线 l:y=kx+m 与椭圆 C 相交于 P,Q 两点,若在椭圆 C 上存在点 R,使 OPRQ 为平行四边形,求 m 的取值范围.

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【分析】 (1)由题意可得 b=1,A(0,1) ,设 F(c,0) ,B(x0,y0) ,运用三角形的面积 公式可得 y0=﹣ , 再由直线 AF 的方程经过 B, 可得 B 的坐标, 代入椭圆方程, 解得 a, b, 进而得到椭圆方程; (2)设 P(x1,y1) ,Q(x2,y2) ,由 OPRQ 为平行四边形,可得 x1+x2=xR,y1+y2=yR,R 在椭圆 C 上,代入椭圆方程,再由直线 l 与椭圆方程联立,运用韦达定理和判别式大于 0, 化简整理,解不等式即可得到所求 m 的范围. 【解答】解: (1)短轴长为 2,可得 b=1, 即有 A(0,1) ,设 F(c,0) ,B(x0,y0) , △AOF 的面积是△BOF 的面积的 3 倍, 即为 c?1=3? c?|y0|, 可得 y0=﹣ ,由直线 AF:y=﹣ +1 经过 B, 可得 x0= c,即 B( c,﹣ ) ,代入椭圆方程可得,
2 2 2 2

+ =1,即为 a =2c ,即有 a =2b =2,
2

则椭圆方程为

+y =1;

(2)设 P(x1,y1) ,Q(x2,y2) , 由 OPRQ 为平行四边形,可得 x1+x2=xR,y1+y2=yR, R 在椭圆 C 上,可得 +(y1+y2) =1,
2

即为
2

+(k(x1+x2)+2m) =1,
2 2

2

化为(1+2k ) ( (x1+x2) +8km(x1+x2)+8m =2,① 由
2 2

可得(1+2k )x +4kmx+2m ﹣2=0,
2 2 2 2

2

2

2

由△=16k m ﹣4(1+2k ) (2m ﹣2)>0,即为 1+2k >m ,② x1+x2=﹣
2 2

,代入①可得



+8m =2,

2

化为 1+2k =4m ,代入②可得 m≠0, 又 4m =1+2k ≥1,解得 m≥ 或 m≤﹣ . 则 m 的取值范围是(﹣∞,﹣ ]∪[ ,+∞) . 【点评】本题考查椭圆方程的求法,注意运用椭圆的性质和点满足椭圆方程,考查直线方程 和椭圆方程联立,运用韦达定理和判别式大于 0,考查化简整理的运算能力,属于中档题.
第 19 页(共 24 页)
2 2

21. (12 分) (2016?衡阳县模拟)已知函数 f(x)=(3﹣a)x﹣2+a﹣2lnx(a∈R) (1)若函数 y=f(x)在区间(1,3)上单调,求 a 的取值范围; (2)若函数 g(x)=f(x)﹣x 在(0, )上无零点,求 a 的最小值. 【分析】 (1)求出函数的导数,通过讨论 a 的范围,判断导函数的符号,从而求出函数的单 调区间即可; (2)问题转化为对 x∈(0, ) ,a>2﹣ 根据函数的单调性求出 a 的范围即可. 【解答】解: (1)f′(x)=3﹣a﹣ = , 恒成立,令 l(x)=2﹣ ,x∈(0, ) ,

当 a≥3 时,有 f′(x)<0,即函数 f(x)在区间(1,3)上单调递减; 当 a<3 时,令 f′(x)=0,得 x= 则 ≤1 或 ,若函数 y=f(x)在区间(1,3)单调,

≥3,解得:a≤1 或 ≤a<3,

综上,a 的范围是(﹣∞,1]∪[ ,+∞) ; (2)x→0 时,g(x)→+∞, ∴g(x)=(2﹣a) (x﹣1)﹣2lnx<0 在区间(0, )上恒成立不可能, 故要使函数 g(x)在(0, )无零点,只需对任意的 x∈(0, ) ,g(x)>0 恒成立, 即对 x∈(0, ) ,a>2﹣ 令 l(x)=2﹣ 恒成立,

,x∈(0, ) ,

则 l′(x)=



令 m(x)=2lnx+ ﹣2,x∈(0, ) ,

则 m′(x)=

<0,

故 m(x)在(0, )上递减,于是 m(x)>m( )=2﹣2ln2>0, 从而,l′(x)>0,于是 l(x)在(0, )递增, ∴l(x)<l( )=2﹣4ln2, 故要使 a>2﹣ 恒成立,只需 a∈[2﹣4ln2,+∞) ,
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综上,若函数 g(x)=f(x)﹣x 在(0, )上无零点,则 a 的最小值是 2﹣4ln2. 【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题,考查导数的应用以及函数恒成立问题,是一 道中档题. 选修 4-1:几何证明选讲 22. (10 分) (2016?衡阳县模拟)选修 4﹣1:几何证明选讲 如图,已知 PA 是⊙O 的切线,A 是切点,直线 PO 交⊙O 于 B、C 两点,D 是 OC 的中点, 连接 AD 并延长交⊙O 于点 E,若 PA=2 ,∠APB=30°. (Ⅰ)求∠AEC 的大小; (Ⅱ)求 AE 的长.

