(新课标)度高三数学下学期二轮复习综合验收试题(6)理_图文

2014-2015 学年度下学期高三二轮复习 数学理综合验收试题(6) 【新课标】

本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分,满分 150 分,考试时间 120 分钟。 第 I 卷(选择题,50 分) 一、选择题(每小题 5 分,10 小题,共 50 分,每小题只有一个选项符合要求) 1. 若集合 M ? {x | x 2 ? 1} , N ? {x | y ? 1 } ,则 M ? N =
x

A. N B. M 2.下列结论正确的是

C. ?

D. {x | 0 ? x ? 1}

A.若向量 a // b ,则存在唯一的实数 λ 使得 a ? λb ; B.已知向量 a, b 为非零向量,则“ a, b 的夹角为钝角”的充要条件是“ a ? b ? 0 ” ; C. “若 θ ?

π 1 π 1 ,则 cos θ ? ”的否命题为“若 θ ? ,则 cos θ ? ” ; 3 2 3 2

D.若命题 p : ?x ? R, x2 ? x ? 1 ? 0 ,则 ?p : ?x ? R, x2 ? x ? 1 ? 0 3.以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位:分) . 甲组 9 x 7 2 4 乙组 0 1 2 9 5 4 y 8

已知甲组数据的平均数为 17,乙组数据的中位数为 17, 则 x,y 的值分别为 A.2,6 B.2,7 C.3,6 D.3,7 4.某程序框图如图 1 所示,若该程序运行后输出的值是 ,则 A. a ? 6 C. a ? 4 B. a ? 5 D. a ? 7

9 5

1 n * 5.若(9x- ) (n∈N )的展开式中第 3 项的二项式系数为 36, 3 x 则其展开式中的常数项为 A.84 B.-252 C.252 D.-84 6.某 几 何 体 的 三 视 图 如 图 所 示 , 则 该几何体的表面积为 A. 3+

2 2 2 6 + 2 2

B. 3+

6 2

C. 3+

D.

2 6 + 2 2

7.

2cos10 ? tan 20 ? sin 70
A.

3

B.

3 ?1 2

C. 1

D.

3 2

8.如图所示,在 ?ABC 中, AD ? DB , F 在线段 CD 上,设 AB ? a , AC ? b , AF ? xa ? yb , 则

1 4 ? 的最小值为 x y
B. 9 3 D. 6+4 2

C

A. 6+2 2 C. 9

F

A

D

B

?x-[x],x≥0 ? 9. 设函数 f(x)=? 其中[x]表示不超过 x 的最大整数, 如[-1.3]=-2, [1.3]=1, ?f(x+1),x<0, ?

1 1 则函数 y=f(x)- x- 不同零点的个数为 4 4 A.2 B.3 C.4 D.5

10.对于三次函数 f ( x) ? ax3 ? bx2 ? cx ? d (a ? 0) ,给出定义:设 f ?( x ) 是函数 y ? f ( x) 的导数,

f ??( x) 是 f ?( x ) 的导数,若方程 f ??( x) ? 0 有实数解 x0 ,则称点 ( x0 , f ( x0 )) 为函数 y ? f ( x) 的
“拐点”。经过探究发现:任何一个三次函数都有“拐点”;任何一个三次函数都有对称中心, 且 “ 拐 点 ” 就 是 对 称 中 心 。 设 函 数 g ( x) ?

1 3 1 2 5 x ? x ? 3x ? , 则 3 2 12

g(

1 2 2 0 1 2 ? ) g ( ?) ? ? g ? ?( ) ? 2 0 1 3 2 0 1 3 2 0 1 3
B. 2012 C. 2013 D. 2014

A. 2011

第 II 卷(非选择题,共 100 分) 二、填空题(5 分每题,14、15、16 任选两题) 11.设复数

1? i ? x ? yi ,其中 x, y ? R ,则 x ? y ? ______. 2?i

12.无重复数字的五位数 a1a2a3a4a5 , 当 a1<a2, a2>a3, a3<a4, a4>a5 时称为波形数,则由 1,2,3,4,5 任 意组成的一个没有重复数字的五位数是波形数的概率为 . 13.定义域为 R 的偶函数 f ( x) 满足对 ?x ? R ,有 f ( x ? 2) ? f ( x) ? f (1) ,且当 x ? [2,3] 时,

f ( x) ? ?2 x 2 ? 12 x ? 18 ,若函数 y ? f ( x) ? log a (| x | ?1) 在 (0,??) 上至少有三个零点,则 a
的取值范围 。 考生注意:14、15、16 为选作题,请从中任选两题作答,若三题全做,则按前两题给分。 14.直线 l : ? 长为 15.如图,△ABC 为圆的内接三角形,BD 为圆的弦,且 BD//AC. 过点 A 作圆 的切线与 DB 的延长线交于点 E, AD 与 BC 交于点 F. 若 AB = AC, AE = 3 5 , BD = 4,则线段 CF 的长为______. 16. 设函数 g ( x) ?

