广东省2012届高考数学文二轮专题复习课件:专题1 第07课时 函数与方程


专题一 函数、导数与不等式

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考点1 函数的零点
例1(2011? 新课标全国卷)在下列区间中,函数f ? x ? ? e x ? 4x ? 3的零点所在的区间为(    ) 1 A. , (? 0) 4 1 1 C. , ) ( 4 2 1 B., ) (0 4 1 3 D. , ) ( 2 4

切入点:根据零点定理,考查区间端点函数数值 的符号.
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解析

易知函数f ? x ? 为单调增函数,
1 4 1 4

1 又f ( ) ? e ? 1 ? 3 ? e ? 3<0, 4 1 1 1 f ( ) ? e 2 ? 2 ? 3 ? e 2 ? 1>0, 2 1 1 所以f ? x ?的零点所在区间为( , ). 4 2

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1.对函数零点的判断,要注意:(1)f(x)在[a, b]上连续;(2)f(a).f(b)<0;(3)在(a,b)内存在零 点.这是零点存在的一个充分不必要条件. 2.零点存在的判断常常要结合函数的性质、 导数等知识.

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变式1 方程log 4 x ? x ? 7的解所在的区间是 ? C ? A. 2 ? ?1, C. 6 ? ? 5, B. 4 ? ? 3, D. 7 ? ? 6,

解析 构造函数F ? x ? ? log 4 x ? x ? 7. 因为F ? 5 ? ? log 4 5 ? 2 ? 0,F ? 6 ? ? log 4 6 ? 1 ? 0, 所以F ? x ? 在 ? 5,6 ?内有零点, 即log 4 x ? x ? 7在 ? 5,6 ?内有解,故选C.
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考点2 二分法求函数的零点的近似值
例2 已知函数f ? x ? ? e x ? 4x ? 3.

?1? 求证:函数f ? x ? 在区间? 0,1? 上存在唯一的零点,并 用二分法求函数f ? x ?的零点的近似值(精确度为0.2)(参
考数据:e ? 2.7,e ? 1.6,e 0.25 ? 1.3;e 0.375 ? 1.45);

? 2 ?当x ? 1时,若关于x的不等式f ? x ? ? ax恒成立,试求
实数a的取值范围.

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切入点:要注意题目要求,第 ?1?问,首先要 证明f ? x ? 在? 0,1? 上的零点的存在性和唯一性, 然后再用二分法求其零点;第 ? 2 ?问采用“分 离系数法”,转化为函数的最值问题.

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解析

?1? 证明:由f ? x ? ? e x ? 4x ? 3,

得f ? ? x ? ? e x ? 4 ? 0, 所以f ? x ? 在? 0,1? 上单调递增. 因为f ? 0 ? ? ?2,f ?1? ? e ? 1 ? 0,f ? 0 ? ? f ?1? ? 0, 所以f ? x ? 在? 0,1? 上存在唯一零点.

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取区间? 0,1?作为起始区间,用二分法逐次计算如下:

由上表可知区间? 0.375,0.5?的长度为0.125 ? 0.2, 所以函数f ? x ?的零点的近似值可取0.375(或0.5).
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ex ? 4x ? 3 . ? 2 ?当x ? 1时,由f ? x ? ? ax,得a ? x x x e ? 4x ? 3 e ? x ? 1? ? 3 令g ? x ? ? ,则g ? ? x ? ? . 2 x x 因为x ? 1,所以g ? ? x ? ? 0, 所以g ? x ? 在[1, ?)上单调递增, ? 所以 ? g ? x ? ? min ? g ?1? ? e ? 1. ? ? 所以a的取值范围是(??,e ? 1].
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1.证明存在唯一零点常利用零点存在定 理证明存在性,利用函数的单调性证明唯一 性. 2.二分法是求方程根的近似值的计算方 法.要注意“精确度”和“精确到”的不同要 求. 3.恒成立问题常采用“分离系数法”转 化为函数的最值问题求解.
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变式2 用二分法研究函数f ? x ? ? x 3 ? 3x ? 1的零点时, 第一次经计算f ? 0 ? ? 0,f ? 0.5 ? ? 0,可得其中一个零 点x0 ? ____ ,第二次应计算 ____ .以上横线处应填 的内容是( A ) A.0, 0.5 ?,f ? 0.25 ? ? C.0.5,1?,f ? 0.75 ? ? B. ?,f ? 0.25 ? ? 0,1 D.0, 0.5 ?,f ? 0.125 ? ?

