常数函数与幂函数的导数ppt课件演示文稿_图文

1.2. 导数的运算 1.2.1 常数函数与幂函数的导数 我们知道, 导数的几何意义是曲线 在某 点处的切线的斜率 , 物理意义是运动物 体在某一时刻的瞬时速 度.那么, 对于函 数 y ? f ? x ?, 如何求它的导数呢? 根据函数的定义 , 求函数y ? f ? x ?的导数, ?y 就是求出当?x趋近于0时, 所趋于的那 ?x 个定值. 下面我们求几个常用函 数的导数. 1. 函数 y ? f ?x ? ? c的导数 ?y f ? x ? ?x ? ? f ? x ? 因为 ? ?x ?x c?c ? ? 0, ?x y y?c O x ?y 所以 y`? lim ? lim 0 ? 0. ?x ? 0 ?x ?x ? 0 y`? 0表示函数 y ? c图象?1.2 ? 1?上每一点处的 切线的斜率都为 0.若y ? c表示路程关于时间的 函数, 则 y`? 0 可以解释为某物体的瞬 时速度始 终为0, 即一直处于静止状态 . 图1.2 ? 1 2. 函数 y ? f ? x ? ? x的导数 ?y f ? x ? ?x ? ? f ? x ? 因为 ? ?x ?x x ? ?x ? x ? ? 1, ?x ?y 所以 y`? lim ? lim 1 ? 1. ?x ? 0 ?x ?x ? 0 y y?x O x 图1.2 ? 2 y`? 1表示函数 y ? x图象?1.2 ? 2?上每一点处的 切线的斜率都为 1.若y ? x表示路程关于时间的 函数, 则 y`? 1 可以解释为某物体做瞬 时速度为 1的匀速运动 . 探究 在同一平面直角坐标系 中, 画出函数 y ? 2 x, y ? 3x, y ? 4 x的图解, 并根据导数定 义, 求它们的导数 . ?1?从图象上看, 它们的导数分别表示什 么? ?2?这三个函数中 , 哪一个增加得最快? 哪一 ?3?函数 y ? kx ?k ? 0? 增 ?减?的快慢与什么 个增加得最慢? 有关 ? 3. 函数 y ? f ?x? ? x2 的导数 ?y f ? x ? ?x ? ? f ? x ? 因为 ? ?x ?x ?x ? ?x ?2 ? x2 ? ?x x ? 2 x ? ?x ? ??x ? ? x 2 ? ?x ? 2 x ? ?x, 2 2 y y ? x2 O x 图1.2 ? 3 ?y 所以 y`? lim ? lim ?2 x ? ?x ? ? 2 x. ?x ? 0 ?x ?x ? 0 y`? 2 x 表示函数 y ? x 图象?1.2 ? 3? 上点? x, y ? 处 2 切线的斜率为2 x, 说明随着x的变化, 切线的斜率 另一方面 , 从导数作为函数在一点 的瞬 也在变化 . ' 时变化率来看 , y ? 2 x 表明: 当x ? 0 时, 随着x 的增 加, y ? x 减少得越来越慢 ;当x ? 0时, 随着x的增加, 2 2 若 y ? x 表示路程关于时 y ? x 增加得越来越快. 2 间的函数, 则 y ? 2 x, 可以解释为某物体作变 速运 ' 动,它在时刻x的瞬时速度为 2 x. 1 1 ? ?y f ? x ? ?x ? ? f ? x ? 因为 ? ? x ? ?x x ?x ?x ?x x ? ? x ? ?x ? 1 ? ?? 2 , x ? x ? ?x x? x ? ?x ??x 1 4. 函数 y ? f ? x ? ? 的导数 x ?y 1 1 ? ? 所以 y`? lim ? lim ? ? 2 ??? 2. ?x ? 0 ?x ?x ? 0 x ? x ? x ? ?x ? 1 探究 画出函数y ? 的图象.根据图象, 描述它的 x ?1,1?处的切线方程 变化情况, 并求出曲线在点 . 5. 函数 y ? f ?x? ? x 的导数 ?y f ? x ? ?x ? ? f ? x ? 因为 ? ? ?x ?x x ? ?x ? x ?x ? ? ? x ? ?x ? x x ? ?x ? x ?x x ? ?x ? x ? ?? ? ? 1 , x ? ?x ? x ?y 1 1 所以 y`? lim ? lim ? . ?x ? 0 ?x ?x ? 0 x ? ?x ? x 2 x

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