? x ? ?1 ? t cos α ? x ? 2 ? 4cos θ ( t 为参数)与圆 C : ? ( θ 为参数)相交所得的最短弦 ? y ? 1 ? t sin α ? y ? 1 ? 4sin θ

x ? 3m ? x ?1 , m ? R. 若存在 x0 ? R , 使得 g ( x0 ) ? 4 ? 0

第 15 题图

成立,则 m 的取值范围为 三、解答题: (本大题 6 个小题,共 75 分)各题解答必须答在答题卡 II 上(必须写出必要的文字说 明、演算步骤或推理过程) 17.(本小题满分 13 分) 已知数列{ an }的前 n 项和 S n ? ? an ? ( ) n ?1 ? 2 (n 为正整数)。 (Ⅰ)令 bn ? 2n an ,求证数列{ bn }是等差数列,并求数列{ an }的通项公式;

1 2

n ?1 an , Tn ? c1 ? c2 ? ... ? cn ,求 Tn 。 n 3 1 18 (本小题 13 分)已知函数 f ( x ) ? sin 2 x ? cos 2 x ? ? x ? R ? 2 2 ? ? 5? ? , ? 时,求函数 f ? x ? 取得最大值和最小值时 x 的值; (Ⅰ)当 x ? ? ? ? 12 12 ?
(Ⅱ)令 cn ? 与向量 n ? ?2, sin B ? 平行,求 c 的值。

(Ⅱ) 设锐角 ?ABC 的内角 A、 B、 C 的对应边分别是 a , b, c , 且 a ? 1, c ? N * , 若向量 m ? ?1, sin A?

19.(本小题满分 13 分) 某公司计划在迎春节联欢会中设一项抽奖活动:在一个不透明的口袋中装入外形一样号码分别 为 1,2,3,…,10 的十个小球。活动者一次从中摸出三个小球,三球号码有且仅有两个连号 的为三等奖,奖金 30 元;三球号码都连号为二等奖,奖金 60 元;三球号码分别为 1,5,10 为 一等奖,奖金 240 元;其余情况无奖金。 (Ⅰ)求员工甲抽奖一次所得奖金 ξ 的分布列与期望; (Ⅱ)员工乙幸运地先后获得四次抽奖机会,他得奖次数 的方差是多少? 20. (本小题满分 12 分)如图,在四棱锥 P ? ABCD

中, AD // BC , AB ? AD , AB ? PA , BC ? 2 AB ? 2 AD ? 4 BE ,平面 PAB ? 平面 ABCD . (Ⅰ)求证:平面 PED ? 平面 PAC ; (Ⅱ)若直线 PE 与平面 PAC 所成的角的正弦值为
5 ,求二面角 A ? PC ? D 的平面角的余弦值. 5

21.(本小题满分 12 分) 已知圆 M : x ? 2 的圆心,离心率为

?

?

2

? y 2 ? r 2 (r ? 0) ,若椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的右顶点为圆 M a 2 b2

2 . 2

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ) 若存在直线 l : y ? kx , 使得直线 l 与椭圆 C 分别交于 A, B 两点, 与圆 M 分别交于 G , H 两点, 点 G 在线段 AB 上,且 AG ? BH ,求圆 M 的半径 r 的取值范围.

22、 (12 分)已知函数 f ( x) ? e x ? ax ? 1 ( e 为自然对数的底) (Ⅰ)求函数 f ( x ) 的单调区间; (Ⅱ)当 a ? 0 时,若函数 f ( x) ? 0 对任意的 x ? R 恒成立,求实数 a 的值; (Ⅲ)求证: ln[1 ?

2?3 2 ? 32 2 ? 3n ] ? ln[1 ? ] ? ??? ? ln[1 ? ]? 2 (3 ? 1)2 (32 ? 1)2 (3n ? 1)2

六校高 2014 级第三次诊断性考试

数学(理科)答案

一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的。 ) 1.D 2.C 3D. 4.C 5.A 6.C 7.A 8.D 9.B 10.B

. 二、填空题(本大题共 6 小题,考生答 5 小题,每小题 5 分,共 25 分。 ) (一)必做题(11—13 题) 11. —

2 5

12.

2 15

13. (0,

3 ) 3

(二)选做题(14—16 题,考生只能从中选做两题) 14. 2 7 15.

5 5 3

16. ? ? 1, ?

? ?

5? 3?

