高中数学最新-高三数学单元知识点复习试题27 精品

第1讲 导数的概念及运算 ★ 知 识 梳理 ★ 1.用定义求函数的导数的步骤. (1)求函数的改变量Δ y; (2)求平均变化率 ?y .(3)取极限, ?x 得导数 f ? (x0)= ?lim x ?0 ?y . ?x 2.导数的几何意义和物理意义 几何意义:曲线 f(x)在某一点(x0,y0)处的导数是过点(x0, y0)的切线的 物理意义:若物体运动方程是 s=s(t) ,在点 P(i0,s(t0) )处 导数的意义是 t=t0 处 的 解析:斜率.;瞬时速度. 3. 几种常见函数的导数 c' ? 0 ( c 为常数) ; ( xn )? ? nx n ?1 ( n ? R ) ; (sin x)' ? (ln x)? ? ; (cos x)' ? ; 1 1 ; (loga x)? ? log a e ; x x (e x )' ? e x ; (a x )' ? a x ln a . 解析: cos x; ? sin x; 4.运算法则 ①求导数的四则运算法则: (u ? v) ? u ' ? v' ; (uv)' ? ' u? ;? ? ? ? ?v? ' (v ? 0) . 解析: u 'v ? uv' ; u 'v ? uv ' v2 ②复合函数的求导法则: f x' (?( x)) ? f ' (u)? ' ( x) 或 y ' x ? y ' u ? u ' x ★ 重 难 点 突 破 ★ 1.重点:理解导数的概念与运算法则,熟练掌握常见函数的计算和曲 线的切线方程的求法 2.难点:切线方程的求法及复合函数求导 3.重难点:借助于计算公式先算平均增长率,再利用函数的性质解决 有关的问题. (1)平均变化率的实际含义是改变量与自变量的改变量的比。 问题 1.比较函数 f ( x) ? 2x 与 g ( x) ? 3x ,当 x ?[1, 2] 时,平均增长率的大小. 点拨:解题规律技巧妙法总结: 计算函数的平均增长率的基本步骤是 (1)计算自变量的改变量 ?x ? x2 ? x1 (2)计算对应函数值的改变量 ?y ? (3)计算平均增长率: 对于 f ( x) ? 2x , f ( x2 ) ? f ( x2 ) ?y f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? ?x x2 ? x1 ?y1 22 ? 21 ?y 32 ? 31 ? ? 3, 又对于 g ( x) ? 3x , 2 ? ?8 ?x1 2 ?1 ?x2 2 ?1 故当 x ?[1, 2] 时, g ( x) 的平均增长率大于 f ( x) 的平均增长率. (2)求复合函数的导数要坚持“将求导进行到底”的原则, 问题 2. 已知 y ? (1 ? cos2x) 2 ,则 y ? ? . 点拨:复合函数求导数计算不熟练,其 2 x 与 x 系数不一样也是一个复 合的过程,有的同学忽视了,导致错解为: y ? ? ?2 sin 2 x(1 ? cos2 x) . ? ? ? ? 设 y ? u 2 , u ? 1 ? cos 2 x ,则 y? x ? yu u x ? 2u(1 ? cos2 x) ? 2u ? (? sin 2 x) ? (2 x) ? 2u ? (? sin 2 x) ? 2 ? ?4 sin 2 x(1 ? cos2 x) ? y ? ? ?4 sin 2 x(1 ? cos2 x) . (3)求切线方程时已知点是否切点至关重要。 问题 3. 求 y ? 2x 2 ? 3 在点 P(1,5) 和 Q(2,9) 处的切线方程。 点拨:点 P 在函数的曲线上,因此过点 P 的切线的斜率就是 y ? 在 x ? 1 处的函数值; 点 Q 不在函数曲线上,因此不能够直接用导数求值,要通过设切点的方法求切线.切忌直 接将 P , Q 看作曲线上的点用导数求解。 ? y ? 2 x 2 ? 3,? y ? ? 4 x. ? y ? x ?1 ? 4 即过点 P 的切线的斜率为 4,故切线为: y ? 4 x ? 1 . 设过点 Q 的切线的切点为 T ( x0 , y0 ) ,则切线的斜率为 4 x 0 ,又 k PQ ? y0 ? 9 , x0 ? 2 故 2 x0 ? 6 ? 4 x 0 ,? 2 x0 2 ? 8 x0 ? 6 ? 0. ? x0 ? 1,3 。 x0 ? 2 2 即切线 QT 的斜率为 4 或 12,从而过点 Q 的切线为: y ? 4 x ? 1, y ? 12x ? 15 ★ 热 点 考 点 题 型 探 析★ 考点 1: 导数概念 题型 1.求函数在某一点的导函数值 [例 1] 设函数 f ( x) 在 x0 处可导,则 ? lim x ?0 A. f ' ( x0 ) B. ? f '( x0 ) f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) 等于 ?x C. f ( x0 ) D. ? f ( x0 ) 【解题思路】由定义直接计算 [解析] lim ?x ?0 f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) f [ x0 ? (??x)] ? f ( x0 ) ? ? lim ? ? f ?( x0 ) .故选 B ?x ?0 ?x (??x) 【名师指引】求解本题的关键是变换出定义式 ?x ?0 lim f ( x ? ?x) ? f ( x) ? f ?( x0 ) ?x 考点 2.求曲线的切线方程 [例 2](高明一中 2009 届高三上学期第四次月考)如图, 函数 y ? f ( x) 的 图象在点 P 处的切线方程是 . y ? ? x ? 8 ,则 f (5) ? f ?(5) = 【解题思路】 区分过曲线 P 处的切线与过 P 点的切 线的不同,后者的 P 点不一定在曲线上. 解析:观 察图形,设 P(5, f (5)) ,过 P 点的切线方程为 y ? f (5) ?

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