【分析】 (Ⅰ) 先连接 AB, 根据切线的性质以及已知条件得到: ∠AOB=60°; 再结合 OA=OB 以及∠ABC=∠AEC 即可得到结论; (Ⅱ)分两段,先根据直角三角形中的有关性质求出 AD,再结合相交弦定理求出 DE,二 者相加即可. 【解答】解: (Ⅰ)连接 AB,因为:∠APO=30°,且 PA 是⊙O 的切线, 所以:∠AOB=60°; ∵OA=OB ∴∠AB0=60°; ∵∠ABC=∠AEC ∴∠AEC=60°. (Ⅱ)由条件知 AO=2,过 A 作 AH⊥BC 于 H,则 AH= , 在 RT△AHD 中,HD=2,∴AD= ∵BD?DC=AD?DE, ∴DE= . . = .

∴AE=DE+AD=

【点评】本题主要考察与圆有关的比例线段,其中涉及到相交弦定理,同弧所对的圆周角相 等以及弦切角等知识,是对知识的综合考察,属于中档题目.
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选修 4-4:坐标系与参数方程 23. (2016?湖南模拟)选修 4﹣4:坐标系与参数方程 在平面直角坐标系 x0y 中,动点 A 的坐标为(2﹣3sinα,3cosα﹣2) ,其中 α∈R.在极坐标 系(以原点 O 为极点,以 x 轴非负半轴为极轴)中,直线 C 的方程为 ρcos(θ﹣ (Ⅰ)判断动点 A 的轨迹的形状; (Ⅱ)若直线 C 与动点 A 的轨迹有且仅有一个公共点,求实数 a 的值. 【分析】 (Ⅰ)设动点 A 的直角坐标为(x,y) ,则 ,利用同角三角函数的 )=a.

基本关系消去参数 α 可得直角坐标方程,从而得到点 A 的轨迹. (Ⅱ)把直线 C 方程为直角坐标方程,由题意可得直线 C 与圆相切,故有圆心到直线的距 离等于半径,由此解得 a 的值. 【解答】解: (Ⅰ)设动点 A 的直角坐标为(x,y) ,则 数的基本关系消去参数 α 可得, 2 2 (x﹣2) +(y+2) =9,点 A 的轨迹为半径等于 3 的圆. (Ⅱ)把直线 C 方程为 ρcos(θ﹣ 由题意可得直线 C 与圆相切,故有 )=a 化为直角坐标方程为 + =2a, ,利用同角三角函

=3,解得 a=3 或 a=﹣3.

【点评】 本题主要考查把参数方程化为普通方程的方法, 把极坐标方程化为直角坐标方程的 方法,点到直线的距离公式的应用,直线和圆的位置关系,属于基础题. 选修 4-5:不等式选讲 24. (2016?衡阳县模拟)设函数 f(x)=|x+2|+|x﹣2|,x∈R,不等式 f(x)≤6 的解集为 M. (1)求 M; (2)当 a,b∈M 时,证明:3|a+b|≤|ab+9|. 【分析】 (1)由条件利用绝对值的意义求出不等式 f(x)≤6 的解集 M. 2 2 (2)用分析法证明此不等式,分析使此不等式成立的充分条件为(a ﹣9) (9﹣b )≤0, 2 2 而由条件 a,b∈M 可得(a ﹣9) (9﹣b )≤0 成立,从而证得要证的不等式. 【解答】解: (1)不等式即|x+2|+|x﹣2|≤6, 而|x+2|+|x﹣2|表示数轴上的 x 对应点到﹣2、2 对应点的距离之和, ﹣3 和 3 对应点到﹣2、2 对应点的距离之和正好等于 6, 故不等式的解集为 M=[﹣3,3]. 2 2 (2)要证 3|a+b|≤|ab+9|,只要证 9(a+b) ≤(ab+9) , 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 即证:9(a+b) ﹣(ab+9) =9(a +b +2ab)﹣(a ?b +18ab+81)=9a +9b ﹣a ?b ﹣81=(a 2 ﹣9) (9﹣b )≤0, 而由 a,b∈M,可得﹣3≤a≤3,﹣3≤b≤3, 2 2 2 2 ∴(a ﹣9)≤0, (9﹣b )≥0,∴(a ﹣9) (9﹣b )≤0 成立, 故要证的不等式 3|a+b|≤|ab+9|成立.
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【点评】本题主要考查绝对值的意义、绝对值不等式的解法,用分析法证明不等式,体现了 转化的数学思想,属于中档题.

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参与本试卷答题和审题的老师有:sllwyn;sxs123;zhczcb;双曲线;翔宇老师;沂蒙松; zlzhan;qiss;wkl197822;gongjy;maths;caoqz;w3239003;cst;1619495736;庞会丽(排 名不分先后) 菁优网 2016 年 8 月 15 日

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