三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分。 ) 17 解 (Ⅰ) 在 S n ? ? an ? ( ) n ?1 ? 2 中, 令 n=1, 可得 S1 ? ? an ? 1 ? 2 ? a1 , 即 a1 ?

1 2

1 ..............1 2

当 n ? 2 时, ..................2 S n ?1 ? ?an ?1 ? ( ) n ? 2 ? 2, ? an ? S n ? S n ?1 ? ? an ? an ?1 ? ( ) n ?1 ,

1 2

1 2

1 ? 2a n ? an ?1 ? ( ) n ?1 , 即2n an ? 2n ?1 an ?1 ? 1 . 2
bn ? 2n an ,? bn ? bn ?1 ? 1, 即当n ? 2时,bn ? bn ?1 ? 1
又 b1 ? 2a1 ? 1,? 数列 bn ? 是首项和公差均为 1 的等差数 列................................................4 于是

?

bn ? 1 ? (n ? 1) ?1 ? n ? 2n an ,? an ?
..................6 (II)由(I)得 cn ?

n ....................................................... 2n

n ?1 1 an ? (n ? 1)( ) n ,所以 n 2

由①-②得

…………………………………… 13

18 解:(1)

………………………..3 分



……..4 分

所以当



取得最大值;

当 (2)因为向量 所以 与向量 ,

, 平行,

取得最小值;………..6 分

…………….8 分

由余弦定理 ,又
3

, ,经检验符合三角形要求………..13 分

19、 (Ⅰ)甲抽奖一次,基本事件总数为 C10 =120,奖金 ξ 的所有可能取值为 0,30,60,240. 一等奖的情况只有一种,所以奖金为 240 元的概率为 P(ξ =240)=

1 120

三球连号的情况有 1,2,3;2,3,4;……8,9,10 共 8 种,所以 P(ξ =60)=

8 1 ? 120 15

仅有两球连号中,对应 1,2 与 9,10 的各有 7 种;对应 2,3;3,4;……8,9 各有 6 种。

7? 2 ? 6? 7 7 ? 120 15 1 1 7 11 ? ? ? 奖金为 0 的概率为 P(ξ =0)= 1 ? 120 15 15 24
得奖金 30 的概率为 P(ξ =30)= ξ 的分布列为: ξ P 0 30 60 240

11 24

7 15

1 15

1 120

E? ? 0 ?

11 7 1 1 ? 30 ? ? 60 ? ? 240 ? ? 20 24 15 15 120
11 13 ? 24 24

6分

(Ⅱ) 由(Ⅰ)可得乙一次抽奖中中奖的概率为 P= 1 ?

10 分

四次抽奖是相互独立的, 所以中奖次数 η ~B(4,

13 13 11 143 ? ? )故 D? ? 4 ? .13 分 24 24 24 144

20.法一(Ⅰ)取 AD 中点 F ,连接 BF ,则 FD / /BE , ∴四边形 FBED 是平行四边形,∴ FB // ED ∵直角△ BAF 和直角△ CBA 中,

∴直角△ BAF ∴ ED ? AC ∵平面 PAB ? 平面 ABCD ,平面 PAB
AB ? PA ∴ PA ? 平面 ABCD ∴ PA ? ED , ∵ PA AC ? A

BA CB ? ?2 AF BA 直角△ CBA ,易知 BF ? AC
2分 平面 ABCD ? AB

4分

∴ ED ? 平面 PAC . 5分 ∴平面 PED ? 平面 PAC . 6分 (Ⅱ)设 ED 交 AC 于 G ,连接 PG ,则 ?EPG 是直线 PE 与平面 PAC 所成的角.设 BE ? 1 DG AD 2 ? ? , 由△ AGD △ CGE ,知 GE EC 3 ∵ AB ? AD ? 2
3 3 5 2 5 ∴ EG ? DE ? , DG ? 5 5 5

∵∴ PE ? 3 , AE ? 5 , PA ? PE 2 ? AE 2 ? 2 作 GH ? PC 于 H ,由 PC ? DE ,知 PC ? 平面 HDG , ∴ PC ? DG , ∴ ?GHD 是二面角 A ? PC ? D 的平面角. 分 ∵△ PCA △ GCH , ∴

9分

10

PA PC 6 5 ? ,而 GC ? CE 2 ? EG 2 ? GH GC 5
PA ? GC 30 ? PC 5 6 , 3 15 , 5 15 . 5

∴ GH ?

∴ tan ?GHD ? ∴ cos ?GHD ?