解析 由f ? 0 ? ? 0,f ? 0.5? ? 0,知零点 x0 ? ? 0,0.5?.第二次应计算f ? 0.25?.
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考点3 函数与方程及不等式的联系
例3(2011? 惠州三模)已知函数f ? x ? ? e x,直线l的方程为 y ? kx ? b.

?1? 求过函数图象上的任一点P(t,f ? t ?)的切线方程; ? 2 ? 若直线l是曲线y ? f ? x ?的切线,求证:f ? x ? ? kx ? b
对任意x ? R成立; ? ? 3? 若f ? x ? ? kx ? b对任意x ? [0, ?)成立,求实数k、b应 满足的条件.
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切入点: ? 求导定斜率即可; ? 构造函数F ? x ? ? ?1 ?2 f ? x ? ? kx ? b,转化为证明函数的最小值大于或 等于零即可; ? 构造函数H ? x ? ? f ? x ? ? kx ? b ? ?3 e x ? kx ? b,x ? [0, ?),再由函数的最小值大于 ? 或等于零分类求k、b满足的条件.

?1?因为f ? ? x ? ? e ,则记切点为T (t,e ), 所以切线l的方程为y ? et ? et ? x ? t ?, t t 即y ? e x ? e ?1 ? t ?.
解析
x t
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? k ? et ? ,记函数F ? x ? ? f ? x ? ? kx ? b, ? 2 ?由?1? ? t ?b ? e (1 ? t ) ? x t t x t 所以F ? x ? ? e ? e x ? e ?1 ? t ?,所以F ? ? x ? ? e ? e , 所以F ? x ? 在x ? (??,t )时单调递减,在x ? (t, ?) ? 时单调递增, 故 ? F ? x ? ? min ? F ? t ? ? e ? e t ? e ?1 ? t ? ? 0, ? ?
t t t

所以F ? x ? ? f ? x ? ? kx ? b ? 0,

即f ? x ? ? kx ? b对任意x ? R成立.
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3? 设H ? x ? ? f ? x ? ? kx ? b ? e x ? kx ? b,x ? [0, ? ), ? ? 所以H ? ? x ? ? e x ? k,x ? [0, ? ). ? ①当k ? 1时,H ? ? x ? ? 0, 则H ? x ? 在x ? [0, ?)时单调递增, ? 所以 ? H ? x ? ? min ? H ? 0 ? ? 1 ? b ? 0, ? ? ?k ? 1 所以b ? 1,即 ? 符合题意; ?b ? 1

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②当k ? 1时,H ? x ? 在x ? [0,lnk )时单调递减, x ? [lnk, ?)时单调递增, ? 所以 ? H ? x ? ? min ? H ? lnk ? ? k ? klnk ? b ? 0, ? ? ?k ? 1 所以b ? k ?1 ? lnk ?,所以 ? . ?b ? k (1 ? ln k ) 综上所述,满足题意的条件是 ?k ? 1 ?k ? 1 或? . ? ?b ? 1 ?b ? k (1 ? ln k )
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函数与方程、不等式的联系问题往往通 过构造函数,利用导数工具转化为求最大 值、最小值问题.

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变式3 定义域为R的偶函数f ? x ?,当x ? 0时,f ? x ? ? lnx ? ax(a ? R ),方程f ? x ? ? 0在R上恰有5个不同 的实数解.

