《一元二次不等式及其解法》练习题


一元二次不等式及其解法
一、选择题 1.设集合 A={x|x -2x-3<0},B={x|1≤x≤4},则 A∩B= A.{x|1≤x<3} C.{x|3<x≤4} 2.不等式 B.{x|1≤x≤3} D.{x|3≤x≤4} ( B.(-1,2] D.[-1,2]
2 2

(

)

x-2 ≤0 的解集是 x+1

)

A.(-∞,-1)∪(-1,2] C.(-∞,-1)∪[2,+∞)
2

3.若不等式 ax +bx+c>0 的解集是(-4,1),则不等式 b(x -1)+a(x+ 3)+c>0 的解集为 ( 4 A.(- ,1) 3 C.(-1,4) 4 B.(-∞,1)∪( ,+∞) 3 D.(-∞,-2)∪(1,+∞) )

4.在 R 上定义运算:x*y=x(1-y).若不等式(x-y)*(x+y)<1 对一切实数 x 恒成立,则 实数 y 的取值范围是 1 3 A.(- , ) 2 2 C.(-1,1)
2 2

( 3 1 B.(- , ) 2 2 D.(0,2)

)

5.若函数 f(x)=(a +4a-5)x -4( a-1) x+3 的图象恒在 x 轴上方,则 a 的取值范围是 ( ) A.[1,19] C.[1,19)
2

B.(1,19) D.(1,19] ( )

6. 设 f(x)=x +bx-3, 且 f(-2)=f(0), 则 f(x)≤0 的解集为 A.(-3,1) C.[-3,-1] 二、填空题 7.已知函数 y=(m-1)x -mx-m 的图象如图,则 m 的取值范围是________.
2

B.[-3,1] D.(-3,-1]

x ? ? ,x≥0 8. 已知 f(x)=?2 ? ?-x2+3x,x<0
2

, 则不等式 f(x)<f(4)的解集为________.

2x +2mx+m 9.如果不等式 2 <1 对一切实数 x 均成立,则实数 m 的取值范围是________. 4x +6x+3
1

三、解答题 10.解下列不等式: 2 2 (1)-x +2x- >0; 3 (2)8x-1 ≤16x .
2

11.已知函数 f(x)=-x +ax+b -b+1(a∈R,b∈R),对任意实数 x 都有 f(1-x)=

2

2

f(1+x)成立,若当 x∈[-1,1]时,f(x)>0 对 x∈[-1,1]恒成立,求 b 的取值范围.

12.某商品在最近 30 天内的销售价格 f(t)与时间 t(单位:天)的函数关系是 f(t)=t + 10(0<t≤30,t∈N);销售量 g(t)与时间 t 的函数关系是 g(t)=-t+35(0<t≤30,t∈ N),记日销售金额为 Φ (t)(单位:元),若使该种商品日销售金额不少于 450 元,求时间 t 满足的条件.

2

详解答案

一、选择题 1.解析:由 x -2x-3<0,得(x-3)(x+1)<0, 即-1<x<3. ∴A={x|-1<x<3}. 又∵B={x|1≤x≤4}, ∴A∩B={x|1≤x<3}. 答案:A 2.解析:∵
2

x-2 ≤0 等价于(x-2)(x+1)≤0,(x≠-1) x+1

∴-1<x≤2. 答案:B 3.解析:由不等式 ax +bx+c>0 的解集为(-4,1)知 a<0,-4 和 1 是方程 ax +bx+c =0 的两根,∴-4+1=- ,-4×1= ,即 b=3a,c=-4a.故所求解的不等式为 3a(x 4 2 -1)+a(x+3)-4a>0,即 3x +x-4<0,解得- <x<1. 3 答案:A 4 .解析:由题意知,(x-y)*(x+y)=(x-y)[1-(x+y)]<1 对一切实数 x 恒成立,∴ -x +
2 2 2

b a

c a

2

x+y2-y-1<0 对于 x∈R 恒成立,故 Δ =12-4×(-1)×(y2-y-1)<0,
1 3 2 ∴4y -4y-3<0,解得- <y< . 2 2 答案:A 5.解析:函数图象恒在 x 轴上方,即不等式(a +4a-5)x -4(a-1)x+3>0 对于一切 x ∈R 恒成立. (1)当 a +4a-5=0 时,有 a=-5 或 a=1.若 a=-5,不等式化为 24x+3>0,不满足 题意;若 a=1,不等式化为 3>0,满足题意. (2)当 a +4a-5≠0 时,应有
?a +4a-5>0 ? ? 2 2 ? ?16?a-1? -12?a +4a-5?<0
2 2 2 2 2

, 解 得 1<a< 19. 综 上 可 知 , a 的 取 值 范 围 是

1≤a<19. 答案:C

3

b -2+0 6.解析:∵ f(-2)=f(0),∴x=- = =-1, 2 2
而 b=2 . ∴f(x)≤0? x +2x-3≤0? (x+3)(x-1)≤0, ∴-3≤x≤1. 答案:B 二、填空题
2

m-1<0 ? ?Δ <0 7.解析:由图可知? -m - ? ? 2?m-1?<0

4 ,所以 0<m< . 5

? 4? 答案:?0, ? ? 5?
8.解析:f(4)=2,即不等式为 f(x)<2. 当 x≥0 时,由 <2,得 0≤x<4; 2 当 x<0 时,由-x +3x<2, 得 x<1 或 x>2,因此 x<0. 综上,有 0≤x<4 或 x<0,即 x<4, 故 f(x)<f(4)的解集为{x|x<4}. 答案:{x|x<4} 9.解析:由于 4x +6x+3>0,所以不等式可化为 2x +2mx+m<4x +6x+3,即 2x +(6-2m)x+(3-m)>0.依题意有(6-2m) -8(3-m)<0,解得 1<m<3. 答案:(1,3) 三、解答题 10.解:(1)两边都乘-3,得 3x -6x+2<0, ∵3x -6x+2=0 的解是
2 2 2 2 2 2 2 2

x

x1=1-

3 3 ,x2=1+ , 3 3 3 3 <x<1+ }. 3 3
2 2 2

∴原不等式的解集为{x|1-

(2)法一: ∵原不等式即为 16x -8x+1≥0, 其相应方程为 16x -8x+1=0, Δ =(-8) -4×16=0. 1 ∴上述方程有两相等实根 x= . 4 结合二次函数 y=16x -8x+1 的图象知,
2

4

原不等式的解集为 R. 法二:8x-1≤16x ?16x -8x+1≥0?(4x -1) ≥0, ∴x∈R, ∴原不等式的解集为 R. 11.解:由 f(1-x)=f(1+x),知 f(x)的对称轴为 x= =1,故 a=2. 2 又 f(x)开口向下,所以当 x∈[-1,1]时,f(x)为增函数,
2 2 2

a

f(x)min=f(-1)=-1-2+b2-b+1=b2-b-2, f(x)>0 对 x∈[-1,1]恒成立,即 f(x)min=b2-b-2>0 恒成立,
解 得 b<-1 或 b>2. 12.解:由题意知 Φ (t)=f(t)g(t)=(t+10)(-t+35) =-t +25t+350(0<t≤30,t∈N), 由 Φ (t)≥450 得-t +25t+350≥450?t -25t+100≤0?5≤t≤20. 所以若 使该种商品日销售金额不少于 450 元,则时间 t 满足 t∈[5,20](t∈N).
2 2 2

5


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