即二面角 A ? PC ? D 的平面角的余弦值为

12 分

法二: (Ⅰ)∵平面 PAB ? 平面 ABCD , 平面 PAB 平面 ABCD ? AB , AB ? PA ∴ PA ? 平面 ABCD 又∵ AB ? AD ,故可如图建立空间直角坐标系 o ? xyz 2分 由已知 D(0, 2, 0) , E (2, 1, 0) , C (2, 4, 0) , P(0, 0, ? ) ( ? ? 0 ) ∴ AC ? (2, 4, 0) , AP ? (0, 0, ? ) , DE ? (2, ? 1, 0) ∴ DE ? AC ? 4 ? 4 ? 0 ? 0 , DE ? AP ? 0 , ∴ DE ? AC , DE ? AP , ∴ ED ? 平面 PAC . ∴平面 PED ? 平面 PAC 4分 6分

(Ⅱ)由(Ⅰ) ,平面 PAC 的一个法向量是 DE ? (2, ? 1, 0) , PE ? (2, 1, ? ? ) 设直线 PE 与平面 PAC 所成的角为 ? , ∴ sin ? ? | cos ? PE , DE ? | ? | ∵? ? 0 ∴ ? ? 2 ,即 P(0, 0, 2)
4 ?1 5 5??
2

|?

5 , ? ? ?2 5

8分

设平面 PCD 的一个法向量为 n ? ( x0 , y0 , z0 ) , DC ? (2, 2, 0) , DP ? (0, ? 2, 2) 由 n ? DC , n ? DP
?2 x0 ? 2 y0 ? 0 ∴? ,令 x0 ? 1 ,则 n ? (1, ? 1, ? 1) ??2 y0 ? 2 z0 ? 0

10 分

∴ cos ? n , DE ? ?

2 ?1 3? 5

?

15 5

11 分

显然二面角 A ? PC ? D 的平面角是锐角, ∴二面角 A ? PC ? D 的平面角的余弦

12 分

21 解答

r2 ?

2k 2 2(1 ? k ? 1 ? k 2 1 ? 2k

22 ( Ⅰ)

f ' ( x) ? e x ? a

? a ? 0 时, f ' ( x) ? 0 , f ( x) 在 R 上单调递增。 a ? 0 时, x ? (??,ln a) 时, f ' ( x) ? 0 , f ( x) 单调递减,
x ? (ln a, ??) 时, f ' ( x) ? 0 , f ( x) 单调递增.
(Ⅱ)由(Ⅰ) , a ? 0 时, f ( x)min ? f (ln a) 3分

? f (ln a) ? 0
即 a ? a ln a ? 1 ? 0 ,记 g (a) ? a ? a ln a ? 1

(a ? 0)

g ' (a) ? 1 ? (ln a ? 1) ? ? ln a
? g (a) 在 (0,1) 上增,在 (1, ??) 上递减 ? g (a) ? g (1) ? 0
故 g (a) ? 0 ,得 a ? 1
x (Ⅲ)由(Ⅱ) e ? x ? 1 ,即 ln(1 ? x) ? x ( x ? ?1) ,则 x ? 0 时, ln(1 ? x) ? x

6分

要证原不等式成立,只需证:

n 2 ? 3k 3k ,即证: ? 2 ?1 ? ? k 2 k 2 k ?1 (3 ? 1) k ?1 (3 ? 1) n

下证

3k 2 2 ? k ? k ?1 k 2 (3 ? 1) 3 ?1 3 ?1



?

3k 4 ? 3k ? 32 k ? 2 ? 3k ? 1 3 ? 32 k ? 4 ? 3k ? 1

? 4(32k ? 2 ? 3k ? 1) ? 3 ? 32k ? 4 ? 3k ? 1
? 32k ? 4 ? 3k ? 3 ? 0 ? (3k ?1)(3k ? 3) ? 0
①中令 k ? 1, 2,
n

, n ,各式相加,得

3k 2 2 2 2 ?( 1 ? 2 ) ?( 2 ? 3 )? ? k 2 3 ?1 3 ?1 3 ?1 3 ?1 k ?1 (3 ? 1)
? 2 2 ? 1 成立, ? n ?1 3 ?1 3 ?1
1

?(

2 2 ? n ?1 ) 3 ?1 3 ?1
n

故原不等式成立。

12 分

方法二: n ? 1 时,

2 ? 3n 3 ? n 2 (3 ? 1) 2

n ? 2 时,

2 ? 3n 2 ? 3n 2 ? 3n ?1 ? ? (3n ? 1)2 (3n ? 1)(3n ? 3) (3n ? 1)(3n ?1 ? 1)
? 1 3
n ?1

1 ?1 3 ?1 ?
n

n ? 2 时, ?

3k 3 1 1 ?2 ? ? ? n k 2 2 2 3 ?1 k ?1 (3 ? 1)
n


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