?1?当x ? 0时,求函数f ? x ?的解析式; ? 2 ? 求实数a的取值范围.

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?1? 设x ? 0,则 ? x ? 0. 因为f ? x ? 为偶函数, 所以f ? x ? ? f ? ? x ? ? ln ? ? x ? ? ax ? x ? 0 ?.
解析

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? ? 2 ? 方法1:因为f ? x ?为偶函数, f ? x ? ? 0的根关 于原点对称. 由f ? x ? ? 0恰有5个不同的实数解,知5个实根中 有两个正根,两个负根,一个零根,且两个正 根和两个负根互为相反数,所以原命题 ? 当x ? 0时,f ? x ?的图象与x轴恰有两个不同的交点.

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下面研究x ? 0时的情况: 1 因为f ? ? x ? ? ? a ? x ? 0 ?, x 所以,当a ? 0时,f ? ? x ? ? 0,x ? (0, ? ), ? 即f ? x ? ? lnx ? ax在(0, ? )上为单调增函数. ? 故f ? x ? ? 0在(0, ? )上不可能有两个实根, ? 所以a ? 0. 1 令f ? ? x ? ? 0,得x ? . a
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1 当0 ? x ? 时,f ? ? x ? ? 0,f ? x ? 单调递增; a 1 当x ? 时,f ? ? x ? ? 0,f ? x ? 单调递减, a 1 所以f ? x ? 在x ? 处取到极大值 ? lna ? 1. a 又当x ? 0时,f ? x ? ? ??;当x ? ??时,f ? x ? ? ??. 要使x ? 0时,f ? x ?的图象与x轴有两个交点,当且 1 仅当 ? lna ? 1 ? 0,解得0 ? a ? . e 1 故实数a的取值范围为(0,). e
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方法2:同方法1可得原命题 ? 当x ? 0时,f ? x ?的 图象与x轴恰有两个不同的交点. 下面研究x ? 0时的情况: f ? x ? ? 0的零点个数 ? y ? lnx的图象与直线y ? ax 的交点的个数. 因为当a ? 0时,y ? lnx的图象递增,直线y ? ax下 降或是x轴, 故交点的个数为1,不合题意,所以a ? 0.
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由几何意义知y ? lnx的图象与直线y ? ax交点的个 数为2时,直线y ? ax的变化应是从x轴到与y ? lnx 的图象相切之间的情形.

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1 设切点(t,lnt ),则切线的斜率k ? ? lnx ? ? |x ?t ? , t 1 所以切线方程为y ? lnt ? ? x ? t ?. t 1 由切线与直线y ? ax重合知a ? ,lnt ? 1, t 1 得t ? e,a ? . e 1 故实数a的取值范围为(0, ). e
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方法3:同方法1可得原命题 ? 当x ? 0时,f ? x ?的 图象与x轴恰有两个不同的交点. 下面研究x ? 0时的情况. lnx f ? x ?? x ? 0 ?的零点个数 ? lnx ? ax即a ? 的根的 x lnx 个数.研究函数g ? x ? ? 的图象及其单调性与极 x 1 值易得实数a的取值范围为(0,). e
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1.掌握零点存在定理:若函数f(x)在闭区间[a, b]上的图象是连续不断的一条曲线,并且在区间端 点的函数值符号相反,即f(a).f(b)<0,则f(x)在(a,b) 内至少有一个零点,即存在c∈(a,b),使得f(c)=0, 这个c也就是方程f(x)=0的根. 2.方程f(x)=0有实根?函数y=f(x)的图象与x轴 有交点?函数y=f(x)有零点. 3.函数F(x)=f(x)-g(x)的零点就是方程f(x)=g(x) 的实数根,也就是函数y=f(x)图象与函数y=g(x)的图 象的交点的横坐标.
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4.在研究函数与方程问题时,经常要用到 数形结合的思想. 5.研究函数与方程要注意与其他知识的联 系,注意导数的工具作用.

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